第三章 二次函数（单元测试·基础卷）数学鲁教版五四制九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知二次函数，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小． 【详解】解：， 的开口最小，的开口最大， 即， 故选：C． 2.顶点坐标为（－2，0），开口大小与抛物线y＝x2+3相同，开口方向相反的解析式为(   ) A．y＝ (x－2)2 B．y＝ (x＋2)2 C．y＝ (x-2)2＋3 D．y＝－ (x＋2)2－3 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，可设此抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线的形状相同，且开口方向也相同，可得，即可确定出解析式． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标为，设此抛物线解析式为， 抛物线的形状与抛物线相同，开口方向相反， ， 此抛物线的解析式为． 故选：B 3.对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再求出当时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案。 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故A、B说法正确，不符合题意； ∴当时，y随x增大而增大， 当时，， ∴当时，的最大值为21，故C说法正确，不符合题意； ∵原抛物线顶点坐标为， ∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为，即，故D说法错误，符合题意； 故选：D. 4.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 5.已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 6.已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 7.“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 8.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①符合题意； 抛物线的对称轴是直线， 故②符合题意； 当或时， ， 故m的值为0， 故③不符合题意； ∵图象过原点，对称轴为直线，抛物线的开口向上 ∴图象不过第三象限，图象经过一、二、四象限； 故④符合题意； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不符合题意． ∴符合题意的有①②④ 故选：A． 9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是(     ) A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月 【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【详解】当－n2＋15n－36≤0时该企业应停产，即n2-15n+36≥0，n2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n≥12或n≤3时n2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产． 故选D. 10.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.当 时，函数是二次函数． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查根据二次函数的定义求字母的值，二次函数中未知数的最高次数是2，二次项的系数不能为0，由此列式求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 又， ， ， 故答案为：． 12.二次函数的图象经过，两点，且函数有最小值1，此二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握利用抛物线的对称性求对称轴． 由抛物线的对称性及点A，B坐标出抛物线的对称轴，即可得顶点横坐标，再由函数有最小值1，求得顶点纵坐标． 【详解】解：∵，两点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为直线， ∴顶点横坐标为， ∵函数有最小值1， ∴顶点纵坐标为1， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 13.湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 14.如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据点（0,10）求出抛物线的解析式，根据矩形长和宽的比为2∶1判断四边形OECD是正方形，求出C点的坐标，根据抛物线的对称性，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 即可求得阴影部分的面积. 【详解】∵此二次函数的图象经过点， ∴． ∵此二次函数图象的对称轴是y轴，且矩形ABCD的长和宽的比为，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 设点C的坐标为， ∵四边形OECD是正方形， ∴，解得（舍去负值），， ∴点C的坐标是， ∴． 15.当时，二次函数的最大值为8，则 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最低点和最高点到轴的距离分别为，当时，则的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性；掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解题的关键． 过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据列式求解即可． 【详解】解：过点B作轴交抛物线于点E， ∵， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∴点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E上方时，即时，最低点为点，最高点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 【答案】(1) (2)函数图像与x轴交点坐标为，，与y轴的交点坐标为 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入求出，即得答案； （2）令，得，求解方程得，，即得函数图像与x轴交点坐标，令，则，图像与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为； （2）解：令，则， 得，， 函数图像与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图像与y轴的交点坐标为． 18．（6分）如图，某汽车停车棚的棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分．棚顶的竖直高度（）与距离停车棚支柱的水平距离（）近似满足函数．立柱的长为，棚顶的外端的竖直高度为，到立柱的水平距离为．一厢式货车的截面看作矩形，长为，高为，试判断货车能否完全停在车棚内． 【答案】货车能完全停在车棚内，见解析 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，的值，若此时的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为 当时， ∴货车能完全停在车棚内． 19.（8分）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1)，； (2)面积的最大值为，． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可； （）过点作轴的垂线交于点，连接、，先求出直线解析式，则，当取最大值时，的面积最大，设，则，故有，利用二次函数的性质求最值即可解答； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为． 20．（8分）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（）． (1)如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ (2)能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，最大面积为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意正确列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设的长为，则，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求出的值，再结合题意即可得出答案； （2）设的长为，则，根据题意求出的取值范围，再根据矩形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：设的长为，则， 由题意得，， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：的长是． （2）解：设的长为，则， 由题意得，， 解得：， 又矩形花圃的面积， 花圃的面积在范围内随的增大而减小， 当时，花圃有最大面积，最大面积为． 能围成比更大的花圃，最大面积为． 21．（10分）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过，两点． ①求该二次函数的表达式； ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数图象与轴交点间的距离． 【答案】(1)①；② (2)二次函数图象与轴交点间的距离为 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据增减性求最值即可； （2）根据题意，易得抛物线有最大值为3，抛物线的开口向下，且当时，求出函数解析式式，进而求出与轴的交点坐标，即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得， 解这个方程组，得 二次函数的表达式为 ②， 函数的图象抛物线的顶点坐标为，开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 当时，有最大值7， 又当时，，当时，， ， （2）当时，的最大值为2，当时，的最大值为3， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 函数的图象抛物线开口向下，当时，的最大值为2， ， ， ， 又 ， ． 当时，得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，， 二次函数图象与轴交点间的距离为． 22.（10分）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 【答案】(1) (2)28元；48400元 (3)当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，不等式的运用，理解数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）设一次函数解析式为，当时，，当时，，代入计算即可； （2）销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，则每件利润为元，且销售量为，由此列式得，根据二次函数求最值的方法即可求解； （3）结合（2）的解析式，当时，解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，设一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为：； （2）解：销售单价为元/千克，成本价为6元/千克， ∴每件利润为元，且销售量为， ∴， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，利润最大，最大利润为元； （3）解：∵，日获利不低于43500元， ∴当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∵销售单价不低于成本价且不高于30元/千克， ∴当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元． 23．（12分）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿方向向终点B运动，过点P、Q分别作边的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为． (1)t为何值时，为等边三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题是运动型综合题，涉及到勾股定理、等边三角形的判定，解一元二次方程． （1）由题意得：，则，当 时，即： ，解得： 即可求解； （2）由题意得：在和中， 按照即可求解． 【详解】（1）由题意得： ，则， 当时， 即： ，解得：， 即：当时，为等边三角形； （2）解：过点C 作于点D， 则， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ， ， 解得：(舍去负值)， 故． 24．（12分）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知二次函数，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 2.顶点坐标为（－2，0），开口大小与抛物线y＝x2+3相同，开口方向相反的解析式为(   ) A．y＝ (x－2)2 B．y＝ (x＋2)2 C．y＝ (x-2)2＋3 D．y＝－ (x＋2)2－3 3.对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 4.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5.已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 6.已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7.“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 8.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是(     ) A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月 10.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.当 时，函数是二次函数． 12.二次函数的图象经过，两点，且函数有最小值1，此二次函数的顶点坐标是 ． 13.湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 14.如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为 ． 15.当时，二次函数的最大值为8，则 ． 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最低点和最高点到轴的距离分别为，当时，则的取值范围为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 18．（6分）如图，某汽车停车棚的棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分．棚顶的竖直高度（）与距离停车棚支柱的水平距离（）近似满足函数．立柱的长为，棚顶的外端的竖直高度为，到立柱的水平距离为．