3.1.2 课时1 函数的表示法 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 课时1 函数的表示法 【基础巩固】 1．已知一次函数满足，则（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．设已知函数如下表所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．若函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）下列说法正确的有（ ） A．和表示同一个函数 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 6．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则的值为_________. 7．已知函数 ，则函数的值域为_________. 8．(1)已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； (2)已知，求函数的解析式； 【能力拓展】 9．若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ） A． B． C． D． 10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ） A． B． C． D． 11．以下说法中正确的是：_________. ①已知二次函数的最小值为1，且，则； ②已知函数满足，则函数； ③函数的值域为. 【素养提升】 12．若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． (1)若函数是优美的，求； (2)写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； (3)对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 课时1 函数的表示法 【基础巩固】 1．已知一次函数满足，则（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B. 2．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 3．若函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得， 即，所以. 故选：D 4．如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，在上，过点作⊥于点， 则，故，随的增大而增大， 当时，在上， 此时 ，随的增大而减小， 当时，在上， 此时，，随的增大而减小， 函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合增减性可知A正确，其他错误. 故选：A. 5．（多选）下列说法正确的有（ ） A．和表示同一个函数 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】BCD 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为或，定义域不同，所以和不是同一个函数，故A错误； 对于B，对函数，令，则，得到， 所以，即的定义域为，故B正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C正确； 对于D，由，可得， 由，解得，故D正确. 故选：BCD. 6．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则的值为_________. 7．已知函数 ，则函数的值域为_________. 【答案】 【解析】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 8．(1)已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； (2)已知，求函数的解析式； 【答案】见解析 【解析】(1)因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. (2)， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 【能力拓展】 9．若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D； 对于C，当时，，不满足图2，故C错误； 将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图， 最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2. 故选:A. 10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 11．以下说法中正确的是：_________. ①已知二次函数的最小值为1，且，则； ②已知函数满足，则函数； ③函数的值域为. 【答案】①② 【解析】对于①，因为二次函数满足，所以其对称轴为， 又的最小值为1，所以可设， 又，所以，解得， 所以，故①正确； 对于②，因为， 将替换成，得，则， 所以，则，故②正确； 对于③，令，则，， 所以， 因为，所以， 即的值域为，故③错误. 故答案为：①②. 【素养提升】 12．若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． (1)若函数是优美的，求； (2)写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； (3)对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 【答案】见解析 【解析】(1)已知函数是“优美的”，即对任意的和，都有. 令，则，即. 即，所以. (2)设，此时，满足. 下面证明是“优美的”： 对于任意的和，，而. 所以，故是“优美的”. (3)证明对任意有理数，都有. 有理数包括整数和分数，分类讨论. 当为0时，显然. 当为正整数时： 设（为正整数），由可得： . 同理，以此类推可得. 当为负整数时： 设（为正整数），因为，由前面已证得，所以，则，即. 当为分数时： 设（为整数，），因为， 又由前面已证得当为整数时，所以， 则，即. 综上，对任意的有理数，都有. 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $