专题08 高一期中真题百练通关压轴51题12类考点专练（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题08 高一上期中真题百练通关（51题大压轴题） 选填小压轴 解答压轴 题型1 集合新定义题 题型1 集合新定义题 题型2 基本不等式 题型2 根据充分性必要性求参数 题型3 函数不等式恒成立问题、能成立问题 题型3 基本不等式 题型4 函数单调性应用 题型4 不等式恒成立、能成立问题 题型5 函数奇偶性应用 题型5 函数单调性+奇偶性 题型6 分段函数问题 题型6 抽象函数 选填小压轴 题型一 集合新定义题 （共5小题） 1．（多选）（24-25高一上·江苏·期中）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 2．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 3．（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 4．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.由此，下列四组无限集合中等势的有（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25高一上·江苏盐城·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 题型二 基本不等式 （共5小题） 6．（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）设正数，满足，则有（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知正数满足，则的最小值为 ．（结果要化简） 9．（24-25高一上·江苏·期中）已知，，若，则的最小值为 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设，关于的不等式的解集为，则的最大值为 ． 题型三 函数不等式恒成立问题、能成立问题（共4小题） 11．（24-25高一上·江苏·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（   ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 题型四 函数单调性应用 （共6小题） 15．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 16．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 19．（22-23高一上·江苏常州·期中）定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是 ． 20．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为 题型五 函数奇偶性应用 （共4小题） 21．（多选）（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若，则的取值范围为 22．（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为偶函数 B． C．对，不等式总成立 D．对，且，总有 23．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（    ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 24．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知 （常数），则（   ） A．当时，在上是减函数 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，有 题型七 分段函数问题 （共4小题） 25．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知对任意两个实数，定义，设函数，设函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 28．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是 . 解答压轴 题型一 集合新定义题 （共3小题） 29．（24-25高一上·江苏徐州·期中）某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，求； (3)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 30．（24-25高一上·江苏·期中）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． (1)已知，求和； (2)已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； (3)已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 31．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 题型二 根据充分性必要性求参数（共1小题） 32．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知集合使不等式成立． (1)用区间形式表示集合M； (2)设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 题型三 基本不等式 （共3小题） 33．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 34．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数. (1)设，，证明：； (2)已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，使得对任意实数，有恒成立.判断函数是否属于集合，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 35．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知函数. (1)当时，关于x的不等式的解集为，求实数n的值； (2)当时，若时，关于x的不等式恒成立，求的最小值； (3)当时，若时，关于x的不等式恒成立，求m的取值范围. 题型四 不等式恒成立、能成立问题 （共7小题） 36．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知二次函数满足，，且在上的最小值为. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值； (3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 37．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数定义域为，若存在，，实数大于0，对，有成立，则称为定义在上的函数. (1)已知为定义在上的函数，求最大的区间； (2)已知为定义在上的函数，求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值. 38．（24-25高一上·江苏连云港·期中）设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数. (1)求证：函数是函数； (2)若函数是函数，求实数； (3)若函数是函数，求实数. 39．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间（不需证明）； (2)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (3)当时，函数在上既有最大值又有最小值，是否存在正整数，使恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 40．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 41．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)若函数的图象与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，设三个交点的横坐标分别为，若恒成立，求实数的取值范围. 42．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为． (1)求的值，并证明在上单调递增； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 题型五 函数单调性+奇偶性 （共5小题） 43．