专题03 不等式（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题03 不等式 题型1 不等式的性质 题型9 基本不等式的恒成立问题（重点）（难点） 题型2 作差法比较大小（重点） 题型10 基本不等式的实际应用（重点） 题型3 利用不等式求取值范围（重点） 题型11 一元二次不等式（不含参）（常考点） 题型4基本不等式辨析（常考点） 题型12 一元二不等式（含参）（重点）（难点） 题型5 利用不等式求和、积最值（常考点） 题型13 由一元二次不等确定参数（常考点） 题型6 基本不等式（商式型）（难点） 题型7 基本不等式（“1”的妙用）（重点） 题型8 基本不等式（条件等式求最值）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的性质（共5小题） 1．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 题型二 作差法比较大小（共5小题） 6．互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 7．设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 8．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，大小不确定 9．若，，则M、N的大小关系是M N 10．若，设，则M，N的大小关系是 ． 题型三 利用不等式求取值范围 （共5小题） 11．已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 12．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，求的取值范围 . 14．已知，且，则的取值范围是 ． 15．已知，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 题型四 基本不等式辨析 （共5小题） 16．（多选）下列选项中正确的是（    ） A．若正实数x，y满足，则 B．当时，不等式的最小值为3 C．不等式恒成立 D．存在实数，使得不等式成立 17．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 18．（多选）下列命题中正确的是（ ） A．当时， B．若，则的最小值是 C．当时， D．的最小值是 19．（多选）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是2 B．若且，则 C．函数的最大值为0 D．的最小值是2 20．（多选）现有以下结论 ①函数的最小值是2 ②若且，则 ③的最小值是2 ④函数的最小值为 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型五 利用不等式求和、积最值（共5小题） 21．（多选）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 22．（多选）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 23．（多选）设，则（　　） A． B． C． D． 24．（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（多选）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 题型六 基本不等式（商式型）（共5小题） 26．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 27．函数 的最大值为 . 28．已知，则函数的最小值是 ． 29．函数 的最小值为 ． 30．(1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 题型七 基本不等式（“1”的妙用）（共5小题） 31．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 33．设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 34．已知正实数满足，则的最小值为 . 35．已知，，，则的最小值为 ． 题型八 基本不等式（条件等式求最值）（共5小题） 36．已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 38．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 39．（多选）若实数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 40．已知正数，满足，则的最大值是 . 题型九 基本不等式的恒成立问题（共5小题） 41．对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 42．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．，不等式恒成立，则正数的最小值是（   ） A．8 B．16 C．27 D．36 44．已知，恒成立，则的取值范围是 . 45．已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 题型十 基本不等式的实际应用（共5小题） 46．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 47．某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 48．某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 49．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 50．随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 题型十一 一元二次不等式（不含参）（共5小题） 51．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 52．不等式的解集是 ． 53．解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 54．解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 55．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 题型十二 一元二不等式（含参）（共5小题） 56．（多选）已知为常数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 57．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 58．分别求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 59．解关于的不等式：（其中）． 60．解关于的不等式：． 题型十三 由一元二次不等确定参数（共5小题） 61．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 62．（多选）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 63．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 64．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 65．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 $专题03 不等式 题型1 不等式的性质 题型9 基本不等式的恒成立问题（重点）（难点） 题型2 作差法比较大小（重点） 题型10 基本不等式的实际应用（重点） 题型3 利用不等式求取值范围（重点） 题型11 一元二次不等式（不含参）（常考点） 题型4基本不等式辨析（常考点） 题型12 一元二不等式（含参）（重点）（难点） 题型5 利用不等式求和、积最值（常考点） 题型13 由一元二次不等确定参数（常考点） 题型6 基本不等式（商式型）（难点） 题型7 基本不等式（“1”的妙用）（重点） 题型8 基本不等式（条件等式求最值）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的性质（共5小题） 1．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举出反例可判断ABC；根据不等式性质可判断D. 【详解】取，，则，故A错误； 取，则，故B错误； 取，，，则，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 3．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断BC的正误，利用作差法结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：取，则，故A错误. 选项B：因为，而，故，故B正确. 选项C：由，可得， 则不等式两边均乘以可得，故C正确. 选项D： 又，则， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质及作差法判断各项不等式的正误. 【详解】A：由，则，对； B：若时，错； C：由，则，故，对； D： 又，则，故 即， 所以，错. 故选：AC 5．（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，由不等式性质的同向可加性可判断；对于B，当时，不等式不成立；对于C，根据不等式性质同乘一个正数不等号方向不变；对于D，可举例判断. 【详解】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意； 由，得，C符合题意； 当时，满足， 此时，则，D不符合题意. 故选：AC. 题型二 作差法比较大小（共5小题） 6．互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法先比较的大小关系，再利用作差和配方法求得的大小关系，从而得到正确选项. 【详解】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D 7．设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【答案】A 【分析】作差并与0比较大小得解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 8．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，大小不确定 【答案】B 【分析】利用作差法分析判断即可 【详解】因为， 所以. 故选：B 9．若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【详解】令，则，， ， 所以. 故答案为： 10．若，设，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法求解. 【详解】， 因为， 所以， 所以，即， 故答案为： 题型三 利用不等式求取值范围 （共5小题） 11．已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 12．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 13．已知，，求的取值范围 . 【答案】 【分析】先由待定系数法可得，再由不等式的同向可加性，代入计算，即可得到结果. 【详解】设， 则，解得，所以， 又，，则， 则. 所以的取值范围为. 故答案为： 14．已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将用和线性表示，再运用不等式的性质求其范围即得. 【详解】设， 则,解得， 即. 又，， 故，， 则， 即的取值范围是． 故答案为：. 15．已知，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式基本性质即可得到答案； （2）利用待定系数法,设，得到方程组解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 两式相加得，所以， 所以实数的取值范围为． （2）设， 所以，所以解得 所以． 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 题型四 基本不等式辨析 （共5小题） 16．（多选）下列选项中正确的是（    ） A．若正实数x，y满足，则 B．当时，不等式的最小值为3 C．不等式恒成立 D．存在实数，使得不等式成立 【答案】AD 【分析】根据基本不等式的条件结论以及基本不等式中乘1法验证即可. 【详解】对于A，若正实数x，y满足，则， 当且仅当，即，时等号成立，故A正确； 对于B，时，，则有， 当且仅当时，即时等号成立，故该题等号不能成立，所以不等式的最小值不为3，故B错误； 对于C，不等式恒成立的条件是，，比如取，时，不等式不成立，故C错误； 对于D，当为负数时，不等式成立，比如取，不等式成立，故D正确. 故选：AD. 17．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，①， 但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误. B选项，当时，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，当时，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，是正数， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BCD 18．（多选）下列命题中正确的是（ ） A．当时， B．若，则的最小值是 C．当时， D．的最小值是 【答案】BC 【分析】对于A，举反例即可判断A错误； 对于B，利用基本不等式可得B正确； 对于C，利用基本不等式可得C正确； 对于D，不满足基本不等式取等号的条件，判断D错误. 【详解】若，则，显然不满足，A错误； 若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确； 若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确； 若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误. 故选：BC. 19．（多选）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是2 B．若且，则 C．函数的最大值为0 D．的最小值是2 【答案】BC 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，所以A选项错误. B选项，若且，则， 所以，当且仅当时等号成立，B选项正确. C选项，当时，， 当且仅当时等号成立，所以，C选项正确. D选项，， 但方程无解，所以等号不成立，D选项错误. 故选：BC 20．（多选）现有以下结论 ①函数的最小值是2 ②若且，则 ③的最小值是2 ④函数的最小值为 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断. 【详解】①未限定，时，，故错误； ②且，，，，故正确； ③，，当且仅当，即时取等， ，等号不成立，最小值不为2，故错误； ④，，当此仅当，即时取等， 故函数的最大值为，故错误． 故选：ACD 题型五 利用不等式求和、积最值（共5小题） 21．（多选）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由，可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾， 故的最小值大于2，故C错误； 对于D，，故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 22．（多选）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 23．（多选）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】举例判断AD；根据基本不等式求解判断BC. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，则，当且仅当，即时等号成立， 则，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，而在时，无解，则，故C正确； 对于D，当时，，无意义，故D错误. 故选：BC. 24．（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，故A错误． 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C，若为负值，则， 显然不成立，故C错误． 对于D，， 但等号成立需满足，此时无解， 所以等号不成立，即，故D正确． 故选：BD. 25．（多选）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】AC由基本不等式进行求解；B选项，可举出反例；D选项，变形后利用基本不等式求出答案. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，，故A正确； 对于B，取，则，故B不正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故不是4，故C错误. 对于D，因为，所以， 故有基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：AD 题型六 基本不等式（商式型）（共5小题） 26．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 27．函数 的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 28．已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 29．函数 的最小值为 ． 【答案】7 【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值. 【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 30．(1)已知正数、满足，求 的最小值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得 的最小值； （2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 题型七 基本不等式（“1”的妙用）（共5小题） 31．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 32．已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 33．设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 34．已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 35．