专题05 函数的概念与表示（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题05 函数的概念与表示 题型1 判断函数关系（常考点） 题型9 方程组法求解析式（重点） 题型2 已知函数值求自变量或参数（常考点） 题型10 分段函数问题（重点） 题型3 函数的定义域（常考点） 题型11 题型4已知函数的定义域求参数（重点） 题型12 题型5 值域问题（难点） 题型13 题型6 根据值域求参数（难点） 题型14 题型7 待定系数法求解析式（重点） 题型15 题型8换元法求解析式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断函数关系（共5小题） 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 3．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 4．（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由函数的定义，对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，即可判断. 【详解】根据函数的定义，在选项A、C、D中的图象中， 对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，所以可以作为函数图象， 选项B中，当 时，有2个 与之对应，不能作为函数图象. 故选：ACD. 5．（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 题型二 已知函数值求自变量或参数（共5小题） 6．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 7．已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解方程求得的值. 【详解】由，得，解得. 故选：A 8．设函数，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】代入即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 9．已知，且，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由列式求解即可. 【详解】∵，且， ∴，解得. 故答案为：. 10．已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据解析式直接求值即可得到结果； （2）根据已知条件解方程即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为，所以，所以 题型三 函数的定义域 （共5小题） 11．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求解即可. 【详解】由题可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 12．函数的定义域为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域的概念得到中的范围，再由分母有意义得到分母中的范围，取交集即可得到的定义域. 【详解】要使有意义，则解得，所以的定义域为 故选：C. 14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 15．已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 题型四 已知函数的定义域求参数 （共5小题） 16．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 17．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域为，意味着根号下的函数的值恒大于等于；需要分和两种情况进行讨论. 【详解】由题意可知，对任意，恒成立． （ⅰ）当时，不恒成立，舍去； （ⅱ）当时，应满足，解得． 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 18．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 19．函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得不等式对于恒成立，进而结合一元二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式对于恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 20．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得的解为，求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的解为，即的图象与轴没有交点， 当时，函数的图象与轴没有交点，故符合题意； 当时，要使的图象与轴没有交点， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围. 故答案为： 题型五 值域问题（共5小题） 21．函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 22．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得替换化简结合分式不等式解得函数值域. 【详解】由题意得得则， 得，解得或． 故函数的值域为． 故答案为：. 23．函数的值域为 ． 【答案】且. 【分析】由题意得，其中且，由此即可得解. 【详解】，其中且， 所以， 所以且， 所以函数的值域为且. 故答案为：且.. 24．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 25．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 题型六 根据值域求参数（共5小题） 26．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 27．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 28．已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   29．已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得． 故答案为：． 30．若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案． 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 题型七 待定系数法求解析式 （共5小题） 31．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得6， 因此，解得，所以． 故选：A 32．已知是一次函数且，则的解析式 . 【答案】 【分析】由题意设，利用待定系数法求解. 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 33．已知二次函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 34．求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 35．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式.由得 ； ，得；以及.即可得出解析式. 【详解】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 题型八 换元法求解析式 （共5小题） 36．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式. 【详解】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 37．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 38．已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】令（），采用换元法求函数的解析式. 【详解】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 39．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】令由于，则， 所以，，得； 所以，函数的解析式为； 故选：B. 40．（多选）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D. 【详解】令，则，所以，则，故C错误； ，故A正确；，故B错误； （且），故D正确． 故选：AD． 题型九 方程组法求解析式 （共5小题） 41．已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 42．已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 【答案】 【分析】用替换，联立解得. 【详解】由得， 联立两式解得. 故答案为：. 43．已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 44．已知函数满足：，则 ． 【答案】 【分析】由方程组法求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数满足①， 所以，②， 联立①②得，故. 故答案为：. 45．已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】利用解方程组法，依次用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】由题意知，① 用代换①式中的，得， 即，② 用代换①式中的，得， 即，③ 由①②③，得 则（且）． 题型十 分段函数问题（共5小题） 46．已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据分段函数特点逐步代入即可. 【详解】. 故选：A. 47．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性结合二次函数性质列式求解即可. 【详解】若函数在定义域上是减函数， 则,解得, 故选：B 48．（多选）已知函数， 关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若， 则的值是 【答案】BC 【分析】根据分段函数解析式可得到其定义域，判断A选项，分别在各自自变量范围内，求解其函数范围，最后取其并集，为最终值域，即可判断B选项，将代入，可判断C，在各自范围内，令其等于3，得到或，即可判断D选项. 【详解】由分段函数解析式可知其定义域为，故A错误； 当时，此时，在上单调递增，则此时； 当时，此时，对称轴为，则，且，故此时， 故值域为，作出如图所示图象，故B正确； ，故C正确， 当时，，；当时，，（舍去另一个负值）， 故若,则的值是或，故D错误； 故选：BC. 49．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 50．定义，已知，，记函数，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】先根据题意求出解析式，然后求出每一段上函数的值域，从而可求出的值域，进而可求出的最大值. 【详解】由，得，化简得， 解得或， 所以， 在上递增，所以， 在上递减，所以， 在上递减，所以，得， 综上，， 所以的最大值是. 故答案为： $专题05 函数的概念与表示 题型1 判断函数关系（常考点） 题型9 方程组法求解析式（重点） 题型2 已知函数值求自变量或参数（常考点） 题型10 分段函数问题（重点） 题型3 函数的定义域（常考点） 题型11 题型4已知函数的定义域求参数（重点） 题型12 题型5 值域问题（难点） 题型13 题型6 根据值域求参数（难点） 题型14 题型7 待定系数法求解析式（重点） 题型15 题型8换元法求解析式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断函数关系（共5小题） 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 3．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知函数值求自变量或参数（共5小题） 6．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 7．已知函数，若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则实数的值为 . 9．已知，且，则a的值为 ． 10．已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 题型三 函数的定义域 （共5小题） 11．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 12．函数的定义域为（    ） A．B． C． D． 13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 15．已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 题型四 已知函数的定义域求参数 （共5小题） 16．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 17．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 18．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 19．函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 20．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 题型五 值域问题（共5小题） 21．函数的值域是 . 22．函数的值域为 ． 23．函数的值域为 ． 24．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 25．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 题型六 根据值域求参数（共5小题） 26．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 27．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 28．已知函数的值域是，则 ， ． 29．已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 30．若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 题型七 待定系数法求解析式 （共5小题） 31．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 32．已知是一次函数且，则的解析式 . 33．已知二次函数满足，则函数的解析式为 34．求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 35．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 题型八 换元法求解析式 （共5小题） 36．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 37．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 38．已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 39．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 40．（多选）若函数，则（    ） A． B． C． D． 题型九 方程组法求解析式 （共5小题） 41．已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 42．已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 43．已知函数满足，则 . 44．已知函数满足：，则 ． 45．已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 题型十 分段函数问题（共5小题） 46．已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 47．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（多选）已知函数， 关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若， 则的值是 49．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 50．定义，已知，，记函数，则的最大值是 . $