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)记. （i）讨论在上的单调性，并说明理由.再请直接写出在上的单调区间； （ii）是否存在这样的区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是.若存在，求出区间；若不存在，请说明理由. 44．（23-24高一上·江苏南通·期中）定义在上的函数，对任意的，都有成立，且当时，． (1)求的值； (2)证明：在上为增函数； (3)当时，解不等式． 45．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)求函数的值域. 46．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数是定义在上的奇函数.且. (1)求实数，的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 47．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 题型六 抽象函数（共4小题） 48．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 49．（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义在的函数满足，且当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明. 50．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. (1)求； (2)证明函数是奇函数； (3)解关于的不等式， 51．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减． (1)证明：函数是偶函数； (2)解关于的不等式． 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 5．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，对内的任意两个不相等的数，都有且．若实数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．19 6．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知，，且，则（    ） A．的最大值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为10 D．的最小值为 9．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，则（    ） A．直线是曲线的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时，有 10．（多选）（24-25高三上·江苏扬州·期中）定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，.则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，若集合中恰有个元素，且各元素之和为，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 13．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）若定义在上的函数，则称为狄迪克雷函数.对于狄迪克雷函数，下列结论中正确的是 （填序号即可）． ①函数为偶函数； ②对于任意，都有； ③对于任意两数，都有； ④对于任意，都有. 15．（24-25高一上·江苏常州·期中）定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 16．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 17．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 18．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 19．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. (1)函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“美好函数”，求的值； (3)已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 20．（24-25高一上·江苏·期中）我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数，且，求的值. (2)已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 高一上期中真题百练通关（51题大压轴题） 选填小压轴 解答压轴 题型1 集合新定义题 题型1 集合新定义题 题型2 基本不等式 题型2 根据充分性必要性求参数 题型3 函数不等式恒成立问题、能成立问题 题型3 基本不等式 题型4 函数单调性应用 题型4 不等式恒成立、能成立问题 题型5 函数奇偶性应用 题型5 函数单调性+奇偶性 题型6 分段函数问题 题型6 抽象函数 选填小压轴 题型一 集合新定义题 （共5小题） 1．（多选）（24-25高一上·江苏·期中）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】BC 【分析】首先求出集合，理解差集的定义，并求出，然后逐个进行判断即可. 【详解】由，解得， 则， 当时，， 又，则，，故A错误，B正确； 对于C，由定义知，又，则， 即，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，，又， 则，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解差集的定义，即，. 2．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD. 【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集有上确界，设， 由上确界的定义可知，对于，都有， 所以， 即，故C正确； 对于D，若，则数集有上确界，且， 此时， 则，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：理解新定义的概念是解决本题的关键. 3．（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 4．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.由此，下列四组无限集合中等势的有（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据集合等势的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，对任意，可建立到的一一对应；所以A正确； 对于C，对任意时对应中的，时对应中的，可建立一一对应；所以C正确； 对于，整数集与实数集，自然数集与实数集，之间都无法建立一一对应，所以错误； 故选：AC. 5．（24-25高一上·江苏盐城·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 【答案】5 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 方程可整理为， ①当时，即方程组只有一个解，则，即， ②当时，即方程组只有三个解， 显然时不成立，∴，即方程有两个不同的解， ⑴当方程只有一个实根时，，， ⑵当方程有二个不同实根时，，或， 显然不是的实根，则是方程其中一个实根，则，解得， 综上所述：. ∴. 故答案为：5 【点睛】方法点睛，在讨论含参方程的根的个数时，需要分类讨论.而本题集合是由两个二次方程相乘得到的方程，第一步需拆分，分别讨论根的个数，注意两个方程可能出现相同的实数根. 题型二 基本不等式 （共5小题） 6．（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中D选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解. 【详解】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，故A错误，B正确； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，故C正确； 因为变形可得， 设，所以， 因此 ，所以当时，即时， 此时，取到最大值2，故D正确. 