直线方程综合问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线方程综合问题，围绕直线系与对称两大核心模块展开，通过“过定点直线系”“平行垂直直线系”“交点直线系”等层层递进的设问方式，构建从基础到综合的知识支架，自然衔接点线距离、最值问题与几何变换，实现由浅入深的认知过渡。 其亮点在于深度融合数学抽象、逻辑推理与直观想象三大核心素养，如例1中截距相等与互为相反数的分类讨论体现抽象能力，例2中利用直线系方程求解交点体现逻辑推理，例4中借助对称思想解决最短路径问题展现空间观念。教学设计注重问题驱动与方法迁移，既强化学生建模意识与运算能力，又提升教师课堂组织效率与思维深度，助力学生形成结构化知识体系和理性思维习惯。

直线方程综合问题 第一课时 1.直线系问题 人教A版选修第一册第二章第三单元 【例1】(1)求过点A(2，2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程； (2)求过点A(2，2)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求过点A(2，2)且与x轴、y轴所围成的三角形的面积最小时的直线方程；(4)求过点A(2，2) 且点B(4，1)到该直线的距离为2的直线方程； (5)求过点A(2，2)且点B(－1，4)与点C(5，5)到该直线距离相等的直线方程. 1.直线系问题 (1)满足一定条件的直线系方程 过定点直线系 过已知点P0(x0，y0)的直线系方程y－y0 =k(x－x0) (k为参数)． 斜率为定值直线系 斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数)． 1.直线系问题 (2)与已知直线平行、垂直的直线系方程 ①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)； ②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R). 【例2】(1)过点A(2，2)且与直线l:3x+4y－2=0平行的直线方程； (2)过点A(2，2)且与直线l:3x+4y－2=0垂直的直线方程. 【问题1】与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线如何设？ 【问题2】当λ变化时 ，方程3x+4y－2+λ(2x+y+2) =0表示什么图形，图形有何特点？ 不论λ取何值，直线3x+4y－2+λ(2x+y+2)=0都过定点M(－2，2)，且定点M(－2，2)是直线l1:3x + 4y－2=0和l2:2x + y +2 =0的交点. 1.直线系问题 【追问】一般地，已知直线l1: A1x+B1y+C1=0和l2: A2x+B2y+C2=0相交，那么方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2) =0(λ∈R)表示什么图形？图形有何特点？ (3)过两条直线交点的直线系方程 ③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2． 【例3】求满足下列条件的直线方程： (1)过直线l1:3x+4y－2=0和l1:2x+y+2=0的交点且过原点； (2)过直线l1:3x+4y－2=0和l1:2x+y+2=0的交点且与直线3x+y－1=0平行(垂直). 1.直线系问题 (2， － 3) 【例4】求证：不论m取什么实数，直线l:(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． (4)过定点的直线系（旋转直线系）方程 1.直线系问题 B B 1.直线系问题 B 几种直线系方程的设法 (1)过定点(x0，y0)的直线系方程可设为： ( y–y0)=k(x–x0)( 或( x–x0)=t(y – y0))； (2)斜率为定值直线系可设为： y=kx+b(b是参数)； (3)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程可设为： Ax+By+C1=0(C≠C1); (4)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程可设为： Bx – Ay+C1=0; (5)过直线l1: A1x+B1y+C1=0和l2: A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程可设为： A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2) =0 (或m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2) =0). 1.直线系问题 1.过点P(－1，0)、Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程. 2.已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a， － 2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值. 课堂练习 (9，－ 4) 3.不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是______． 4.已知两条平行直线3x+2y－6=0与6x+4y－3=0，求与它们等距离的平行线的方程. 5.已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y－5=0，求证方程其他三边所在的直线. 课堂练习 直线方程综合问题 第二课时 2.对称问题 人教A版选修第一册第二章第三单元 【引导语】我们已经研究了直线的方程、两条直线之间的位置关系（平行与垂直）和部分度量关系（点线距离、线线距离），接下来我们来研究另外一种位置关系——对称关系. 0.引导语 1.中心对称问题 (1)点关于点对称 (2)直线关于点对称 2.轴对称问题 (1)点关于线对称 (2)线关于线对称 【思考】在平面几何中，常见的对称关系有哪些？ 12 1.中心对称问题 (1)点关于点对称 点P(x0，y0)关于Q(a，b)的对称点为p′(2a－x0，2b－y0). 【问题1】在平面直角坐标系中，点P(x0，y0)关于Q(a，b)的对称点的坐标如何求？ 【例1.1】点A(1，2)关于B(－3，2)的对称点C的坐标是 . 13 【追问】直线Ax+By+C=0关于点P(x0，y0)的对称直线如何求？ 1.中心对称问题 (2)直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程. 方法三：利用距离公式. 【例1.2】已知直线l：y=3x+3，求直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程. 答案：3x － y － 17=0. 1.中心对称问题 2.轴对称问题 【问题2】点P(x1，y1)关于直线Ax+By+C=0的对称点p′的坐标如何求？ 【例2.1】已知直线l：y=3x+3，求点P(4，5)关于l的对称点的坐标. (1)点关于线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'(x2，y2)，连接PP'，交l于M点，则l垂直平分线段PP'，所以PP'⊥l，且PP'的中点M在直线l上，故可得解出(x2，y2)即可. 答案：P' (－ 2，7) 2.轴对称问题 【追问】直线l1 :A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称直线l2的方程如何求？ (2)直线关于直线线对称 求直线l1：ax+by+c=0关于直线l2：dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，求得交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任取异于点P的一点Q(x1，y1)，利用点Q关于直线l2对称求出其对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. 2.轴对称问题 【例2.2】（1）试求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程． （2）求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程． 答案（1）7x＋y＋22＝0. （2）x＋2y－6＝0. 1.中心对称问题 2.轴对称问题 【练习】已知P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y=2x+1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. (1) R. (2) 11x+2y－17=0. 【例3】如图，一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 3.光的反射问题 A(4，3) 答案：|AP|=4－(－4)=8. 【练习】如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　)  A.2 B.6 C.3 D.2 A 3.光的反射问题 答案：D(4，2)，C(-2，0)，则|CD|=2. 4.利用对称解决有关最值问题 【例４】在直线l：x－y－1=0上求两点P，Q.　使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小. (1)P ；(2)Q. (1)B' (5，-1)，AB'所在直线的方程为2x+y-9=0. 当且仅当P，B'，A三点共线时，||PB'|-|PA||最大. 联立直线l与AB'的方程，解得x=，y=，P. (2) C'(1，2)，AC'所在直线的方程为x+3y-7=0. 当且仅当Q，A，C'三点共线时，|QA|+|QC'|最小. 联立直线l与AC'的方程，解得x=，y=，故点Q. 【练习】已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y=x上运动，则|MA|+|MB|的最小值为　　　　. 答案　 4.利用对称解决有关最值问题 设点A关于直线y=x的对称点为A'(x，y)， 解得即A'(3，1)， 连接A'B，则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值， |A'B|==. 小结 常见的一些特殊的对称 (一)中心对称问题 （1）点A(x0，y0)关于原点(0，0)的对称点为A′(－x0，－y0)； （2）点A(x0，y0)关于点(a，b)的对称点为A′(2a－x0，2b－y0)； （3）直线l1 :Ax+By+C=0关于点(m，n)对称的直线方程为l2 :A(2m－x)+B(2n－y)+C=0. (二)轴对称问题 （1）点A(x0，y0)关于x轴的对称点为(x0，－y0)，关于y轴的对称点为A′(－x0，y0)； （2）点A(x0，y0)关于直线x=a的对称点为A′(2a－x0，y0)，关于直线y=b的对称点为A′(x0，2b－y0)； （3）点A(x0，y0)关于直线y=x的对称点为(y0，x0)，关于直线y=－x的对称点为A′(－y0，－x0)； （4）点A(x0，y0)关于直线l1 :x+y+C=0对称的点坐标为A′(－c－y0，－c－x0)； （5）点A(x0，y0)关于直线l1 :x－y+C=0对称的点坐标为A′(－c+y0，c+x0)； （6）直线l1 :Ax+By+C=0关于直线l：x=m对称的直线方程为l2 :A(2m－x) +B y+C=0； （7）直线l1 :Ax+By+C=0关于直线l：y=n对称的直线方程为l2 :Ax+B(2n－y)+C=0； （8）直线l1 :Ax+By+C′=0关于直线l :x+y+C=0对称的直线方程为l2:A(－c－y)+B(－c－x)+C′=0； （9）直线l1 :Ax+By+C′=0关于直线l:x－y+C=0对称的直线方程为l2:A(－c+y)+B(c+x)+C′=0. 只需记住或者. 【思考】已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求:x2＋y2的最小值. 思考 2.已知直线l: x-y+3=0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程. 1.已知直线l:2x－3y＋1＝0,点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m:3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 课堂练习 4.在直线l:3x-y-1=0上求一点，使得： (1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大； (2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小. 课堂练习 3.已知点M(3，5)，在直线l：x-2y+2=0和y轴上各找一个点P和Q，△MPQ的周长最小. 【变式1】设 ,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x，y)，则 的最大值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【变式3】设 ,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式2】设 ,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x，y)，则 的是( ) A. B.10 C. D.20 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 解决对称问题的方法 (2)轴对称 ①点Q(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为Q′(m，n)， 则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 　　 【变式1】求函数 的最小值，并求出取得最小值时x的取值. 【变式2】求函数 的最大和最小值，并求出取得最大和最小值时x的取值. $