13.1命题与证明 教案2025-2026学年 冀教版八年级数学上册

该教案聚焦初中数学中“命题与证明”的核心概念，以平行线性质为切入点，通过复习命题结构、探究互逆命题关系、演绎证明过程，层层递进构建逻辑链条，形成从感性认知到理性推理的学习支架。 本资料突出体现数学核心素养中的“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”，如在探究逆命题时引导学生从具体例子中提炼共性规律，通过证明“平行于同一条直线的两条直线平行”规范书写格式，强化逻辑严谨性。课堂练习设计贴近生活且具挑战性，帮助学生建立数学与现实世界的联系，提升思维品质。对学生而言，能系统掌握命题本质与证明方法，对教师而言，提供清晰的教学路径与可操作的活动设计，助力高效课堂落地。

第十三章 全等三角形 13.1命题与证明   一、教材分析 本节课是八年级上册第十三章第一节的内容，本节课是几何证明中演绎推理的入门,更多关注证明格式表述的规范性,力求恰当地把握推理论证的要求,感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界. 本节课首先通过提出关于平行线等相关命题的问题，引导学生思考命题之间的关系，如一个命题的条件和结论与另一个命题的条件和结论的关系，从而引出逆命题以及互逆命题的概念；然后通过证明“平行于同一条直线的两条直线平行”，让学生明白证明的意义和必要性，知道证明要合乎逻辑；最后通过让学生思考定理与命题的关系以及定理的逆命题是否是定理，自然而然的引出逆定理以及互逆定理的概念，进一步体会数学命题中条件和结论的表述,感悟数学表达的准确性和严谨性.   二、学习目标 1.理解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，并会识别互逆命题，会判定一个定理是否存在逆定理. 2.了解证明的含义，通过具体例子掌握证明的步骤和书写的格式，并能运用基本事实和相关定理进行简单的证明，培养推理的能力. 3.通过合作探究等活动，获取正确的数学推理方法，体会数学的严谨性，并培养与他人合作的意识.   三、教学重难点 重点：理解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，并会识别互逆命题，会判定一个定理是否存在逆定理； 难点：运用基本事实和相关定理进行简单的证明   四、教学过程 · 本章引入 前面我们学习了三角形的有关概念和性质.在现实生活中，我们常常看到形状和大小完全相同的图形，本章我们将以三角形为例，探究具有这样特征的两个图形之间的关系. 在本章中，我们将通过动手操作、提出猜想、验证结论的学习方式，学习命题与证明的有关知识、全等三角形的概念和性质、全等三角形的基本事实和判定定理、三角形的尺规作图. 通过本章的学习，我们将经历几何证明的过程，理解三个基本事实的意义，感悟数学论证的逻辑，形成初步的推理能力和言之有据的科学精神. 设计意图：让学生对本章知识有一个整体的感知，利于学生建立知识之间的联系，形成知识体系．学生带着目的去学习,避免走弯路，提高学习效率. · 复习回顾 问题：下列语句哪些是命题,哪些不是命题? (1)两点之间,线段最短. (2)如果AC=BC,那么点C 是线段AB 的中点. (3)一条直线上有三个不同的点,这条直线上有多少条不同的线段呢? 提示：能够进行肯定或否定判断的语句,叫作命题. 答：(1)(2)是命题；(3)不是命题. 问题：指出下列命题中的条件和结论: (1)如果两个角的和等于180°,那么这两个角互为补角. (2)绝对值等于5的数一定是5. 提示：一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的.命题常写成“如果……那么……”的形式.“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.如果对于条件和结论不明显的命题，可以先改成“如果……那么……”的形式. 答：(1)条件：两个角的和等于180°，结论：这两个角互为补角. (2)条件：一个数的绝对值等于5，结论：这个数一定是5. 提示：把正确的命题叫做真命题，把不正确的命题叫做假命题. 追问：2个命题都是真命题吗？ 答：（1）是真命题；（2）是假命题 追问：要判断一个命题是假命题，只要举出反例即可.要如何判断一个命题是真命题呢？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师通过提问的方式，帮助学生回忆命题的相关概念，学生思考后回答. 设计意图：回忆、思考命题相关知识,为后面学习逆命题以及逆定理的概念作铺垫,从已有的知识体系自然地构建出新知识，便于学生接受. · 探究新知 活动一：探究逆命题 问题：在这两个命题中，其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？ 分析： 答：在这两个命题中，其中一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件. 追问：请再举例说明两个具有这种关系的命题. (1)“如果，那么.”与“如果，那么.” (2)“如果一个角是钝角，那么这个角大于90°.” 与“如果一个角大于90°，那么这个角是钝角.” 师小结：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题. 在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另个命题就是这个原命题的逆命题. 注意：逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任意一个为原命题，另一个为其逆命题. 师生活动：学生独立思考，指定学生回答，师给与适当的评价. 问题：请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性： (1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. (2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. (3)如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除. (4)已知两数a、b，如果a+b＞0，那么a-b＞0. 解：(1)逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等. 原命题和逆命题都是真命题. (2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 原命题是真命题，逆命题是假命题. (3)逆命题：如果一个数能被6整除，那么这个数也能被3整除. 原命题是假命题,逆命题是真命题. (4)逆命题：已知两数a、b，如果a-b＞0，那么a+b＞0. 原命题和逆命题都是假命题. 总结：原命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题；反之，逆命题是真命题时，它的原命题不一定是真命题. 师生活动：学生小组讨论，然后指定学生回答，全班集体交流 设计意图：通过寻找两个命题之间条件与结论的关系，自然的引出逆命题以及互逆命题概念，有助于学生理解逆命题以及互逆命题概念.通过判断原命题和逆命题的真假，让学生理解原命题的真假与逆命题的真假无关. 活动二：探究证明 问题：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题吗？ 答：是. 追问：如何判断这一个命题是真命题呢？ 答：证明 师小结：要判断一个命题是真命题，要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理，这种推理的过程叫作证明. 问题：证明：平行于同一条直线的两条直线平行. 思考：这个命题的条件是什么？结论是什么？ 答：生：条件：两条直线平行于第三条直线； 结论：这两条直线平行. 追问：你能根据命题的条件画出相应的图形吗？ 答： 思考：你能根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证吗？ 答：已知：如图，直线a，b，c，a∥c， b∥c. 求证：a∥b. 提示1：如何判定两直线平行呢？ 答：根据平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两条直线平行. 提示2：为了得到同位角、内错角或者同旁内角，我们需要作一条辅助线与已知的这三条直线相交. 答：作直线d,分别与直线a，b，c相交,如图. ∵a∥c(已知)， ∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). ∵ b∥c(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等). ∴∠1＝∠3(等量代换). ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 即平行于同一条直线的两条直线平行. 注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 师小结：证明用文字叙述的命题是真命题的一般步骤: (1)依据题意画出图形，将文字语言转化为符号（或图形）语言； (2)根据图形写出已知和求证； (3)根据基本事实、已有定理、性质、定义等进行证明. 师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答，需适当引导学生作辅助线的方法. 设计意图：如何判断一个命题的真假，学生在七年级已经有所接触，教师顺势给出证明的概念，实现由旧知识到新知识的迁移.在证明的过程中，学生需要分析命题的条件和结论，思考如何运用已有的知识和方法进行推理证明，进而归纳出证明命题时的一般步骤，规范的证明书写格式，有助于培养学生思维的严谨性和条理性，让学生养成言之有理、落笔有据的推理习惯． 活动三：探究逆定理 问题1：定理与命题有什么关系？ 答：定理是命题，而命题不一定是定理. 问题2：定理的逆命题一定是定理吗？ 答：不一定.因为定理的逆命题不一定是真命题. 师小结：逆定理的概念 如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理. 师强调： 1.互逆定理都是真命题. 2.一个定理一定有一个逆命题，但不一定有逆定理. 3.互逆定理是一对互逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆定理. 师生活动：教师提出问题，学生思考后作答. 设计意图：引导学生思考命题与定理的关系，从而引出逆定理与互逆定理的概念，过渡自然，便于学生理解并掌握逆定理与互逆定理的概念. · 应用新知 例1 下面的定理是否存在逆定理？ (1)所有直角都相等； (2)两直线平行，同旁内角互补 . 解:(1)逆命题所有相等的角都是直角. 因为这个逆命题是假命题，所以（1）不存在逆定理 . (2) 逆命题：同旁内角互补 .，两直线平行， 因为这个命题是真命题，所以（2）存在逆定理. 师小结：判断一个定理是否有逆定理的方法： 师生活动：学生独立思考，指定学生回答. 设计意图：加深学生对逆定理概念的认识，掌握判断一个定理是否有逆定理的方法. 例2. 已知：如图，点O在直线AB上，OD，OE分别∠AOC，∠BOC的平分线. 求证：OD⊥OE. 证明：OD平分∠AOC，OE平分∠BOC(已知)， ∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC， ∴∠COD＋∠COE＝∠AOC＋∠BOC ＝(∠AOC＋∠BOC). ∵∠AOC＋∠BOC＝180°(平角的定义)， ∴∠COD+∠COE＝90°. ∵∠DOE=∠COD+∠COE ∠COD+∠COE∠DOE＝90°，即OD⊥OE. 师生活动：学生独立思考，指定学生回答. 设计意图：通过例题讲解，进一步让学生明白什么是证明，明白证明中的每一步必须要有依据，不能相当然.进一步体会证明的意义和必要性. 例1 写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，请举出反例，对于真命题，请给出证明. (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，那么这个三角形是直角三角形 ; (2)直角三角形的两个锐角互余； (3)对于任意两个数a,b,如果a>b，那么-3a>-3b. 解：(1)逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形三个内角的度数之比为1:2:3. 逆命题为假命题. 反例：一个直角三角形的三个内角度数分别为45°，45°，90°，但这个三角形三个内角的度数之比是1:1:2，不是1:2:3. (2)逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形. 逆命题为真命题. 证明：已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形. 证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠C=180°－∠A－∠B. ∵∠A＋∠B=90°， ∴ ∠C=90°，即△ABC是直角三角形. (3)逆命题：对于任意两个数a,b,如果-3a>-3b，那么a>b. 逆命题为假命题. 反例：-3a=-3，-3b=-6，满足-3a>-3b； 但a=1，b=2，a<b. 师生活动：学生独立思考，指定学生回答，教师利用小组评价机制进行打分. 设计意图：加深学生对逆命题概念的理解，掌握判断真假命题的方法. · 课堂练习 1.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，对于假命题，请举出反例说明;对于真命题，请给出证明. (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)已知两个角.如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角； (3)偶数一定能被2整除. 解：(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 假命题 反例：∠1=∠2=30°，两个角相等，但不是直角. (2)逆命题：已知两个角.如果它们的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角. 假命题 反例：∠1=∠2=90°，它们的和是平角，但都是直角. (3)逆命题：能被2整除的数一定是偶数. 真命题 证明：设整数a能被2整除，则整数a一定能写成2n(n为整数)的形式. 因为2n是偶数，所以整数a是偶数. 即，能被2整除的数一定是偶数. 2.已知:如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2互补，求证:a//b. 证明：∵∠1与∠2互补（已知） ∴∠1+∠2=180°（补角的定义） 又∵∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2+∠3=180°（等量代换） ∴a//b.（同旁内角互补，两直线平行） 3.请写出下列命题的逆命题，并判断其真假 . (1)如果 ，那么 ； (2)若两个角互补，则这两个角的和为180°； (3)若 ， 则. 解：(1)逆命题:如果，那么，是真命题． (2)逆命题:若两个角的和为180°，则这两个角互补，是真命题． (3)逆命题:若，则，当c＝0时不成立，是假命题． 4.证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图， ，，是同一平面内的三条直线， ⊥, ⊥. 求证： ∥. 证明：因为⊥ (已知)， 所以（垂直的定义）. 因为⊥ (（已知）. 所以（垂直的定义）. 所以∠1=∠2（等量代换）. 所以∥（同位角相等，两直线平行）. 5.已知：如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠B， 求证：∠C=∠D. 证明：∵∠C+∠A+∠AOC=180°， ∠D+∠B+∠BOD=180°（三角形内角和定理） ∴∠C=180°−∠A−∠AOC，∠D=180°−∠B−∠BOD. ∵∠A=∠B（已知）,∠AOC=∠BOD（对顶角相等）, ∴∠C=∠D（等量代换）. 6.证明:命题“三角形的外角和等于 360°”是真命题． 解：已知：如图，∠DAF，∠CBE，∠BCF分别为△ABC的三个外角， 求证：∠DAF＋∠CBE＋∠BCF＝360°. 证明：∵∠DAF＋∠BAC＝180°， ∠CBE＋∠ABC＝180°，∠BCF＋∠ACB＝180°，（平角的定义） ∴∠DAF＋∠BAC＋∠CBE＋∠ABC＋∠BCF＋∠ACB＝180°×3＝540°.（等式的性质） ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，（三角形内角和定理） ∴∠DAF＋∠CBE＋∠BCF＝540°－180°＝360°.（等式的性质） 师生活动：学生独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 学科网（北京）股份有限公司 $