故选：BCD. 7．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）设正数，满足，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误. 【详解】因为正数，满足， 对于A，， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以， ， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由B知，，则，故C错误； 对于D，因为，则， 所以 ， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知正数满足，则的最小值为 ．（结果要化简） 【答案】4 【分析】利用指数与对数的转换以及对数的运算性质，设值法将用同一变量表示，再根据基本不等式求最值. 【详解】正数满足， 设，将用对数表示. 因为，根据对数的定义可得. 同理，因为，则. 又因为，所以. 将中的用含的对数表达式代入并化简； 把，，代入可得：. 进一步化简为. 因为，所以式子变为，即. 又因为，所以. 由于，根据基本不等式得， 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：4. 9．（24-25高一上·江苏·期中）已知，，若，则的最小值为 【答案】 【分析】由题意可得，再结合基本不等式计算即可得. 【详解】， 由，，故，， 故， 即，当且仅当， 即，时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设，关于的不等式的解集为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理表示所求的式子，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知，方程的根为， 即，， ， ， . 故答案为： 题型三 函数不等式恒成立问题、能成立问题（共4小题） 11．（24-25高一上·江苏·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得，再将存在问题转化为最值问题进行求解即可. 【详解】由函数为上的奇函数， 则， 又在上单调递增， 则在上单调递增， 则， 则，使得，，使得， 即，在有解， 则，， 令，则， 又，则，， 即，则， 故选：B. 【点睛】方法点睛： 分离参数法解含参不等式恒成立问题和有解问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下： （1）分离参数(注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等号的方向)． （2）转化：①若对恒成立，则只需； ②若对恒成立，则只需； ③若，使得有解，则只需； ④若，使得有解，则只需. （3）求最值． 12．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数是增函数，由解析式得，这样利用单调性不等式化为，从而转化为在上恒成立，由二次函数知识分类讨论可得． 【详解】，因此在定义域上是增函数， ， 不等式即为，所以， 所以在上恒成立， 若，即，显然成立， 若，即时，由于，因此，，从而也满足题意， 综上，， 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，对函数不等式解题方法一般是利用函数的单调性进行转化，因此本题关键点有两个：一是确定函数的单调性，二是对函数式进行变形：，这由函数解析式分析才能得出． 13．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知，函数在上为减函数，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且， 都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 则， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不合乎题意， 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于构造函数后，对实数分类讨论，尤其在处理二次函数在区间上单调性时，要注意对称轴不能在定义域内，另外要分根据图象确定二次函数的开口方向. 14．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，的解析式，然后对的范围进行分类讨论，将不等式问题转化为函数最值问题，从而求解. 【详解】由①可得， 又函数分别为上的偶函数和奇函数， 则，， 则②， ①②可得，则， ①②可得，则， 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，， 其中在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， ，即， 由任意，使得成立， 当时，则，此时满足对于任意，任意， 使得成立， 当时，可得，即，解得，即， 综上，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于将的范围分类讨论，转化为函数最值问题 题型四 函数单调性应用 （共6小题） 15．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由结合题意，利用单调性的定义法判断在上是增函数，利用赋值法得，从而原不等式等价，利用单调递增化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】任取，且，因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. 令，所以，令，所以， 不等式等价于， 所以即，因为在上是增函数， 所以，解得或. 故选：B 16．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 17．（23-24高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式，结合函数单调性的定义可以判断出函数的单调性，再根据函数平移的性质，结合已知定义可以判断函数的奇偶性，最后利用函数的单调性、奇偶性，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对任意，都有， 不妨设，由， 所以函数是上的减函数. 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”， 因此函数是奇函数. 由 ， 当时，则有，此时没有意义， 当时，由， ，由， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式判断函数的单调性，利用函数平移判断函数的对称性. 18．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出各选项的解析式，结合奇函数的定义及单调性判断即可. 【详解】对于A，， 定义域为，在上单调递减； 对于B，， 定义域为，在上单调递减； 对于C，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数不为奇函数； 对于D，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 19．（22-23高一上·江苏常州·期中）定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是 ． 【答案】8 【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答. 【详解】定义在上函数满足，当时，，， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 由得，，因此当时，恒成立， 观察图象知，，则有，所以m的最小值是8. 故答案为：8 【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键. 20．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为 【答案】 【分析】首先，对不等式进行变形，转化为，再根据定义法以及给定条件分析的单调性，求解不等式即可. 【详解】由题设，其中，可变形为； 令，则，即函数在实数上单调递增； 不等式移项变形可得， 进一步化简得到， 因此原不等式可化简为，即 由于在实数上单调递增， 不等式成立的条件是，解得， 因此，不等式的解集为， 故答案为： 题型五 函数奇偶性应用 （共4小题） 21．（多选）（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】令代入题设条件可判断A；令并结合奇偶性定义可判断C；令，利用单调性定义及奇函数性质判断B；利用奇函数、单调性解不等式求参数范围判断D. 