第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：数的开方+整式的乘除全部内容）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版2024）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：数的开方+整式的乘除全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·四川巴中·模拟预测）在下列实数 ，，， ，，0，中，无理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，实数的分类，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先对所给的数逐一分析，再作出判断，然后统计无理数的个数． 【详解】解：是分数，它是有理数；是无理数；是整数，它是有理数；是无理数；是有限小数，它是有理数；0是整数，它是有理数；是无理数，其中无理数共有3个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建厦门·课后作业）若，均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数，根式等知识．由a，b均为正整数，且，，推出a的最小值为，的最小值为3，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，均为正整数， ∴a的最小值为，的最小值为3， ∴的最小值为， 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）已知一个正方形的面积为19，估计它的边长的大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．1与2之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是得出． 根据开方运算，可得边长，根据可得到答案． 【详解】解：该正方形的边长为， ∵， ∴在4与5之间， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广西百色·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 6．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）定义新运算“” ，，则（    ） A．9 B．10 C．14 D．6 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，数轴表示数，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的关键，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再由点A、B、C、D在数轴上的位置进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 由点A、B、C、D在数轴上的位置可知，点C最适合表示， 故选：C． 8．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 9．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 10．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形可验证的等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据阴影部分面积相等即可得到等式． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2中阴影部分为长为，宽为的长方形，面积为， 所以． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）①计算： ；②8的立方根是 ；③3的算术平方根是 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：①； ②，则8的立方根是； ③3的算术平方根是． 故答案为：，，． 12．（2025八年级上·四川遂宁·模拟预测）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简与约分，提取公因式以及观察代数式规律的技巧，将分式化简是解决本题的关键． 将分子和分母中的大数分解为乘积形式，提取公因数，化简a，b与c，由此计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 故答案为： ． 13．（24-25八年级上·四川内江·期末）中国古代大数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则．按照上述取近似值的方法， （精确到） 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式的求值，利用估算得出a的值是解题的关键． 先估算出的大小，得到a的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·四川巴中·开学考试）观察下列各式 ①你能否由此归纳出一般性规律： ②根据①求出： 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，解题的关键是根据给出的等式抽象概括出相应的规律：根据已有等式得到，将转化为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：①由题意，可知：； ②； 故答案为：①；②． 15．（2025·四川资阳·模拟预测）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 16．（24-25八年级上·四川简阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长计算，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果，由题意得出四叶幸运草的周长个圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）求下列各式中的x． (1)． (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了平方根，立方根，解决本题的关键是根据平方根与立方根的意义求出未知数的值． 把方程整理成的形式，两边同时开平方可得：，可得两个关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可； 移项把方程转化为的形式，两边同时开立方可得：，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 当时，， 当时，， 或； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 18．（24-25八年级上·河南新乡·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确的计算． （1）先计算算术平方根、平方和立方根，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算立方根，并运用乘法分配律进行计算，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，多项式除以单项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘多项式，最后运算多项式除以单项式，即可作答． （2）先运算多项式除以单项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（25-26八年级上·四川遂宁·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则： （1）根据同底数幂的乘法法则直接计算即可； （2）先将底数化为相同，再利用同底数幂的乘法法则计算即可； （3）先计算乘方，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； （4）先利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式； （4）解：原式． 21．（25-26八年级上·四川攀枝花·开学考试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 22．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此除以，商式为，余式为0． 请根据上述材料完成下列问题： (1)用竖式计算； (2)的余式为______； (3)若除以的余式为0，则______，______． 【答案】(1) (2)7 (3)1，0 【分析】本题考查整式的除法，解题的关键是理解被除式除式商式余式，学会模仿解题，属于中考常考题型． （1）模仿例题，可用竖式计算； （2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为，则有，根据对应项系数相等即可解决问题． 【详解】（1）解：， 列竖式如下：商是； （2）解： 列竖式如下：商是，余式为7． （3）解：设商式为， 则有， ， ， ， 故答案为：1，0． 23．（25-26八年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 【答案】（1）；或；（2）能被11整除，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意完成证明过程即可； （2）根据即可得证． （3）根据题意得到即可． 【详解】解：（1）证明：∵①②， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． 故答案为：；或；    (2)能被11整除，理由如下：    ，    能被11整除；    (3) ， ，    设，    ，              能被7整除． 24．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 【答案】(1)点表示的数为和 (2) (3)点表示的数为，线段的长为 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再由表示出点表示的数； （2）先求出点表示的数，再由数轴上两点距离公式求解； （3）根据点是线段的中点，得到，则，即可求出，再由数轴上两点距离公式求解． 【详解】（1）解：如图，，那么4个一样的等腰直角三角形拼成一个面积为的正方形，如图： ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴点表示的数为和； （2）解：由题意得点表示的数为， ∴； （3）解：设点表示的数为 ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴点表示的数为，线段的长为． 25．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1) (2) (3)576 【分析】（1）由正方形的面积等于边长的平方，或者等于两个小正方形的面积两个小长方形的面积，可得关系式； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解． 本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积来得到数学公式，解题的关键是灵活进行数形结合来分析． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：数的开方+整式的乘除全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·四川巴中·模拟预测）在下列实数 ，，， ，，0，中，无理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建厦门·课后作业）若，均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）已知一个正方形的面积为19，估计它的边长的大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．1与2之间 5．（24-25八年级上·广西百色·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 6．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）定义新运算“” ，，则（    ） A．9 B．10 C．14 D．6 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 8．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 9．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形可验证的等式为（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）①计算： ；②8的立方根是 ；③3的算术平方根是 ． 12．（2025八年级上·四川遂宁·模拟预测）已知：，则 ． 13．（24-25八年级上·四川内江·期末）中国古代大数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则．按照上述取近似值的方法， （精确到） 14．（24-25八年级上·四川巴中·开学考试）观察下列各式 ①你能否由此归纳出一般性规律： ②根据①求出： 15．（2025·四川资阳·模拟预测）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 16．（24-25八年级上·四川简阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）求下列各式中的x． (1)． (2)． 18．（24-25八年级上·河南新乡·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 19．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 20．（25-26八年级上·四川遂宁·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26八年级上·四川攀枝花·开学考试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 22．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此除以，商式为，余式为0． 请根据上述材料完成下列问题： (1)用竖式计算； (2)的余式为______； (3)若除以的余式为0，则______，______． 23．（25-26八年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除．                   24．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 25．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 学科网（北京）股份有限公司 $