一厢式货车的截面看作矩形，长为，高为，试判断货车能否完全停在车棚内． 19.（8分）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 20．（8分）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（）． (1)如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ (2)能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 21．（10分）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过，两点． ①求该二次函数的表达式； ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数图象与轴交点间的距离． 22.（10分）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 23．（12分）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿方向向终点B运动，过点P、Q分别作边的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为． (1)t为何值时，为等边三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 24．（12分）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知二次函数，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 2.顶点坐标为（－2，0），开口大小与抛物线y＝x2+3相同，开口方向相反的解析式为(   ) A．y＝ (x－2)2 B．y＝ (x＋2)2 C．y＝ (x-2)2＋3 D．y＝－ (x＋2)2－3 3.对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 4.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 5.已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 6.已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7.“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 8.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是(     ) A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月 10.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.当 时，函数是二次函数． 12.二次函数的图象经过，两点，且函数有最小值1，此二次函数的顶点坐标是 ． 13.湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 第13题图 第14题图 14.如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为 ． 15.当时，二次函数的最大值为8，则 ． 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， 与轴交于点，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横 坐标为．当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点） 的部分的最低点和最高点到轴的距离分别为，当时，则 的取值范围为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 18．（6分）如图，某汽车停车棚的棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分．棚顶的竖直高度（）与距离停车棚支柱的水平距离（）近似满足函数．立柱的长为，棚顶的外端的竖直高度为，到立柱的水平距离为．一厢式货车的截面看作矩形，长为，高为，试判断货车能否完全停在车棚内． 19.（8分）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标. 20．（8分）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（）． (1)如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ (2)能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 21．（10分）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过，两点． ①求该二次函数的表达式； ②当时，求的取值范围． (2) 当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数图象与轴交点间的距离． 22.（10分）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 23．（12分）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿方向向终点B运动，过点P、Q分别作边的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为． (1)t为何值时，为等边三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？ 若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 24．（12分）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章二次函数基础通关（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 8 9 10 B 0 A 0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-2 12.（-1,1 13.12m 14空 15子 3 16.1≤m≤2或m=1+√万 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分)》 【详解】(1)解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-1, 将点(-3,24)代入y=a(x-2)2-1中，得24=a(-3-2)2-1,(1分) 解得a=1,(2分) :函数解析式解析式为y=(x-2)2-1;(3分) (2)解：令y=0,则(x-2)2-1=0, 得x=1,x2=3,(4分) :函数图像与x轴交点坐标为1,0)，(3,0)： 令x=0,则y=(0-2)2-1=3,(5分) :函数图像与y轴的交点坐标为0,3)，(6分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(6分) 【详解】货车能完全停在车棚内.(1分) 以OA所在直线为y轴，0D所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0,1.6), B6,2.68, 9=1.6 2.68=-0.02×36+6p+9 p=0.3 解得 9=1.6 抛物线的表达式为y=-0.02x2+0.3x+1.6（3分) 当x=6-4=2时，y=2.12 2.12>1.8(5分) 货车能完全停在车棚内，(6分) 19.