【详解】令，则，A对； 令，则，即， 所以为奇函数，C对； 由时，则时， 令，则，故， 所以，即为上的减函数，B错； 令，且为奇函数，而，即， 所以，结合B易知在上也为减函数， 所以，可得，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：令判断的奇偶性，进而得时是判断C、D的关键. 22．（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为偶函数 B． C．对，不等式总成立 D．对，且，总有 【答案】ACD 【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项. 【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且， 则，有， 由，得，， ，为偶函数，A选项正确； ，B选项错误； 对，， 所以不等式总成立，C选项正确； 对，且，则，， 所以， D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解决选项中的问题即可. 23．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（    ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 【答案】ACD 【分析】函数奇偶性求出函数解析式，分段解决分段函数有关的不等式，由函数图像找到交点为4个点的的取值范围. 【详解】当时，，由题意可知，A选项正确； 由题意可知：，B选项错误； ∵，令，则或；令，则或； ∴，即或，即或，C选项正确； 令，即 函数的函数图像如下： 由图像可知，当和存在4个交点时，，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题已知分段函数的奇偶性和其中某个区间的解析式，通过奇函数的性质可以求出整个函数的解析式，由此可以借助函数图像来解决一些函数相关的问题. 24．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知 （常数），则（   ） A．当时，在上是减函数 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，有 【答案】BCD 【分析】对A，比较时两段的值可判断；对B，分别判断和时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出和时范围即可得出. 【详解】对于选项A，当时，，，所以在R上不是减函数，故选项A错误， 对于选项B，当时，在上是减函数，无最小值， 又在上是减函数，也无最小值，即时，无最小值， 当时，在上是增函数，所在在上的最小值为， 又在上是减函数，且，所以当时，无最小值， 综上，当时，无最小值，所以选项B正确． 对于选项C，当时，， 当时，由，得是增函数， 所以，所以的值域是，故选项C正确． 对于选项D，当时，由，得，所， 而当时，，， 因此，，使得，即，所以选项D正确， 故选：BCD． 【点睛】求函数最值和值域的常用方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （4）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 题型七 分段函数问题 （共4小题） 25．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，， 故， 又，得或， 解得或，则； 所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为， 故选：C 【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围后，要分类讨论a的范围，再求解相应不等式，这里也很容易出错. 26．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知对任意两个实数，定义，设函数，设函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为当时，，所以只需要考虑，若存在使得成立，则需要，分类讨论的对称轴与的位置确定最小值求解即可. 【详解】，，的函数图象如下图所示:   是二次函数，开口向上， 对称轴为直线， 因为当时，，所以恒成立，所以只需要考虑，此时. （1） 当时，在上是增函数，    若存在使得成立，需要，即，即， 则存在使得成立，故; （2）当时，在上是先减后增的函数，    需要，即， 解得或， 又， 故； （3）当时，在上是的减函数，    需要即， 综上所述，的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据定义，因为当时，，恒成立，当时，故需要，转化为二次函数最值问题即可. 27．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为， 当且时，则，这与矛盾， 不合乎题意，所以，， 因为二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在上为增函数， 根据题意，则有，此时，； 当时，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时，不存在. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 28．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为1可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 解答压轴 题型一 集合新定义题 （共3小题） 29．（24-25高一上·江苏徐州·期中）某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，求； (3)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 【答案】(1)，，，，，，，，，，，． (2) (3)6，，． 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义计算可得； （3）首先分析可得，，或，，分两种情况讨论，分别求出或的最小值，即可求出的取值范围，进而可得出符合题意的.. 【详解】（1）因为，，且，， 所以，，，，，， ，，，，，． （2）因为，，所以，，，， 所以，，，， 故． （3）因为，，且为素数， 所以，或，． 当，时，，又， 当且仅当，即时，取等号， 又为素数，所以等号不成立； 当，时，， 当且仅当，即时，取等号． 所以当时，取得最大值6． 此时符合条件的一组集合是：，． （答案不唯一，只要满足，即可）． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 30．（24-25高一上·江苏·期中）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． (1)已知，求和； (2)已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； (3)已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 【答案】(1)， (2)不正确，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据定义即可得到答案； （2）给出，作为充分性的反例即可； （3）将题目条件转化为，再使用反证法证明. 【详解】（1）此时，，故，. （2）不正确，因为当，时，有，故，但. 所以“”不能推出“对任意，都有”. （3）由定义知，故. 若，则，故. 此时，故，所以为奇数； 若，则，故的最大元素和最小元素同号，从而. 而，故，又因为，所以或. 而为正整数，所以，故，这就得到. 假设是偶数，则是奇数. 由于是偶数，所以和中必有一个偶数，再由是奇数，知是偶数. 设，则，，故. 由于，，故，即. 所以，得. 若，则，得，故为奇数，矛盾； 若，则显然为奇数，矛盾. 这表明假设不成立，所以为奇数. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将题目条件适当转化为容易处理的形式，这样便于解决问题. 31．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义，不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集，所以不具有性质． （2）依题意，集合的元素构成有序数对，共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）1）当集合具有性质时， ①对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此也是中不同的元素， 所以的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此和也是中不同的元素， 即的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②知； 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 题型二 根据充分性必要性求参数（共1小题） 32．