专题01 特殊的平行四边形 8大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版）九年级数学上学期

专题01 特殊的平行四边形 8大高频考点概览 考点01 菱形的性质 考点02 菱形的判定 考点03 矩形的性质 考点04 矩形的判定 考点05 矩形的性质与判定 考点06 正方形的性质 考点07 正方形的性质与判定 考点08 矩形与折叠问题 地 城 考点01 菱形的性质 1．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 2．(24-25九·河南周口川汇区·期中)如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键．取的中点N，连接、、，连接，证明，连接构造，在，证明，求出的长度即可，过点E作的延长线于H，在中，由菱形的性质可知，由此即可求出，的长度，在中即可求出的长，于是就可以求出的最小值． 【详解】解：如图所示，取的中点N，连接、、，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是中点，点N是的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， 如图所示，过点E作的延长线于H， 在中，，由菱形可知， ∴，则，且， ∴， 则，， 在中，， ∴， 故答案为： 3．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 4．(24-25九上·河南信阳潢川县·期中)如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，点，，．点是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点顺时针旋转得到，连接．若点从点出发，以每秒个单位长度沿菱形边长逆时针方向运动，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形判定与性质等知识点，首先根据四边形是菱形，得，又，，，故，，，由勾股定理得，由于点从点出发，以每秒个单位长度沿菱形边长逆时针方向运动，则点的运动轨迹每秒一个循环，因此第秒时，点的坐标与第秒时点的坐标相同，第秒时点在点，过点作轴于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位长度沿菱形边长逆时针方向运动， ∴点的运动轨迹每秒一个循环，， ∴第秒时，点的坐标与第秒时点的坐标相同，第秒时点在点， 如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， 又∵，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 5．(24-25九上·河南新乡英才学校·期中)如图，中，，，是由绕按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据菱形的性质，得到，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可 【详解】（1）证明：∵，是由绕按顺时针方向旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵是由绕按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 6．(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考·期中)菱形中，，，菱形的面积为（   ）． A．60 B．120 C．192 D．96 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理可求得的长，得出的长，最后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 故选：D． 地 城 考点02 菱形的判定 7．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键．根据得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意；根据勾股定理得出，得出，即可判断B不符合同意；根据无法判断四边形为菱形，即可判断C符合题意；根据，证明，得出，即可判断D不符合同意． 【详解】解：A．由得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意； B．∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴四边形是菱形，故该选项不符合题意； C．由不能证明是菱形，故该选项符合题意； D．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故该选项不符合题意． 故选：C． 8．(24-25九上·河南郑州·期中)如图，在中，是的中点，若将绕点逆时针旋转，则旋转前后两个三角形组成的图形是（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．正五边形 D．正三角形 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，菱形的判定，掌握旋转的性质和菱形的判定定理是解题关键．由旋转的性质得出，结合题意可证，即说明旋转前后两个三角形组成的图形是菱形． 【详解】解：如图， 由旋转可知． ∵， ∴， ∴四边形为菱形，即旋转前后两个三角形组成的图形是菱形． 故选B． 9．(24-25九上·河南郑州中原区郑州外国语中学·期中)如图，在中，点，分别在边，上，与交于点，且垂直平分，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）证明得，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证明，则，，然后由勾股定理得，则，即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）由（1）可知，，四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 【点晴】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 10．(24-25九上·河南郑州中原区郑州外国语中学·期中)如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是菱形，则原四边形必须满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理等知识点，首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，再由得，然后由邻边相等的平行四边形是菱形判定即可，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定是解决此题的关键． 【详解】∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， 当对角线时，如图所示， ∴， ∴四边形是菱形， 故选：A． 地 城 考点03 矩形的性质 11．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 12．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 13．(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学·期中)如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理及三角形三边关系，作出辅助线及熟知三级形三边关系是解题关键．取中点，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即． 【详解】解：如图，取中点，连接，， 四边形是矩形， ，，， 点是中点，点是的中点， ，， ， 点是的斜边的中点， ， 根据三角形三边关系可得：， 当点，点，点共线时，最大值为． 故选：D． 14．(24-25九上·河南辉县南寨初级中学·期中)如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键； 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】解：、分别为、的中点， ． ∵四边形是矩形， ． 故选：A 15．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角形的判定及性质．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 16．(24-25九上·河南平顶山第四十一中学教育集团·期中)如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质等知识，求出，每秒旋转，6次一个循环，，第2024秒时，点D在x轴的正半轴上，由此可得到点D的坐标，熟练掌握点D的变化特点是解决此题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵每秒旋转，6次一个循环，， ∴第2024秒与起始位置夹角为， ∵与x轴负半轴夹角为， ∴与x轴正半轴夹角为， ∴点D在x轴的正半轴上， ∴， 故选：C． 17．(24-25九上·河南郑州第八中学·期中)如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则图②中的值是（    ） A．56 B．54 C．48 D．36 【答案】C 【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，到点，继续运动点到点，点自己运动到点，结合图象信息求解即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，时，、重合，，此时， 根据题意，得： 解得， 四边形是矩形， ， ， 由图象可知， ， ， ， ， ． 故选：C． 18．(24-25九上·河南周口郸城县多校联考·期中)已知矩形的顶点A、B、C 的坐标分别为，将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形，则点的坐标为 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的平移及矩形的性质；先由矩形的性质及A、B、C三点的坐标特点，确定点D的坐标，再根据平移即可确定点的坐标； 【详解】解：由A、B坐标知，轴，；由B、C坐标知，轴，； ∵四边形为矩形， ∴轴，轴，，， ∴； ∵矩形向右平移3个单位长度得到矩形， ∴； 故选：C． 地 城 考点04 矩形的判定 19．(24-25九上·河南平顶山新城区学·期中)如图，是的高，，分别是，的中点，点在上，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．填空： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②2 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． （1）根据中点，得出是的中位线，是的中位线，是的中位线，根据三角形中位线的性质，得出，，，则，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可证明四边形是平行四边形； （2）①当时，点和点重合，得出是的中位线，则，推出，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得出此时四边形是矩形； ②当时，求出，根据三角形中位线的性质，得出，，当时，求出，根据勾股定理计算，得出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得出此时四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点，点在上，，分别是，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当时，四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴当时，点和点重合， ∴此时点也是的中点， ∵是的中点， ∴此时是的中位线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 由∵由（1）得四边形是平行四边形， ∴此时四边形是矩形， 故答案为：8； ②当时，四边形是菱形，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）得是的中位线，是的中位线，四边形是平行四边形， ∴，， 当时，， ∵是的高，， ∴， ∴， ∴此时， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：2． 20．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）根据勾股定理，矩形的性质，三角形面积不变性，解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形面积性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 21．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，则的长为__________． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由菱形，可得，，由，可得，可证四边形是平行四边形，由，即，可证四边形是矩形； （2）由菱形，，，可得，，，如图，在取，使，连接，则是的中位线，，由勾股定理得，，，计算求解，进而可求． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形，，， ∴，， ∵菱形 ∴， 如图，在取，使，连接， ∴是的中位线， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线的性质是解题的关键． 22．(24-25九上·河南平顶山·期中)在中，，点是边上的一点，连接，作，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当是边的中点时，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，即可得到； （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形是菱形，根据菱形的性质、勾股定理，求出的长，再计算四边形的面积即可． 【详解】（1）证明： ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ； （2） ， 四边形是平行四边形， 是边的中点，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，灵活运用知识是解题的关键． 23．(24-25九上·河南平顶山第四十一中学教育集团·期中)在菱形中，过点B作于点E，点F在边上，，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若则 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的判定、菱形的性质，勾股定理等知识， （1）由平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）在中，由勾股定理求得，由菱形的性质得到，在中，根据勾股定理构造方程，解方程即可求得的长；     解题的关键是熟练掌握菱形的性质，根据勾股定理构造方程． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 24．(24-25九上·河南三门峡陕州区·期中)如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，求的最小值． 【答案】 【分析】根据等腰三角性质，旋转的性质可得，，将绕点顺时针旋转得到，过作垂线交延长线于，过作于，作于，当点运动时，的最小值是，运用等腰三角形的性质，中点的定义得到，，，根据矩形的判定可得四边形为矩形，由此可得，在运用含角的直角形可得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到，过作垂线交延长线于，过作于，作于， 在是等边三角形中，，是的中点， 由旋转性质可得，，，， ∵是直线上一动点， ∴当点运动时，的最小值是， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴，，即， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，理解当点运动时，的最小值是，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，图形转换的解题方法是解题的关键． 地 城 考点05 矩形的性质与判定 25．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，中，，，，点D为边上一动点，过点D作于E，于F，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 26．(24-25九上·河南焦作·期中)如图，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为，顶点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，过点B作于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴, ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 27．(24-25九上·河南开封祥符区·期中)如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键 地 城 考点06 正方形的性质 28．(24-25九上·河南濮阳外国语初中·期中)如图，在正方形中，，点E为正方形内一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查斜边上的中线，勾股定理，正方形的性质，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，求出最小值即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小为； 故答案为：． 29．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，为正方形对角线的中点，延长至点，连接，，为等边三角形．若，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质，得，，结合勾股定理得，运用等边三角形的性质得，，则根据勾股定理列式计算得，即可作答． 【详解】解：四边形为正方形，， ，， 在中，， 为正方形对角线的中点，为等边三角形， ，，， ， 的长度为． 30．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，连接，，由正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵和都是正方形， ∴，，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 31．(24-25九上·河南南阳邓州·期中)如图，在中，，，在内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最上面两层最多能摆放（   ）个小正方形纸片 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，首先求得斜边上的高线的长度，即可确定小正方形的层数，然后确定每排层的个数即可． 【详解】解：如图，过点C作于点F，最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与的边交于D、E，连接． 在中，，， ∴， ∵过点C作于点F， ∴， ∴小正方形可以排3排， 由题意可知和是等腰直角三角形，每一排两边的小三角形是直角边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴最下边一层是4个正方形， 第二层是个正方形； 第三层是：个； ∴实际只能放两层，最上面两层最多能摆放：． 故选：C． 32．(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考·期中)正方形中，边长，点M为边上一动点（不与端点重合），沿将折叠，点B的对应点为点E，连接，，当是等腰三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵正方形中，边长， ∴，， ①当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ②当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ③当时，E和B或D重合，则M和B或A重合，不符题意，舍去， 综上，或 故答案为：或． 33．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解答的关键．连接交于O，先根据菱形的性质证明，，，再根据含30度角的直角三角形的性质求得,，进而，在根据正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，又， ∴，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 则正方形的面积为24， 故选：C． 34．(24-25九上·河南平顶山第四十一中学教育集团·期中)小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线则图（1）中菱形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出，连接、交于点，则，由菱形的性质结合题意得出为等边三角形，则，由勾股定理求出，进而即可得解． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∵，， ∴， 如图，连接、交于点，则， 在菱形中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 35．(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考·期中)如图1点P为正方形边上一个动点，沿着的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，若的长度y与运动时间t之间的关系如图2所示，则b的值为（   ）． A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查根据线段长函数关系图象确定自变量的值．熟练掌握正方形性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 由函数图象可知，正方形的边长等于a，对角线长为，根据勾股定理求出，根据，即可求得b值． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 当点P在边上时，， ∴， 当时，由图2知，， ∴， 当时，， ∵此时， ∴， 解得， 当点P在上时，， 当点P到点D时，， ∴, ∴， 故选：C． 36．如图，已知，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简．利用正方形的性质先证明，，，再证明，再利用勾股定理分别求解四边形的四条边长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于O， 正方形，， ，，， ， ， ， 同理：， 四边形的周长是． 故选：B． 地 城 考点07 正方形的性质与判定 37．(24-25九上·河南郑州第九十六中学·期中)在中，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键．根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：当，且点在上方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，． 当，且点在下方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 38．(24-25九上·河南焦作·期中)如图1，菱形中，，点E为对角线上一动点，连接． (1)与的等量关系是______； (2)如图2，将线段绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线上 ①问：与有怎样的等量关系？并说明理由． ②当时，如图3，延长交的延长线于G，求证：． 【答案】(1)； (2)①，理由见解析；②见解析． 【分析】对于（1），根据菱形的性质可知，再根据“边角边”证明，可得答案； 对于（2），延长交于点G，可得，由（1）可知，再根据旋转得，即可得，然后根据三角形外角的性质得； 对于（3），根据题意可知四边形是正方形，可得，由（2）①可知， 再根据，可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得，得出，进而得出，可知是线段的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得，再根据“斜边，直角边”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． 根据旋转得， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； ②连接， ∵四边形是菱形，且， ∴是正方形， ∴． 由（2）①可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 39．(23-24九下·河南信阳固始县·期中)如图，已知矩形，，，点E是线段上一点，且不与A，D重合，沿折叠使点C落在矩形某边所在直线上，则的长是 ．    【答案】4或 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、正方形的判定、勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点、点的对应点分别为点、点，由矩形的性质得，，，由折叠得，，，，再分两种情况讨论，一是点在的延长线上，可证明四边形是正方形，则；二是点在的延长线上，可证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点、点的对应点分别为点、点， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，，， 当点在的延长线上，如图，则，   四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ； 当点在的延长线上，如图，   ， ， 由折叠得， ， ， ， ， 综上所述，的长为4或。 故答案为：4或． 40．(24-25九上·河南郑州第五十八中学·期中)【特例分析】 （1）如图1，中，，点，分别为，的中点，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，，请判断：四边形的形状为_______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点为上方平面内一点，为一般三角形，（1）中的结论是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下， ①当_______时，四边形为矩形 ②在①的条件下，当_______时，四边形为正方形； ③当_______时，四边形为菱形． 【答案】（1）平行四边形，（2）不变，理由见解析，（3）①；②；③ 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，三角形中位线定理，熟练掌握四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据三角形中位线定理，平行四边形的判定即可求解； （2）根据三角形中位线定理即可得出结论； （3）根据四边形的判定即可求解； 【详解】（1）解：点，分别为，的中点， ， ， ，分别为，的中点， ，， ，， 四边形的形状为平行四边形； （2）若点为上方平面内一点，为一般三角形， 根据三角形中位线定理，可得，， 故四边形的形状为平行四边形； 结论不变； （3）①四边形为平行四边形， 对角线相等的平行四边形是矩形； 当时，此时四边形为矩形； ②根据对角线互相垂直的矩形是正方形， 可得当，四边形为正方形； ③根据邻边相等的平行四边形是菱形， 当时，四边形为菱形． 41．(24-25九上·河南通许县发展联盟·期中)如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 地 城 考点08 矩形与折叠问题 42．(2024九·河南省南阳市·调研)矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 43．(24-25九上·河南平顶山第四十一中学教育集团·期中)如图，矩形，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形中的翻折问题，并根据题意分类讨论是解题的关键．分两种情况：①当的延长线过的中点时；②当过的中点时，利用翻折性质，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：①当的延长线过的中点时，如图，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∴； ②当过的中点时，如图，    同①，可得，， 在中，， ∴； 故答案为：或． 44．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)将两张完全相同的矩形纸片按如图所示的方式叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握这些性质是解题关键．根据角平分线的逆定理可得，设，根据等角对等边得：，由勾股定理列方程可得的值，根据矩形的性质可得，，证明四边形的平行四边形，由平行四边形的面积公式可得重叠部分图形的面积． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 两张完全相同的矩形纸片， ，， 四边形是平行四边形， 重叠部分图形的面积． 故答案为：． 45．(23-24九下·河南鹤壁·期中)矩形中，点是边上一动点，将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，且点是的三等分点时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：当时；当时；作出图形，，由矩形性质及折叠性质得到相应线段长，在由勾股定理求出，利用等面积，求得的关系式，代入求值即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当时，如图所示： 设，则，，， 将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上， ，且，即， 在中，由勾股定理可得， ，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去）， ； 当时，如图所示： 设，则，，， 将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上， ，且，即， 在中，由勾股定理可得， ，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去）， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、勾股定理、等面积法及代数式求值等知识，根据题意，分类讨论，准确作出图形，利用等面积法得到的关系式是解决问题的关键． 46．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可． 【详解】解：设CE=x，则BE=3-x， 由折叠性质可知， EF=CE=x，DF=CD=AB=5 在Rt△DAF中，AD=3，DF=5， ∴AF=， ∴BF=AB-AF=5-4=1， 在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2， 即(3-x)2+12=x2， 解得x=， 故选：D． 【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01特殊的平行四边形 ☆8大高频考点概览 考点01菱形的性质 考点02菱形的判定 考点03矩形的性质 考点04矩形的判定 考点05矩形的性质与判定 考点06正方形的性质 考点07正方形的性质与判定 考点08矩形与折叠问题 目目 考点01 菱形的性质 1.(24-25九上河南郑州第十一初级中学期中)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若 ∠B=40°，则∠EAF的度数为() A.50° B.42° C.40° D.30 2.(24-25九河南周口川汇区期中)如图，菱形ABCD的边长为2，LA=60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一 个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG,连接BG,CG,则BG+CG的最小值为· D G B 3.(24-25九上河南焦作期中)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G, 1/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H分别为AE、EF的中点，连接GH.若LB=60°，BC=23,则GH的最小值为 D H 4,(24-25九上河南信阳潢川县·期中)如图，菱形ABCD的四个J顶点均在坐标轴上，点A(-3,0),B(0,4),E (6,O),点P是菱形ABCD边上的一个动点，连接PE,把PE绕着点E顺时针旋转90°得到FE,连接PF.若点P 从点C出发，以每秒5个单位长度沿菱形边长逆时针方向运动，则第2025秒时，点F的坐标是() Ay B P A.(10,6) B.(10,-6) C.(6,9) D.(2,6) 5,(24-25九上·河南新乡英才学校·期中)如图，△ABC中，AB=AC=1,∠BAC=45°，△AEF是由△ABC 绕A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D, E (I)求证：BE=CF; (②)当四边形ACDE为菱形时，求BE的长， 6.(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考期中)菱形ABCD中，AB=10,BD=12,菱形ABCD 的面积为(). 2/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.60 B.120 C.192 D.96 目目 考点02 菱形的判定 7.(24-25九上河南焦作期中)如图，己知口ABCD的对角线交于点O,下列条件不能证明口ABCD是菱形的 是() B A.LABD=∠ADB B.0A2+0B2=CD2 C.∠BAO=∠DCO D.∠AB0=∠CBO 8.(24-25九上河南郑州期中)如图，在△AB0中，A0=B0,∠0=120°，C是AB的中点，若将△AB0绕 点C逆时针旋转180°，则旋转前后两个三角形组成的图形是() A B A.等腰梯形 B.菱形 C.正五边形 D.正三角形 9.(24-25九上河南郑州中原区郑州外国语中学期中)如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，AC 与EF交于点O,且EF垂直平分AC,连接AE,CF. A D B E (I)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AC⊥AB,∠B=30°，AE=12,求四边形AECF的面积. 3/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25九上·河南郑州中原区郑州外国语中学期中)如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边 AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.若要使四边形EFGH是菱形，则原四 边形ABCD必须满足条件() H G A.AC=BD B.AB⊥AD C.AB=AD D.AC⊥BD 目目 考点03 矩形的性质 11,(2425九上·河南郑州第十一初级中学期中)如图，点E是矩形ABCD对角线BD的延长线上的一点，连接 AE,若AE=BD,∠AD0=62,则∠E=。. 12.(24-25九上·河南焦作·期中)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交与点O,AE⊥BD于E,点F为AB中 点，连接EF,若∠D0C=64°，则∠AEF的度数为() A.26 B.32 C.42° D.58 13.(24-25九上河南安阳北关区安阳第七中学.期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以BC为斜边 在矩形外部作直角三角形BEC,F为D的中点，则EF的最大值为() 4/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.2 B.0 C.8 D.9 14.(24-25九上·河南辉县南寨初级中学期中)如图，矩形ABCD中，AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC 的中点，若MN=4,则AC的长为() A.16 B.8 C.4 D.2 15.(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B分别在y轴正 半轴、x轴正半轴上，顶点C,D在第一象限，已知OA=OB=2,BC=4V2,将矩形ABCD绕点O逆时针 旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是() B A.(6,4) B.(-4,6) C.(-6,-4) D.(4,-6) 16.(24-25九上河南平顶山第四十一中学教育集团期中)如图，矩形0ABC的顶点0(0,0)，AC=8,B0与x 轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2024秒时，矩形的对角线交点D 的坐标为() V角 B D 5/15 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(-2,23 B.(-4,0) C.(4,0) D.(2,23 17.(24-25九上·河南郑州第八中学期中)如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线 B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P,Q 两点同时出发，设运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm),若y与x的对应关系如图②所示，则图② 中a+b的值是() y/cm2 b D 30 B a14s 图① 图② A.56 B.54 C.48 D.36 18.(24-25九上·河南周口郸城县多校联考·期中)已知矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A(1,4),B(5,4) ,C(5,1),将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形A'BCD',则点D的坐标为() A.(1,1) B.(1,4) C.(4,1) D.(-2,1) 考点04 矩形的判定 19.(24-25九上·河南平顶山新城区学期中)如图，AH是△ABC的高，D,E分别是AB,AC的中点，点P在BC 上，F,G分别是BP,PC的中点，连接AP,DE,DF,GE BF P (I)求证：四边形DFGE是平行四边形； (2)若AH=8,BH=8,HC=2.填空： ①当BP=_时，四边形DFGE是矩形； ②当BP=_时，四边形DFGE是菱形， 20.(24-25九上河南焦作·期中)如图，△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BE II AD,AE⊥AD. 6/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (I)求证：四边形ADBE是矩形； (2)作EF⊥AB于点F,若BC=4,AD=3,求EF的长. 21,(24-25九上河南平顶山宝丰县·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点A作AE⊥BC 于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. E (1)判断四边形AEFD的形状，并说明理由； (2)连接0E,若AB=5,CP=3,则0E的长为 22.(24-25九上河南平顶山·期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上的一点，连接CD,作AE II DC ,CE II AB,连接ED. D 图1 图2 (I)如图1，当CD⊥AB时，求证：AC=ED; (2)如图2，当D是边AB的中点时，若AB=16,ED=12,求四边形ADCE的面积. 23.(2425九上·河南平顶山第四十一中学教育集团期中)在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E,点F 在边AB上，AF=CE,连接BD、DF. D (I)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若BD=V5,BE=2,则BC=-· 7/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.(24-25九上河南三门峡陕州区期中)如图，△ABC是等边三角形，AB=4V5,D是BC的中点，F是直线 AB上一动点，线段DF绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE,当点F运动时，求CE的最小值. D F 目目 考点05 矩形的性质与判定 25.(24-25九上河南焦作期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2V3,BC=2,点D为AB边上一动点， 过点D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,连接EF,则线段EF的最小值为· 26.(24-25九上·河南焦作·期中)如图，菱形0ABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为(-3,4)，顶 点B的坐标为 27.(24-25九上·河南开封祥符区期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,AB=CD,AB‖CD.若四 边形EBOA是菱形； D E B (I)求证：四边形ABCD是矩形. (2)若LE=60°，AB=2,求四边形ABCD的面积. 8/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 正方形的性质 28.(24-25九上·河南濮阳外国语初中.期中)如图，在正方形ABCD中，BC=4,点E为正方形内一点，且 ∠BEC=90°，连接DE,则DE的最小值为 E 29,(24-25九上河南郑州第十一初级中学期中)如图，0为正方形ABCD对角线AC的中点，延长0D至点E, 连接AE,CE,△ACE为等边三角形.若AB=4,求OE的长度， E A B 30.(24-25九上河南郑州第十一初级中学期中)如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，B,C,G三点在同 一条直线上，点D在边CE上.若AB=2,CE=5,连接AF,P是AF的中点，连接CP,则CP的长是() F B G A.V58 B.V10 C.58 D.217 2 31.(24-25九上·河南南阳邓州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3W2,在△ABC内并排 (不重叠)放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶 点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最上面两层最多能摆放()个小正方形纸片 上第一层 B 9/15 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.5 C.6 D.7 32.(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考期中)正方形ABCD中，边长AB=4,点M为AB 边上一动点（不与端点重合），沿CM将△BCM折叠，点B的对应点为点E,连接AE,BE,当△BEA是等 腰三角形时，MB=一 E M B 33.(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学.期中)如图，在菱形ABCD中，以AC为对角线作正方形AECF,若 ∠DAB=60°，AB=4,则正方形AECF的面积为（) F D B E A.12 B.18 C.24 D.48 34,(24-25九上·河南平顶山第四十一中学教育集团期中)小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱 形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方 形，并测得对角线AC=202,则图(1)中菱形的对角线BD长为· (2) 35,(24-25九上·河南郑州桐柏一中、一中高新实验等联考期中)如图1点P为正方形ABCD边上一个动点， 沿着A→B→C→D的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，若DP的长度y与运动时间t之间的关系如图2 所示，则b的值为()， 10/15