已知，，，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用基本不等式把用的不等关系表示，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】因为，，所以，，又因为， 等号当且仅当，即时取等号，所以， 由可得，整理得， 解得，等号当且仅当，时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 题型八 基本不等式（条件等式求最值）（共5小题） 36．已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 37．已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 38．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C 39．（多选）若实数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用平方不等式可判断选项A、B，利用判别式法可判断选项C、D. 【详解】由平方不等式可得：，代入， 则，取等号条件是，故A正确；B错误； 令， 则， 由于存在满足上式成立，则， 即，故D正确，C错误； 故选：AD. 40．已知正数，满足，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】变形得到，求出，从而得到，得到答案. 【详解】， 两边同除以得，即， 故， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 故的最大值为6，此时. 故答案为：6 题型九 基本不等式的恒成立问题（共5小题） 41．对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将恒成立转化为最值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】对于任意，恒成立，则 而，当且仅当时取等号，所以. 故选：D. 42．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 43．，不等式恒成立，则正数的最小值是（   ） A．8 B．16 C．27 D．36 【答案】B 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后利用恒成立即可求解 【详解】由基本不等式可知， 当且仅当取得等号，由题意， ∴正数的最小值是16. 故选：B 44．已知，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意只需，由构造法以及基本不等式即可求解. 【详解】由题意，恒成立，故只需， 当时，， 等号成立当且仅当， 从而当时，的最小值为， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 45．已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 题型十 基本不等式的实际应用（共5小题） 46．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 47．某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 48．某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】(1) (2)10万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 49．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论即可求解； （2）结合（1）的结论，利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值即可求解. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故. （2）当时， 开口向下，对称轴为， 故的最大值为（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为（万元）， 因为， 所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 50．随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 【答案】(1) (2)时，取得最大值为1150万元. 【分析】（1）依题意可求得参数的值，再根据利润与年销量间的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元， 所以，解得. 当销售20万件衣服时，年利润为1145万元， 所以，解得. 当时，； 当时， 所以 （2）当时，，所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为1150， 综上可知，当时，取得最大值为1150万元. 题型十一 一元二次不等式（不含参）（共5小题） 51．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】将原不等式转化为，解出，再求解出的范围即可. 【详解】原不等式可化为，解得， 则，故解集为． 故选：A. 52．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】等价转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由，得，化简得， 则，解得， 所以原不等式的解集是． 故答案为： 53．解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用一元二次不等式的解法求解； 【详解】（1）由， 得， 解得， 所以原不等式的解集为； （2）由， 得， 解得或， 所以原不等式的解集为：； （3）由， 得，即， 解得， 所以原不等式的解集为. 54．解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解， （3）根据分式不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 （3）由得， 故或， 故不等式的解为或 55．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解； （2）利用绝对不等式的解法即可得解； （3）利用分式不等式的解法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 解得，故不等式的解集为. （2）因为，所以，解得， 所以的解集为. （3）因为，所以， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 题型十二 一元二不等式（含参）（共5小题） 56．（多选）已知为常数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据实数和的大小关系进行分类讨论，再解不等式，即可判断. 【详解】当时，的解集为，故B正确； 当时，的解集为，故C正确； 当时，的解集为，故A正确； 故选：ABC. 57．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 58．分别求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解； （2）分解因式后，根据的大小关系分类讨论求解. 【详解】（1）由可得， 所以不等式的解为， 故不等式的解集为. （2）由可得， 当，即时，由知，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为. 59．解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 60．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】首先分和，时再分，，，从而求出不等式解集. 【详解】当时，则，解得， 当时，， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上知， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 题型十三 由一元二次不等确定参数（共5小题） 61．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 62．（多选）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 【答案】BD 【分析】由一元二次不等式的解集性质、一元一次不等式的解集性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，所以不等式的解集不可能为，故A错误； 对于B，当且时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集也为，故B正确； 对于C，因为当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，而解集不包含0，故C错误； 若该结论正确，显然，且，是一元二次方程的两个实数根， 由，解得，此时不等式为，即，解集为，故D正确. 故选：BD. 63．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 64．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 65．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. $