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知集合使不等式成立． (1)用区间形式表示集合M； (2)设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离参数法，转化为有解问题，结合二次函数的性质可求出结果； （2）根据题意得到，分类讨论根之间的大小关系，从而得到取值范围. 【详解】（1）根据题意可得在上有解， 即在上有解，只需， 令， 由知， 所以，则， 故的取值集合 （2）因为是的必要条件， 所以，显然不为空集，即不为， 因为不等式的解集为N， 所以①当即时，，， 则，解得； ②当即时，，， 则，解得； 综上所述，a的取值范围是. 题型三 基本不等式 （共3小题） 33．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. （2）因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得，若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. （3）若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 34．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数. (1)设，，证明：； (2)已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，使得对任意实数，有恒成立.判断函数是否属于集合，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由子集的定义证明； （2）根据新定义用反证法证明； （3）由不等式恒成立，结合判别式有，于是有，把不等式右边化为的形式，并换元：，再利用对勾函数性质及不等式的性质求得结论． 【详解】（1）若，显然有； 若，设，则有；从而， 故有； 综上可知：. （2）假设，则，，， 即，因为该式对于任意的实数均成立，从而有 解之得， 而这与矛盾，故. （3）恒成立， ，故； ， 令，则，， .  当时，； 当时，， 当且仅当时，取等号， 所以，的最大值为. 【点睛】方法点睛：在出现新定义的问题中，有时解决问题给出的条件较少，可以应用反证法，假设结论的反面成立，这样结论的反面可以作为一个条件参与推理，从而有助于问题的解决． 35．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知函数. (1)当时，关于x的不等式的解集为，求实数n的值； (2)当时，若时，关于x的不等式恒成立，求的最小值； (3)当时，若时，关于x的不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）由题设解集为，列方程组求参数即可； （2）讨论、、，结合不等式恒成立，分别得到、在上恒成立、在上恒成立，进而分别求出对应情况下目标式的最小值； （3）讨论、、，问题化为一元二次不等式恒成立，再分别求出对应参数范围，最后取并. 【详解】（1）由题设解集为， 所以，解得. （2）由时，关于x的不等式恒成立，且， 当，则恒成立，满足题设，此时，故无最小值； 当，即时，恒成立，即恒成立， 又在上递减，则，故， 所以，只需，当且仅当，时等号成立， 此时，的最小值为2； 当，即时，恒成立，即恒成立， 又在上递减，则，故， 所以，只需，同上分析知：，故无最小值. 综上，时无最小值；时的最小值为2； （3）由题设， 当时，，对于任意，恒成立； 当时，对于，，即恒成立， 所以，解得，故； 当时， 若，则，，则，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，又，所以； 若，则，，则，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，又，所以； 若，则时，，即时，即，无解， 此时； 综上， 题型四 不等式恒成立、能成立问题 （共7小题） 36．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知二次函数满足，，且在上的最小值为. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值； (3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）依题意利用待定系数法解方程即可得出函数解析式； （2）根据二次函数性质分类讨论求得函数函数在区间上的单调性，可得的表达式； （3）易知，将不等式恒成立转化为，再利用函数单调性计算可得. 【详解】（1）由可知关于对称，且在上的最小值为； 故可设， 由可得，； 所以函数的解析式为； （2）由（1）可知 ①当时，， 此时在区间上单调递减，可得， ②当时，， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得， ③当时， 此时在区间上单调递增，； 综上可得； （3）由题知，当时，； 即求对任意，存在，使得， 令，当时， 即对于，使得恒成立， 也即对于，使得恒成立， 可得， 令，所以， 因为在区间上单调递增，所以当时，； 因此可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将双变量不等式恒成立问题转化为求函数最小值问题，再利用换元法求得函数单调性即可得出结论. 37．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数定义域为，若存在，，实数大于0，对，有成立，则称为定义在上的函数. (1)已知为定义在上的函数，求最大的区间； (2)已知为定义在上的函数，求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意，令求解的范围即可. （2）结合题意令转化成二次函数在定区间上的恒成立问题求解. （3）结合题意，将题目转化成恒成立的问题求解即可. 【详解】（1）即解得: 故最大的区间为： （2）恒成立，即且 即且令则且 则且 故 （3）因为 为定义在 上的 函数, 所以对 恒成立, 分别取 , 得 , 则 . 所以 . ,, 当 时, , 解得: . 故答案为：. 【点睛】新结构题目读懂题目的含义结合所学知识求解是关键. 38．（24-25高一上·江苏连云港·期中）设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数. (1)求证：函数是函数； (2)若函数是函数，求实数； (3)若函数是函数，求实数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用函数为函数的定义求解. （2）法一：根据函数是函数，先由不成立，得到或；再根据函数的新定义，由，转化为，令，根据在单调递减，由求解；法二：根据函数是函数及在是增函数，由求解； （3）法一：由，得到，从而，再由函数是函数，化简得到，由求解；法二：同上，由求解. 【详解】（1）解：任取，总存在， 使得， 所以是函数. （2）法一：因为函数是函数， 若，则当时，， 此时不存在，使得， 所以或； 若任取，存在，使得， 所以，化简得， 令， 因为在单调递减， 所以 当时，得， 当时，得， 综上所述. 法二：因为函数是函数，若，则当时，， 此时不存在，使得， 所以或； 若任取，存在，使得， 只需满足即可，因为在是增函数， 故有，即， 解得. （3）法一：因为，所以， 所以， 又 所以函数为增函数； 函数是函数， 所以任取，存在，使得， 化简得， ，得，所以. 法二：因为，所以，所以， 又 所以函数为上的增函数； 又函数是函数， 所以任取，存在，使得， 等价于， 即，即， 解得. 【点睛】方法点睛：对任意，存在，使得，由而得解. 39．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间（不需证明）； (2)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (3)当时，函数在上既有最大值又有最小值，是否存在正整数，使恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间； (2)最大值为，最小值为； (3)存在正整数，满足题意. 【分析】（1）将函数改写成分段函数形式，根据二次函数性质并由函数图象即可得出的单调区间； （2）代入求得函数在区间上的单调性，计算即可得出最大值和最小值； （3）分别讨论出函数在不同区间上的单调性，再由最值所在区间结合图象可得的取值范围，利用不等式性质即可求得结果. 