专题04 实际问题与二次函数 7大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版）九年级数学上学期

专题04 实际问题与二次函数 7大高频考点概览 考点01 图形问题 考点02 图形运动问题 考点03 拱桥问题 考点04 销售问题 考点05 投球问题 考点06 喷水问题 考点07 其他问题 地 城 考点01 图形问题 1．(24-25九上·河南安阳林州·期中)小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了三角形的面积，整理出二次函数的顶点式解析式的形式是解题的关键．表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设边长为，则边上的高为， 三角形的面积， ∵， ∴时，三角形的面积有最大值为50， 故选：B． 2．(24-25九上·河南信阳罗山县·期中)如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为， ∴折叠成的盒子的底面长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 3．(24-25九上·河南周口西华县·期中)如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设这个菜园垂直于墙的一边长为，菜园的面积为S（单位：）． (1)求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)填空：垂直于墙的一边长为_________时，这个菜园的面积最大？最大面积为_________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）根据长方形的面积公式即可求得S与x的函数关系式； （2）根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值． 【详解】（1）解：若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴矩形的面积， 由题意得，解得 自变量x的取值范围为：． ∴S与x的函数解析式． （2）解：， ∵， ∴当时，面积最大，最大面积为； 即垂直于墙的一边长为时，这个菜园的面积最大，最大面积为． 故答案为：，． 地 城 考点02 图形运动问题 4．(23-24九下·河南三门峡渑池县·)如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 5．(23-24九上·河南信阳·期末)如图1，在正方形中，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接.设点M运动的路程为x，的面积为S，其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（　　） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．设正方形的边长为a，根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可求出边长． 【详解】解：设正方形的边长为a， 时，在上，在上，依题意可知： 设， ， ； 该二次函数图象开口向上， 当时，二次函数的最小值为6； ， 解得：（负值舍去） 正方形的边长是4， 故选：A． 地 城 考点03 拱桥问题 6．(24-25九·河南周口川汇区·期中)某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 7．(24-25九上·河南许昌长葛·期中)如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为20米，如果水位上升3米，则水面的宽是10米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了多少米？ (3)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3．6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了米； (3)在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，求得的值，进一步计算即可求解； （3）当时，求得的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 设点，点， 由题意得：， 解得， ∴； （2）解：当时，， ， 当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了米； （3）解：当时，， ∵， ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 地 城 考点04 销售问题 8．(24-25九上·河南驻马店新蔡县·期中)某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，第70天的日利润最大，最大日利润是6400元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，结合二次函数以及一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ①当时，设x与t之间的函数关系式为． 由图象可得，函数图象经过， 所以， 解得， 所以． ②当时，． 综上所述，x与t之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ①当时，． ， ∴当时，w最大，； ②当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w最大，． 综上所述，w与t之间的函数关系式为 因为，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元． 9．(24-25九上·河南濮阳外国语初中·期中)在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每个毛绒玩具的售价定为54元，每天最大利润是1248元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用， 对于（1），先表示出上涨的价格，进而得出销售量与售价的关系式； 对于（2），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据自变量取值范围讨论极值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：设总利润为w，根据题意，得，且， ∵，， ∴抛物线的开口向下， 当时，函数值y随着x的增大而增大， 当时，（元）． 所以每个毛绒玩具售价定为54元，每天销售玩具所获得利润最大，最大利润是1248元． 10．(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学·期中)某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 日销售量（千克） 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）； (2)当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元； (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_________． 【答案】(1) (2)当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题的关键． （1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解； （2）建立与的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可． （3）先求捐赠后的利润为元时的销售单价，再利用二次函数的性质直接下结论即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则解得：，， ， （2）因为， 所以当时，有最大值， 最大值为，   所以当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元； （3）因为， 整理得：，解得：， 所以，当时，捐赠后每天的剩余利润不低于1025元 故答案为：． 11．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)如果该公司想获得最大的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的应用，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键； （1）根据图像上点坐标，，代入，用待定系数法求出即可． （2）根据总利润单个利润销售量列出方程即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 依题意，得， 解得， ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设月利润为W万元，每台成本为25万元， 根据题意得：． 整理得 ， ∵， ∴二次函数图象开口向下，W有最大值． 当时，W取得最大值． 答：该设备的销售单价应是万元． 12．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)学科实践 [驱动任务] 诚诚发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． [研究步骤] 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中： 售价x（元/束） 日销售量y（束） 数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． [问题解决] (1)求日销售量y关于售价x的函数关系式； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①或；②售价定为时，每天获得的利润最大，最大利润为． 【分析】本题考查了函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是建立函数关系式，分析函数的性质． （1）由待定系数法求函数的解析式即可； （2）①根据每束鲜花的利润销售量，列出方程，解方程即可；②根据总利润每束鲜花的利润销售量列出函数解析式，由函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为． 把代入，得解得 ∴y关于x的函数关系式为． （2）①当每天获得1400元的利润时，由题意得， 解得，． 答：要想每天获得1400元的利润，应该定价为90元或30元． ②设每天获得的利润为w元． 根据题意，得． ∵， ∴当时，w取最大值3200． 答：售价定为60元时，每天获得的利润最大，最大利润为3200元． 13．(24-25九·河南周口川汇区·期中)“十一黄金周”期间，影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润=票房收入－运营成本)为(单位：元)，该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且是整数） (2)40或41元，4560元 【分析】（1）设，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出与之间的函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得： ， 解得：， （，且是整数）； （2）解：根据题意，得： ， ， 抛物线开口向下， 又，且是整数， 或时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是4560元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），求一次函数解析式，解二元一次方程组，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出二次函数解析式是解题的关键． 14．(24-25九上·河南商丘夏邑县·期中)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是元，并规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)当时，_______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当每盒售价定为元时，日销售利润（元）最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解数量关系，掌握二次函数求最值的计算方法是解题的． （1）每盒售价每提高元，日销售量减少盒，得到当时，提高了元，则减少了盒，由此即可求解； （2）根据题意可得提高了元，减少了盒，每盒的利润为元，日销量为盒，由此列式，根据二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒 ∴当时，日销售量减少盒， ∴（盒）， 故答案为：； （2）解：设每盒售价为元，日销售量为盒， ∴提高了元，减少了盒， ∴每盒的利润为元，日销量为盒， ∴， ∵， ∴当时，日销售利润（元）有最大值，最大利润是． 15．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)某水果店在两周内，将标价10元/斤的某种水果，经过两次降价后标价为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． (1)求这种水果每次降价的百分率； (2)从第一次降价的第1天算起，第x（x为整数）天的售价、售量及损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/斤． 时间x（天） 售价（元/斤） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销售量（斤） 储存和损耗费用（元） 设第x（x为整数）天的的利润为y元，求y与之间的函数解析式，并求第几天销售利润最大． 【答案】(1) (2)第10天 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润． （1）设这个百分率是m，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解； （2）根据两个取值先计算：当时和时销售单价，由利润（售价进价）销量费用，列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比． 【详解】（1）解：设该种水果每次降价的百分率是m， 根据题意得， 解得：，（舍去）， 答：该种水果每次降价的百分率是； （2）解：当时，第1次降价后的价格：， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，（元）， 当时，第2次降价后的价格为8.1元， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，（元）， 综上所述，y与之间的函数关系式为： ∵， ∴第10天时销售利润最大， 答：第10天时销售利润最大． 16．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出56辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为11520元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）总利润=单个利润×总数量进行计算，即可解答； （2）利用二次函数的顶点坐标公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，可得：． 每辆轮椅的利润不低于180元， ， ． 答：与的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：， ，且对称轴为直线， 在时，随的增大而增大， 当时，每天的销售利润最大，最大利润为：（元）． 