(8分) 【详解】(1)解：把B1,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c得： 1+b+c=0 1c=-3 b=2 解得 c=-3' 二次函数的表达式为y=x2+2x-3,(2分) 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得x=1,x2=-3, .A-3,0);(3分) (2)解：过点D作x轴的垂线交AC于点G,连接AD、CD, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 设直线AC的表达式为y=k+n, 0=-3k+n 把A(-3,0)、C(0,-3)代入得： -3=n k=-1 解得 n=-3' 直线AC的表达式为y=-x-3,(4分) S.c.00+5.cnDGDx3G. .当DG取最大值时，△ACD的面积最大， 设Dm,m2+2m-3,则G(m,-m-3), 点D位于第三象限， .-3<m<0,DG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m, 8 ,(6分) .当m=- 时，AACD的面积最大，最大值为2？，7分) 8 315Y 此时，点D的坐标为 24 (8分) 20.(8分) 【详解】(1)解：设AB的长为xm,则BC=(60-3x)m, 由题意得，x(60-3x)=225,(2分) 解得：x=5,x2=15, 当x=5时，BC=60-3x=45m>20m,不符合题意，舍去： 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=15时，BC=60-3x=15m<20m,符合题意；(4分) 答：AB的长是15m. (2)解：设AB的长为xm,则BC=(60-3xm, 由题意得，0<60-3x≤20， 解待：403x<20,5分 又：矩形花圃的面积=x(60-3x)=-3(x-10)2+300, :花周的面积在智5x<20范图内驼的增大而减小， 。当x时，花圃有最大面积，最大面积为40x60-3x40800m7分 3 3Γ3 800. :能围成比25m更大的花圃，最大面积为3m.(8分) 21.(10分) [-1+b+c=6 【详解】(1)解：①根据题意，得 -4-2b+c=-9' b=4 解这个方程组，得 c-3 ·二次函数的表达式为y=-x2+4x+3(3分) ②y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7, ·函数的图象抛物线的顶点坐标为(2,7)，开口向下， :当-1≤x<2时，y随x的增大而增大，当2<x≤3时，y随x的增大而减小 :当x=2时，y有最大值7， 又当x=-1时，y=-2,当x=3时，y=6, :-2≤y≤7，(6分) (2):当x≤0时，y的最大值为2，当x>0时，y的最大值为3， 地物线的对称轴x=)在y轴的右侧 b>0, :函数的图象抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2， .c=2, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4ac-b24x(-1)×c-b2 =3, 4a 4×(-1) .b=±2， 又b>0 b=2, y=-x2+2x+2.(8分) 当y=-x2+2x+2=0时，得：x=1+3,2=1-V3, :抛物线与x轴的交点坐标为1+√5,0)，1-√5,0)，(9分)》 :二次函数图象与x轴交点间的距离为1+√3-(1-√3)=2√3.(10分) 22.(10分) 【详解】(1)解：每日销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，设一 次函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 当x=7时，y=4300,当x=8时，y=4200, 7x+b=4300 8.x+b=4200 ,(1分) [k=-100 解得， b=5000' 日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y=-100x+5000；(3分) (2)解：销售单价为x元/千克，成本价为6元/千克， :每件利润为x-6)元，且销售量为y=-100x+5000, .w=(x-6)y=(x-6)(-100x+5000)=-100(x-28)2+48400,(5分) :-100<0, 函数有最大值， .当x=28时，利润最大，最大利润为48400元(7分) (3)解：：w=-100(x-28)2+48400,日获利w不低于43500元， 当w=43500时，-100(x-28)2+48400=43500,(8分) 整理得，(x-28)2=49, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=28±7， 解得，x=21,x2=35,(9分) :销售单价不低于成本价且不高于30元/千克， :当销售单价在21≤x≤30时，该公司日获利w不低于43500元.(10分) 23.(12分) 【详解】(1)由题意得：AP=21,CQ=t,则PQ=8-2t, 当P0-C0时、国：8-21，解得：1-号3分> 即：当1-时，AP0C为等边三角形，(4分) (2)解：过点C作CD⊥AB于点D, 则AD=4, .CD=VAC2-AD2=V82-42=45, SABc= 21B.CDx8×4N316N3,(6分 MDN B 由题意得：AP=2t,QB=8-t, 在RuPw和Q8,仙-4P-w=BN8-小eN=58-小 2 :.MN=AB-AM-NB=4- 2,(8分) PMQ)-MN 16 解得：t=±22（舍去负值）， 故t=2√2.(12分) 24.(12分) 【详解】(1)解：：B的坐标为(1,0)， 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0B=1, 0C=30B=3,点C在x轴下方， C(0,-3),(1分) :将B(1,0),C(0,-3)代入抛物线的解析式， 4a+c=0 可得 c=-3 3 a=- 解得4， c=-3 :抛物线的解析式为y=2+?x-3,（3分) (2)解：由1)得y=3x+2x-3, 4 41 令x=0,则y=-3 即C(0,-3 如图所示：连接AC与抛物线的对称轴交于点Q,此时△QBC的周长最小. 9 b 、4 3 x=- 2a ,B1,0) 3、 2× 4 -(别 A-4,0)(4分) 设直线AC的解析式为：y=mx+n(m≠0)， A-4,0),C0,-3), -4m+n=0 n=-3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 m=- 解得 4, n=-3 :直线4C的解析式为：y=-3x-3,(5分) 4 则y=3x+?x-3的对称轴是直线x=3。 9 4 4 当x=- 3 2 315 点的坐标是28)：(6分) (3)解：如图1所示，过点D作DE∥y轴，交AC于点E, 图1 9 3 :该抛物线的对称轴为=，手弓，BL,0, 2× 4 .A(-4,0), AB=5, 1 .S。ABc= 2AB.0C三2×5×3=7.5，(7分) 设AC的解析式为y=c+b, :将A(-4,0),C(0,-3)代入， 「-4k+b=0 可得 /ks、3 b=-3，解得4， b=-3 3 直线AC的解析式为y= 43, 设Du,0+a-),则a,2 3 9 a-3), 4 4 :DE=-3a-3-(2a2+9a-3)=-3a+22+3, 3 9 3 4 4 4 4 当a=-2时，DE有最大值，最大值为3， 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 :△4CD的最大面积=DEA0=x3×4=6,(8分) S阳边形4BcD=S4Bc+S.4Cn=7.5+6=13.5, :四边形ABCD的面积的最大值为13.5；(9分) (4)解：存在，理由如下： ①如图2，过点C作CP∥x轴交抛物线于点P,过点P作PE,∥AC交x轴于点E,此时四 边形ACPE,为平行四边形， VA P P E E 图2 :c0-,令2+？-3=-3， 4 4 x1=0,x2=-3, .P(-3,-3);(10分) ②平移直线AC交x轴于点E,E,交x轴上方的抛物线于点P,P,当AC=PE,时，四边形 ACE,P为平行四边形，当AC=PE,时，四边形ACE,卫为平行四边形， :C(0,-3), .P,P的纵坐标均为3， 3,9 令y=3,可得三x2+2x-3=3, 4 4 解得5=3④=3+④ 2 2 p3432中，3.0分) 2 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是(-3,3)，3-④，3》或3+④，》. 2 2 (12分)