【详解】（1）当时，可得， 去绝对值后可得， 易知函数关于对称，所以其在上单调递增， 函数关于对称，所以其在上单调递增， 又易知两函数在处的函数值相等，图象如下图所示：    可知函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）时，可得， 当时，， 根据二次函数性质可知在上单调递增； 当时，， 根据二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减； 又； 因此可知函数在区间上的最大值为，最小值为； （3）当时，， 若，则， 由二次函数性质可得，在上单调递增， 若，则， 由二次函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减； 又函数在上既有最大值又有最小值， 所以最大值为，最小值为， 当，令，解得； 当，令，解得； 因此区间中需包含区间，且两边范围不超出和，画出示意图如下：    即满足，因此可得； 所以，又，可得恒成立即可； 显然， 所欲的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数在上既有最大值又有最小值，并根据函数单调性限定出的范围，得出的表达式即可得出结论. 40．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：为上的奇函数，所以，得，则， 又，所以，所以， 对任意的，， 所以，函数为奇函数，合乎题意， 综上所述，. （2）解：当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，所以．                  不等式，即， 得在有解，所以且，即 （3）解：因为，所以， ，恒成立，所以， 则， 而 设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，函数在上单调递减，可得， 所以，即的最小值为． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 41．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)若函数的图象与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，设三个交点的横坐标分别为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）将代入中，直接求出的值即可； （2）根据函数的图象与直线有三个不同的交点，对分类讨论，求出的取值范围即可； （3）根据条件，可得，令，求出的最大值，再求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）， 函数的图象与直线有三个不同的交点， 当，即时，，故； 当，即时，，故； 当，即时，无解； ， 当，即时，，故无解. 综上，实数的取值范围是； （3）由题知，是的较小根， 是方程的根，所以， 令， 设在上单调递减， 所以时，，因为恒成立，所以， 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是转化为不等式恒成立问题. 42．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为． (1)求的值，并证明在上单调递增； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）令可求出的值；再由单调性的定义证明即可； （2）令可将题意转化为，恒成立，分类讨论，，，由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，即，解得，， 此时，，成立， 所以的值为1， 任设，则， 因为，所以， 所以，所以， 可证得在上单调递增； （2）由， 可得， 因为，由（1）知，令， 所以，恒成立 ①当时，恒成立，满足题意， ②当时，二次函数的图象开口向上， 对称轴方程为 所以当时，，解得， ③当时，二次函数的图象开口向下， 所以，解得，   综上：实数的取值范围是． 题型五 函数单调性+奇偶性 （共5小题） 43．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)记. （i）讨论在上的单调性，并说明理由.再请直接写出在上的单调区间； （ii）是否存在这样的区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是.若存在，求出区间；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)（i）在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，；（ii）存在，. 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明. （2）（i）利用单调性定义求出的单调区间，进而求出的单调区间；（ii）假定存在，分类讨论并结合单调性求值域建立方程求解即得. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，， 所以函数是奇函数. （2）（i），， 由，得， 当时，，则，函数在上单调递减； 当时，，则，函数在上单调递增， 当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增. （ii）由（i）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 假设存在区间符合条件， ①当时，在上单调递减，则，即， 化简得，而， 因此不成立，即无解，不存在； ②当时，在上单调递增，则，即， 是方程，即的两个实根， 解得，符合题意，区间为； ③当时，在上单调递减，则， 化简得，而，则，即， 由，得，，无解，不存在； ④当时，在上单调递增，则， 是方程，即的两个实根，此方程在无解，不存在， 所以存在区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是，该区间为. 【点睛】关键点点睛：求出函数在上的单调区间，再按单调性分类讨论是求解问题的关键. 44．（23-24高一上·江苏南通·期中）定义在上的函数，对任意的，都有成立，且当时，． (1)求的值； (2)证明：在上为增函数； (3)当时，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接令，即可求出的值 （2）利用已知，结合函数单调性的定义进行证明即可 （3）根据，可得，然后利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】（1）令，则； 所以. （2）设，则， 所以， ， 即， 所以在上为增函数； （3）， ， ， 在上为增函数， 解得：， 所以不等式的解集为． 45．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）奇函数在0处有定义则，结合，建立方程组，求出解析式； （2）由取值定大小、作差、判断差正负的顺序证明函数的单调性； （3）对分类，，当时，分子分母同除，借助基本不等式求得值域，由奇函数得到当时的值域，从而得到函数值域. 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴，即，又∵，∴， ∴，经检验，为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ∵，∴，，，， ∴， ∴在上单调递增. （3）当时，， 当时，， 令， 当时，，当且仅当，即时，取等号， ∴当时，, 又∵函数是定义在上的奇函数， ∴当时，， 综上所述：，即函数的值域为. 46．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数是定义在上的奇函数.且. (1)求实数，的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及的值求得； （2）利用函数单调性的定义证得的单调性； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数． 所以，解得， 则． 又因为，则，解得， 经检验时，， 则是奇函数． 所以． （2），函数在上单调递增， 证明：任取． ， 因为，所以， 则， 所以，即， 故函数在上单调递增． （3）函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，解得，所以的取值范围是． 47．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解； （2）结合指数函数的单调性，利用定义法进行单调性证明即可； （3）由为奇函数，不等式化为，再结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数. （3）因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 题型六 抽象函数（共4小题） 48．