答：当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为11520元． 17．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)某企业安排55名工人生产甲、乙两种产品，每人每天只生产一种产品，每人每天能生产2件甲或1件乙．甲产品每件可获利150元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利200元，每增加l件，当天平均每件利润减少10元． (1)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多12000元，且确保生产乙产品不亏损，求每件乙产品可获得的利润． (2)该企业在不增加工人的情况下，每人每天只能生产一种产品，现增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利270元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值． 【答案】(1)150 (2)14700 【分析】对于（1），设每天生产x件乙产品，可知生产甲，乙两种产品的人数，再表示出乙产品单件利润，然后根据甲，乙两种产品的利润之间的关系得出方程，求出解即可； 对于（2），设m名工人生产甲种产品，则名工人生产丙产品，则有名工人生产乙产品，再得出各自的总利润，然后得出总利润的二次函数，再讨论极值即可． 【详解】（1）解：设每天生产x件乙产品，则有x名工人生产乙产品，有名工人生产甲产品，根据题意，得， 解得或， 当时，， 此时生产乙产品亏损，不合题意. 当时，， 所以每件乙产品可获得利润是150元； （2）解：设m名工人生产甲种产品，则名工人生产丙产品，则有名工人生产乙产品，根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数有最大值． ∵， 解得， 当时，函数有最大值，即， ∴总利润的最大值时14700元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数图像的性质，二次函数的极值，弄清题目中的数量关系是解题的关键． 地 城 考点05 投球问题 18．(24-25九上·河南信阳第七中学等三校·期中)篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线 (1)求篮球运动路线的抛物线解析式和篮球在运动中离地面的最大高度． (2)若篮筐离地面，离运动员投篮处水平距离为，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？ 【答案】(1)抛物线的解析式为，篮球在运动中离地面的最大高度为； (2)运动员应向前移动后，再投篮，刚好能使篮球投进篮筐． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）设抛物线的解析式为，将和代入求得、的值可得答案； （2）令解方程可得，，然后结合实际可求得运动员应向前移动即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将和代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，最大，最大值为， 篮球在运动中离地面的最大高度为； （2）解：不能， 篮筐离地面， ， 解得：，， ∴向前移动或， 若向前移动，则此时篮球的运动轨迹是从下往上的，不符合实际意义，故舍去， 抛物线向右平移，即运动员应向前移动后，再投篮，刚好能使篮球投进篮筐． 19．(24-25九上·河南许昌长葛·期中)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由题意得，抛物线经过，所以可设抛物线解析式为，代入可得抛物线解析式为，再根据抛物线解析式逐一分析判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，抛物线经过， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得：， 设抛物线解析式为， 当时，有最大值， 即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 即足球被踢出时，距离地面的高度是，故②正确； 抛物线的对称轴为，即足球飞行路线的对称轴是直线，故③正确； 当时，， 即足球被踢出时落地，故④错误； 综上所述，只有②③正确，即正确的有2个． 故选：B． 20．(24-25九上·河南开封第十四中学·期中)如图，一小球从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为．（单位：米） (1)求抛物线的解析式． (2)在斜坡上的B点处有一棵树，与O点的水平距离为3米，树高为7米，小球能否越过这棵树？请说明理由． (3)求小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离． 【答案】(1)； (2)小球能飞过这棵树，理由见解析； (3)米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关 （1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解； （2）把分别代入和即可得到答案； （3）小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离即是当水平距离相等时，斜坡与小球的高度相等，故联立一次函数和二次函数，求得是小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离． 【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：； ∴抛物线的表达式为； （2）小球M能飞过这棵树； 理由：当时，， ∵， ∴小球能飞过这棵树； （3）联立函数解析式得： 解得：（不合题意，舍去），， ∴小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离为米． 21．(24-25九上·河南漯河郾城区·期中)如图所示，一小球从地面上的点处抛出，落在斜坡上的点处．此球的运动路线是抛物线的一部分，以过的水平线为轴，以过且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球到达最高点的坐标为，落点． (1)小球在斜坡上的落点的垂直高度为多少米？ (2)若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由． 【答案】(1)米； (2)小球不能飞过这个广告牌． 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为：，代入点，即可求得函数解析式，作于点，将代入中，有：，解方程即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为：，根据点的横坐标为，可得，在抛物线上，当时，，由，即可作答． 【详解】（1）解：∵最高点的坐标为， ∴设抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点， ∴代入点可得：， 解得：， 即抛物线的函数解析式为：； 如图，作于点， 将代入中，有：， 解得：或者， 当时，，此时为原点，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴小球在斜坡上的落点的垂直高度为米； （2）解：小球不能飞过这个广告牌，理由与如下： ∵，原点， ∴设直线的解析式为：， 代入，可得：， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵点的横坐标为， ∴， 在抛物线上，当时，， ∵， ∴小球不能飞过这个广告牌． 22．(23-24九上·河南洛阳涧西区·期中)如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为，当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小洛在下图中建立了平面直角坐标系，求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请在图中画出小洛建立的平面直角坐标系； (2)判断排球能否过球网，并说明理由； (3)判断排球是否会出界，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)排球能过球网，理由见解析． (3)排球会出界，理由见解析． 【分析】本题考查了基本作图，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的顶点，作出图像； （2）根据的值，求出对应的值，然后判断，得出答案； （3）根据的值，求出对应的值，然后判断，得出答案． 【详解】（1）抛物线解析式为， 对称轴为轴，顶点为， 建立的平面直角坐标系如图所示： （2）排球能过球网，理由： 当时，， 排球能过球网； （3）排球会出界，理由： 当时，， 排球会出界． 23．(23-24九上·河南信阳·期中)如图，一小球M（看成一个点）从斜坡上的O点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)小球落点为A，求A点的坐标； (3)在斜坡上的B点有一棵树（看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由， 【答案】(1) (2) (3)小球M不能飞过这棵树，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）把分别代入和，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令， 解得：，， 当时，， ∴； （3）解：小球M不能飞过这棵树，理由如下： 时，， 当时，， ∵， ∴小球M不能飞过这棵树． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 地 城 考点06 喷水问题 24．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（）与离发射点O的水平距离x（）呈抛物线模型，已知当水平距离为米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米． (1)请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，距离地面的竖直高度． 【答案】(1) (2)当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为 ． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，求出a即可得解； （2）依据题意，结合(1) ， 令，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴ ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意结合（1）， ∴令，则． 答：当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为 ． 25．(24-25九·湖北恩施龙凤镇民族初级中学·期中)如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； (2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ 【答案】(1)抛物线解析式为：，水流落地点B到点O的距离为 (2)点E应该与的距离为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握根据顶点坐标设抛物线的解析式为：，是解答本题的关键． （1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，即设抛物线的解析式为：，再根据，可得，将代入中，即可得，则抛物线解析式为：，令，即可得的坐标为，则，问题得解； （2）根据题意令，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 即设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， 将代入中，可得， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为， ∴， 即水流落地点B到点O的距离为； （2）解：根据题意令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为，即， ∴点E应该与的距离为． 26．(24-25八上·广西南宁北大附属实验学校·月考)数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 【答案】（1）相交；（2）；（3）射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，根的判别式，待定系数法求函数的解析式，正确地理解题意是解题的关键． （1）把与联立方程组得到，根据，于是得到结论； （2）把与联立方程组得到，根据直线与抛物线相离，得到，于是得到结论； （3）设射灯发出的光线与轴交于，得到，设，则，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立得到，利用，求得，得到米． 【详解】解：（1）把与联立方程组， 得， ， 直线与抛物线的位置关系是相交， 故答案为：相交； （2）把与联立方程组， 得， 直线与抛物线相离， ， 解得， 故答案为：； （3）设射灯发出的光线与轴交于， ，， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立得，， 射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， 直线与抛物线相切， ， 解得， 米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 地 城 考点06 其他问题 27．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点O正前方9米的A处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法； （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，由待定系数法得设抛物线，即可求解； （2）当时，求出的值与比较大小，即可求解； 掌握待定系数法，理解、的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把点代入得： ， 解得∶， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， ∴球不能射进球门． 28．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)据科学计算，搭载“神十八”的长征二号F遥运载火箭，在点火第一秒通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中通过的总路程（）与时间（s）成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭依程序设定拐弯，则这一过程需要的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求二次函数的函数解析式，先根据题意利用待定系数法求出函数解析式，然后令求出x的值即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题可得二次函数图象过，，， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得或（舍去）， ∴这一过程需要的时间大约是13秒钟， 故选B． 29．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)如图1，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)现有一批长10厘米，高8厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据题意得到抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为：，经过原点，即可求出，得到抛物线的解析式； （2）由题意得熏炉套盒最左侧在轴的横坐标为，将代入，可解得31.5厘米，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米， 可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 根据图象可知抛物线经过原点， ，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）由题意得：熏炉套盒最左侧在轴的横坐标为， 将代入，可解得：厘米， ∵ 这一列最多能叠放3个套盒． 30．(24-25九上·河南信阳罗山县·期中)兰州牛肉拉面以其独特的风味火遍全国，是行走的兰州历史文化代表．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽 ，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降 时，碗中汤面的水平宽度为 （碗的厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：． 31．(24-25九上·河南濮阳华龙区濮阳油田实验学校等校·)某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）由题意，图象过点、，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点的纵坐标与王老师的身高进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，、、、、 ∴， 把，代入得， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下： ， 抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时的高度为1.8米， ， 绳子能顺利从他头顶越过． 32．(24-25九上·河南周口扶沟县·期中)如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； (3)在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)，， (2)该运动员此次跳水会失误． (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标． （2）由题意知，当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可． （3）由题意知，，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过，求解当抛物线经过点，当抛物线经过点时的解析式，从而可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， ∵ 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为． （2）解：当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为． 将代入中， 得． ， 该运动员此次跳水会失误． （3）解：∵，，， ∴，， 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过， 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； ∵出水点在之间（包括，两点） ∴． 33．(24-25九上·河南周口西华县·期中)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出的值，即可作出判断． 【详解】（1）解： ， ∴当时，最大， 故答案为：； （2）解：根据题意，得当时，． ∴． ∴． （3）解：小明的说法不正确． 理由如下： 由（2），得． 当时，． 解方程，得，． ∵， ∴小明的说法不正确． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04实际问题与二次函数 ☆7大高频考点概览 考点01图形问题 考点02图形运动问题 考点03拱桥问题 考点04销售问题 考点05投球问题 考点06喷水问题 考点07其他问题 考点01 图形问题 1.(24-25九上·河南安阳林州期中)小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这 条边上的高之和为20cm,则这个三角形的最大面积为() A.25cm B.50cm C.100cm D.200cm 2.(24-25九上·河南信阳罗山县·期中)如图，把一张长10cm、宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正 方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积S(cm)与剪去的小正方形边 长x(cm)之间的函数表达式是（不需要写自变量取值范围）. 3.(24-25九上·河南周口西华县·期中)如图，用一段长30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18m.设这个菜园垂直于墙的一边长为xm,菜园的面积为S(单位：m). 1/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 18m 墙 菜园 ()求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (2)填空：垂直于墙的一边长为 m时，这个菜园的面积最大？最大面积为 m2. 考点02 图形运动问题 4.(23-24九下·河南三门峡渑池县)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=24cm,动点P 从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如 果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t,△PBQ的面积为S. (I)求S随t变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当S为20cm2时，t的值时多少？ (3)当t取何值时，面积S最大，最大是多少？ 5.(23-24九上河南信阳·期末)如图1，在正方形ABCD中，动点M,N分别从点A,B同时出发，以相同 的速度匀速运动到点B,C停止，连接DM,MN,ND.设点M运动的路程为x,△DMN的面积为S, 其中S与x之间的函数关系图象如图2所示，则正方形ABCD的边长是() B 6 图1 图2 A.4 B.4V2 C.6 D.62 考点03 拱桥问题 2/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 6.(24-25九·河南周口川汇区·期中)某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为 y=-4X+10,为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面AB高为6米的点E、F处悬挂了两个救生 25 圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为_米. 7.(24-25九上·河南许昌长葛·期中)如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如 果水位上升3米，则水面CD的宽是10米。 (1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式： (2)当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了多少米？ (3)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货 物与货船同宽)·问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 目目 考点04 销售问题 8.(24-25九上·河南驻马店新蔡县·期中)某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统 计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x(单位：元/件)与时间t（第t天)之间满足如图所示的 函数关系，该商品的日销售量y(单位：件)与时间t(第t天)之间满足一次函数关系y=150-t. 个x/(元/件) 120 40 0 80120/庆 (1)求x与t之间的函数关系式： (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与1之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大， 3/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 最大日利润是多少元？ 9.(24-25九上·河南濮阳外国语初中，期中)在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、 “宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品.某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元. 若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个：若每个售价提高1元，则每天少卖2个. (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为x(x>40)元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式： (2)若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利 润是多少元？ 10.(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学·期中)某公司推出一款产品，成本价10元/千克，经过市场调 查，该产品的日销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与 销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价x(元/千 14 18 22 克) 日销售量y(千克) 240 180 120 注：日销售利润就日销售量×（销售单价-成本单价） (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）： (2)当销售价格x为多少元时，日销售利润W最大，最大利润是多少元： (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低 于1025元，请直接写出该产品销售单价的范围 11.(24-25九上·河南商丘民权县·期中)为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种 新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y(台)和销售单价 x(万元)满足如图所示的一次函数关系. 川台 60 40 0 2832 x/万元 (1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式： (2)如果该公司想获得最大的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 12.(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)学科实践 [驱动任务] 4/14 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 诚诚发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究 “鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查， [研究步骤] 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店 近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中： 售价x(元/束) 40 45 50 55 60 日销售量y(束) 120 110 100 90 80 数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，观察表格中数据的变化规律可知日销售量y 是售价x的一次函数， y 160 140 120 --↓-◆---上--↓--- 100 -- 80H ◆- 60- 40- 0354045505方6065主 [问题解决] (I)求日销售量y关于售价x的函数关系式： (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 13.(24-25九·河南周口川汇区·期中)“十一黄金周”期间，影院上映多部影片，某影院每天运营成本为 2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系( 30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x(元/张) 40 50 售出电影票数量y(张) 164124 (1)请求出y与x之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润=票房收入一运营成本）为w(单位：元)，该影院将电影票售价X定为多少时， 每天获利最大？最大利润是多少？ 14.(24-25九上河南商丘夏邑县·期中)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购 进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，根据以往销售经验发现，当每盒售价 5/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量 为p盒 (1)当x=60时，p= (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？ 15.(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)某水果店在两周内，将标价10元/斤的某种水果，经过两次降价后 标价为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求这种水果每次降价的百分率； (2)从第一次降价的第1天算起，第x(x为整数)天的售价、售量及损耗费用的相关信息如下表所示，已知 该水果的进价为4.1元/斤. 时间x(天) 1≤x<9 9≤x<15 售价（元/斤） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销售量（斤） 80-3x 120-x 储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2-64x+400 设第x(x为整数)天的的利润为y元，求y与x(1≤x<15)之间的函数解析式，并求第几天销售利润最大， 16.(24-25九上·河南许昌禹州期中每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残， 共享美好生活”·康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利 200元时，每天可售出56辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价 销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元 (I)求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)当每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 17.(24-25九上河南商丘虞城县·期中)某企业安排55名工人生产甲、乙两种产品，每人每天只生产一种产 品，每人每天能生产2件甲或1件乙.甲产品每件可获利150元.根据市场需求和生产经验，乙产品每天 产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利200元，每增加1件，当天平均每件利润减少10元. (1)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多12000元，且确保生产乙产品不亏损，求 每件乙产品可获得的利润. (2)该企业在不增加工人的情况下，每人每天只能生产一种产品，现增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种 产品的产量相等.己知每人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利270元，求每天生产三种产品可获 得的总利润W(元)的最大值， 6/14 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点05 投球问题 18.(24-25九上·河南信阳第七中学等三校·期中)篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如 图)，抛物线的对称轴为直线x=2.5 不 3.3cm 2.25cm 2.53.5x (1)求篮球运动路线的抛物线解析式和篮球在运动中离地面的最大高度. (2)若篮筐离地面3.05m,离运动员投篮处水平距离为4.5m,问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若 能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮 筐？ 19.(24-25九上·河南许昌长葛·期中)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线 是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：)与足球被踢出后经过的时间t(单位： s)之间的关系如下表： t01 23 4 6 h08141820201814 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m:②足球被踢出7s时，距离地面的高度是14m;③足球飞行 路线的对称轴是直线(=号：@足球被踢出10$时落地，其中正确的有()个， A.1 B.2 C.3 D.4 20.(24-25九上河南开封第十四中学·期中)如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是 抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=亏x刻画.若小球到达的最高 3 点的坐标为6,12.（单位：米） 7/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式. (2)在斜坡OA上的B点处有一棵树，与O点的水平距离为3米，树高为7米，小球M能否越过这棵树？请 说明理由、 (3)求小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离. 21.(24-25九上·河南漯河郾城区·期中)如图所示，一小球M从地面上的点O处抛出，落在斜坡OA上的点A 处.此球的运动路线是抛物线的一部分，以过O的水平线为X轴，以过O且垂直于x轴的直线为y轴建立平 面直角坐标系.已知小球到达最高点的坐标为4,8)，落点Am,2m 1 y/米 M B /米 (1)小球在斜坡上的落点A的垂直高度为多少米？ (2)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高6米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个 广告牌？通过计算说明理由. 22.(23-24九上·河南洛阳涧西区·期中)如图，排球运动场的场地长18m,球网高度2.43m,球网在场地中 央，距离球场左、右边界均为9.一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称 轴垂直于水平面的抛物线的一部分.某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2.2，当 排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.8m.小洛在下图中建立了平面直角坐标系，求得该抛物线的表 达式为y=- 1x2+2.8 6 8/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 根据以上信息，解答下列问题： 球网 不 2.8m 2.2m 2.43m O←3m≥ 左边界 9m 9m 右边界 ()请在图中画出小洛建立的平面直角坐标系： (2)判断排球能否过球网，并说明理由： (3)判断排球是否会出界，并说明理由. 23.(23-24九上·河南信阳·期中)如图，一小球M(看成一个点)从斜坡OA上的O点处抛出，球的运动路 线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y二2X刻画，小球到达的最 高点的坐标为4,8，解答下列问题： (1)求抛物线的表达式： (2)小球落点为A,求A点的坐标： (3)在斜坡OA上的B点有一棵树（看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为5.9，小球M能否 飞过这棵树？通过计算说明理由， 考点06 喷水问题 24.(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用 废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱.如图2，该型 号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y(m)与离发射点O 的水平距离x(m)呈抛物线模型，已知当水平距离为15米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米. 9/14 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/m本 9 15 x/m 图1 图2 (1)请确定抛物线的表达式： (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10m时，距离地面的竖直高度， 25.(24-25九·湖北恩施龙凤镇民族初级中学，期中)如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安 有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平 距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m. EB主 (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段OB的长）； (2)距离OA水平距离多远的E点处，放置高为3.5m的景观射灯EF使水流刚好到点F? 26.(24-25八上·广西南宁北大附属实验学校·月考)数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料 进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛 物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线 与抛物线相离. 材料二：判断：抛物线y=aX+bx+c与直线y=kex+m(k≠0)的位置关系联立y=a+bx+c得 y=kx+m ax2+(b-k)x+c-m=0.根据一元二次方程根的判别式△=(b-k)2-4a(c-m 10/14