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； （2）依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握赋值法，得到所需函数值，从而利用函数的奇偶性与单调性即可得解. 49．（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义在的函数满足，且当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）利用函数的单调性的定义证明. 【详解】（1）证明：函数的定义域为， 令，得：，， 再令，则， 即， 所以函数在上是奇函数. （2）在上是单调递减函数， 证明如下： 任取，，且，则， 则， 因为当时，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 50．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. (1)求； (2)证明函数是奇函数； (3)解关于的不等式， 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据抽象函数关系式采用赋值法求解的值； （2）根据奇函数的定义验证即可； （3）根据知己确定函数的单调性，将不等式转化为含参一元不等式，分类讨论解不等式即可得结论. 【详解】（1）对于任意，都有. 令得即 （2）函数定义在上， 由（1）并令得，即 所以函数是奇函数 （3）原不等式即， 由（2）是奇函数及对，都有， 得即， 任取、，且， 则， 由，．， ，即， 从而在上是增函数； 所以，即， 当时不等式即，解集为， 当时，方程的两根为或， ①当时，，所求不等式的解集为； ②当时，，所求不等式的解集为； ③当时，，所求不等式的解集为； 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 51．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减． (1)证明：函数是偶函数； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可； （2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可. 【详解】（1）令得，即； 令得，即． 令得，即， 所以是偶函数得证； （2）由已知定义， 所以即，所以， 因为是偶函数，且在单调递减， 所以， 即的解集为 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 4．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解. 【详解】由得关于对称， 由得， 即， 所以也关于对称， 因此两函数图象交点也是对称的， 假设点与点对称， 则，所以推理可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出. 5．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，对内的任意两个不相等的数，都有且．若实数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．19 【答案】B 【分析】利用赋值法求得，令，进而可求得，可计算，结合单调性可求得最小值. 【详解】， 令， 和原式比较， ， 都有在上单调递增， ， . 故选：B． 【点睛】思路点睛：通过构造函数得到，进而运算得到是本题的重点，也是解决有些抽象函数问题的常用方法. 6．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 7．（多选）（22-23高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得， 所以0是集合的聚点，A选项正确； 对于集合，对于某个实数，比如， 此时对任意的，都有， 也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误； 对于集合，对任意的，都存在，即， 使，所以0是集合的聚点，C选项正确； 对于集合，，随着n增大而增大， 的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 8．（多选）（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知，，且，则（    ） A．的最大值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为10 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】直接由基本不等式即可判断A、B；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】因为，，且，所以，解得，当且仅当时等号成立，故A错误； 因为，由A选项分析可知， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 因为，，且，所以， 所以， 等号成立当且仅当，故C错误； 因为，且， 所以不妨令， 因为， 所以单调递增， 所以， 从而，等号成立当且仅当. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断较为简单，而C、D选项的关键是先等价变形表达式，然后利用基本不等式和对勾函数去判断. 9．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，则（    ） A．直线是曲线的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时，有 【答案】BCD 【分析】根据函数的对称性、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 画出的图象如下图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，A错误. 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，B正确. 对于C，对， ， 即总成立，故C正确. 对于D，当时，，则， 此时关于直线对称，故有成立； 当时，，成立； 当时，， 由图知，即成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛： 函数图象的辅助分析：通过画出函数的图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的性质，是解题过程中非常有效的辅助手段； 单调性与对称性结合分析：通过对函数单调性和对称性分析，确保对函数的所有性质有准确全面的理解，这是判断选项的关键步骤. 10．（多选）（24-25高三上·江苏扬州·期中）定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，.则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A：根据，的大小关系判断；B：先计算出的值，代入于，可求；C：通过转化可得，由此计算并判断；D：根据条件计算出，的值，结合条件③可判断出的值. 【详解】因为，所以； 因为，所以，所以. 再由，令得：； 由，令得：. 所以. 由上可知：A错误，B正确； 因为， 所以，故C成立； 因为， ， 因为当时，，且， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：抽象函数表达式的确定一般需要通过“迭代”的思想，逐步计算出所求函数的表达式；求抽象函数的函数值时可直接采用赋值法.本题中的D项，一方面需要借助赋值法确定出函数值，另一方面要结合③的定义去分析. 11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，若集合中恰有个元素，且各元素之和为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】易知当时，，又恰有个解，可得，分情况列方程，结合根于系数关系及各解之和可得，结合判别式可得解. 【详解】由已知当时，， 又由已知可得方程恰有个解，则， 即当时，方程至多只有一解， 当时，方程可转化为，即，至多有两个解， 综上所述方程在时有一解为， 方程在时有两个解，，且满足，， 又，解得， 则， 解得， 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以，所以三个整数解为， 所以，解得. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键. 13．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 【答案】 0 / 【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可. 【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称， 从而，即.当时，，.故； ，不等式组等价于， 因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以； 又，所以，因此，是的两个正根，即， 所以，解得， 又因为，所以， 即，解得或（舍）. 故答案为：0；. 【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键. 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）若定义在上的函数，则称为狄迪克雷函数.对于狄迪克雷函数，下列结论中正确的是 （填序号即可）． ①函数为偶函数； ②对于任意，都有； ③对于任意两数，都有； ④对于任意，都有. 【答案】①④ 【分析】根据新定义函数、函数的奇偶性等知识对四个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，若，则，则； 若，则，则； 所以为偶函数，所以①正确. ②，由于，所以，所以②错误. ③，不妨设， 所以，， 此时，所以③错误. ④，若，则，则； 若，则，则， 所以对于任意，都有，④正确. 故答案为：①④ 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 15．（24-25高一上·江苏常州·期中）定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解得，则不等式对任意恒成立，得，解之即可； （2）分类讨论当或、时，结合新定义解出对应的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由解得：， 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， 令，， 则， 解得：， 实数的范围为 （2）①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ，，设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．   综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 16．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，化为，再利用基本不等式求最值即可； （2）利用，则化为，再利用配凑法，得到，即可利用基本不等式求最值； （3）先利用利用，则，化为，再利用分离常数法将原式化为，利用换元法得到，分子分母同除以，即可利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当， 即时，取等号，所以的最大值为. （3）因为，即，因为，，所以， 所以，整理得， 原式化为， 令，则，因为，所以， 所以原式化为：， 整理得：，因为，分子分母同时除以， 得：，因为，所以，， 所以， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 此时，所以当时，取得最大值 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于，对分子换元，分子设为一个整体，分子分母同除以新元， 整理后凑出乘积为定值，这样可以算出分母的最小值，也就得到了所求分式的最大值. 17．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件先求出，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可. （2）先求出，将函数表示成分段函数形式，结合，分区间讨论对应函数的最值进行求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 作出的图象，如图： 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以. （2）函数，则， 则， 作出函数的图象，如图： 由，得区间的长度为，， 当时，，函数在上单调递增， ； 当时，，函数在上单调递减， ； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键. 18．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 【答案】(1)或； (2)； (3)时，，，时，，． 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由已知求得，先分，然后考察对称轴与区间端点的远近，从而得最小值； （3）求出方程的解，然后根据解是整数，得出或，代入求得． 【详解】（1）由已知有两个不等实根， 所以，解得或； （2）由，可知， 又，故，显然， 所以， 当时，的图象是开口向上的抛物线， 当时，，， 当时，， 当时，的图象是开口向下的抛物线， 时，，， 时，，， 所以； （3）由题意，， 由得， 又方程的解都是整数，则或2， ，即时，，， ，即时，，． 综上，时，，，时，，． 【点睛】结论点睛：二次函数在区间的最值， （1）时，，； （2），时，，； （3），时，，； （4）时，， ，类似讨论可得． 19．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. (1)函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“美好函数”，求的值； (3)已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出函数的最值，即可判断； （2）首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得到方程，解得即可； （3）结合函数单调性的定义及对勾函数的性质得到函数的单调性，再对分类讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 则， 所以不是在上的“美好函数”； （2）因为，， 则在上单调递减，所以，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以，解得. （3）函数的定义域为， ，所以为奇函数， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递减的证明如下： 设， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递减. 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得或（舍去），所以， 即在上为“美好函数”； 当时在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最小值为，最大值不可能为，故不符合题意； 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得（舍去）或，所以， 即在上为“美好函数”； 当时，即时，在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意； 综上可得或. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解所给“美好函数”的定义，结合函数的单调性求出函数的最值. 20．（24-25高一上·江苏·期中）我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数，且，求的值. (2)已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 【答案】(1) (2)（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）利用，即可求解； （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，得到，解得答案； （Ⅱ）首先通过平移变化得到的图象的对称中心也为，从而确定函数与图象个公共点也关于对称. 【详解】（1）由， 则， 又，则. （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数， 对任意恒成立， 即， 所以恒成立， 则，解得. 故函数图象的对称中心为. （Ⅱ）由， 又的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的图象， 则的图象的对称中心也为. 则函数与图象个公共点也关于对称，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $