专题05 二次函数、指对幂函数12考点（期中真题汇编，贵州专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05一元二次函数、指对幂函数 ☆12大高频考点概览 考点01二次函数的图像与性质 考点02指数运算 考点03指数函数过定点问题 考点04指数函数的单调性 考点05指数函数的值域 考点06指对函数此较大小 考点07幂函数的解析式与求值 考点08幂函数的单调性与不等式 考点09幂函数的图像 考点10幂函数的奇偶性 考点11幂函数的实际模型 考点12函数的方程与零点 目目 考点01 二次函数的图像与性质 1.(24-25高一上·贵州部分学校期中)已知函数f(x)=x2+x+3在(-2,3)上单调递增，则a的取值范围 是() A.[4,+∞) B.[2,+∞) C.（-∞4] D.(-0∞，2] 2.(24-25高一上·贵州黔东南州榕江县榕江实验高级中学期中)如果函数f(x)=x2-2ax+2在区间 [3,+∞)上单调递增，则a的取值范围为() A.(0,2) B.3,+∞) C.(-∞，3] D.(2,3] 3.(23-24高一上·贵州六盘水期中)已知二次函数y=x2-(a+1)x+5在区间[1,3]上单调，则a的取值 范围为() A.a≤1或a≥5 B.a<1或a>5 C.a≤1 D.a≥5 4.(2425高一上贵州贵阳第一中学期中)已知函数f(x)=x(2-x)-1,x∈[0,3]，则f(x)的取值范围() A.[-4,-1]B.[-4,0] c.[-1,0] D.[-4,1] 5.(24-25高一上·贵州仁怀第四中学期中)（多选）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则() 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.b=-2a B.a+b+c<0 C.a-b+c<0 D.abc<0 6.(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校期中)（多选）下列函数中，当0<x≤2时，函数是减函数的 是() A.y=-x+1B.y=x2-4x+5C.y=x2 D.y=景 7.(24-25高一上贵州威宁民族中学期中)若实数a≠b,且a,b满足a2-V2a-1=0,b2-V2b-1=0,则 贵+号= 8.(23-24高一上贵州期中)己知二次函数f(x)的图象的顶点为(2，-4)，且f(x)的图象经过原点. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)在[罗，3]上单调递增，求m的取值范围. 9.(24-25高一上贵州威宁民族中学期中)已知二次函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且经过原点与点 (-13). (1)求f(x)的解析式： (2)若函数f(x)在区间[m-1,m+2]上的最小值为-1，其中m>0,求实数m的取值范围. 10.(23-24高一上贵州六盘水期中)已知二次函数f(x)满足f(x)-f(x+1)=2x+3,且f(0)=3 (1)求f(x)的解析式： (2)求f(x)在[m-1,m+1]上的最大值 11.(24-25高一上·贵州部分学校期中)已知函数f(x)满足f(2x-1)=x2-2x+3. (1)求f(x)的解析式： (2)求f(x)在[-1,2]上的值域 目目考点2 指数运算 1.(2425高一上贵州贵阳乌当区某校期中)4+(V2-1)°-8.4÷(N反)= 2.(425高一上贵州威宁民族申学期申1)化简：2×(V2)°+4×柜-(2)； 2/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若x+x1=2,求x2+x2的值. 目目 考点03 指数函数过定点问题 1.(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中)（多选）下列说法正确的是() A.函数y=a3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点(3,4) B.函数y=x+1与y=k3+1是同一函数 C.函数f(x)=葬，则函数y=f(x)的值城是(1,3) D.己知函数f(x)的定义域为[-13)，则f(2x+1)定义域为[-1,1] 2.(24-25高一上贵州威宁民族中学期中)函数f(x)=2a1-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点是」 目目 考点04 指数函数的单调性 1.(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中)（多选）下列函数中，既是偶函数，又在(0，十∞)上单调递 减的为() A.f (x)=-x B.f(x)=x2 C.f(x)=(3)州 D.f(x)=安 目目 考点05 指数函数的值域 1.(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校期中)己知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时， f(x)=2,则函数f(x)的值域为 目目 考点06 指对函数比较大小 1.24-25商一上贵州贵阳鸟当区某校期中若a=307,b=(传)08c=207,则a,b,c的大小关系是() A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.c>a>b 2.(24-25高一上贵州遵义航天高级中学期中)已知a=ln号，b=,C=1og3,比大小一 目目 考点07 幂函数的解析式与求值 1.(23-24高一上贵州安顺镇宁实验学校期中)已知幂函数f(x)的图象经过点(-3，-27)，则f(专)= () A.吉 B. C. D. 3/8 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高一上贵州黔东南州榕江县榕江实验高级中学期中)若幂函数y=f(x)的图象经过点(2，V2,则 f⑤)的值是() A.5 B. 5 C. D.25 3.(24-25高一上贵州威宁民族中学期中)已知m是常数，幂函数fx)=（m2-3)xm在(0，+o∞)上单调递 减，则f(2)=() A. B. C.2 D.4 4.(23-24高一上贵州安顺镇宁实验学校期中)（多选）己知函数f(x)=(m2+3m-3)x+1为幂函数， 则实数m的可能性取值为() A.1 B.-2 C.3 D.-4 5.(23-24高一上贵州安顺镇宁实验学校期中)若点(2,8在幂函数f(x)=axb+c的图象上，则a+b+c的 值为 考点08 幂函数的单调性与不等式 1. (多选)已知函数f(x)=x的图象经过点(3，寺)，则() A.f(x)的图象经过点(9，青) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)在定义域上单调递减 D.f(x)在(0，+∞)内的值域为(0，+∞) 2.(23-24高一上贵州毕节金沙县实验高级中学期中)已知幂函数f(x)=(m2-m-11)xm1在(0，+0∞上 是减函数，mER, (1)求fx)的解析式： (2)若3-a)市>(3a-1)南， 求实数a的取值范围. 目目 考点09 幂函数的图像 1.(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学期中)在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+4bx与 幂函数y=x(x>0)图象的关系可能为() -2-10 4/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 2.(23-24高一上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)函数y=x的图象大致是() 目目 考点10 幂函数的奇偶性 1.(23-24高一上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学期中)已知幂函数f(x)=（2m2-6m+5)xm1为 奇函数，则实数m= 2.(23-24高一上贵州安顺镇宁实验学校期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点(4，专) (1)求此函数的解析式； (2)根据单调性的定义判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性； (3)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明. 目目 考点11 幂函数的实际模型 1.(24-25高一上·贵州部分学校期中)某市出租车收费标准如下：2公里以内（包含2公里）收费6元，不 到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算； 超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算己知某人某次乘坐出租车从该市的A地到 该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是_里 2.(23-24高一上·贵州铜仁第八中学.期中)双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要 方向.根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车己累计推广突破1000万辆大关.某 5/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x(千辆获利W(x)(万元)， w-{.2x即83402≤6，楼公可衡计20m年参年他成本经投入为(20x+120)万元 30x+350,0<x≤2 由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2022年的全年利润为f(x)(单位：万元)， (1)求函数f(x)的解析式： (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 3.(24-25高一上·贵州县中新学校计划项目·期中)六盘水市乌蒙大草原旅游景点某年国庆期间，团队收费方 案如下：不超过30人时，人均收费80元；超过30人且不超过n(30<n≤100)人时，每增加1人，人均 收费降低1元；超过人时，人均收费都按照人时的标准设该景点接待有x名游客的某团队，收取总费用 为y元 (1)求y关于x的函数解析式： (2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少 这一现象为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围 4.(23-24高一上·贵州黔东南苗族侗族锦屏中学·期中)国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压 力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t(单位：小时)满足0<t≤24，t∈N经测算， 当16≤t≤24时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为5000人，当0<t<16,候车人数相对于满 厅人数会减少，减少人数与t(16-t)成正比，且时间为6点时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为 f(t) (1)求f(t)的表达式，并求当天中午11点时，候车厅候车人数 (2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为P=3000+400,则当t 为何值时需要提供的免费面包数量最少 5.(2425高一上·贵州威宁民族中学期中)为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工 厂，每年需投入固定成本5万元，当年产量x(单位：万件)低于10万件时，流动成本W(8)=x2+3x(万 元)，当年产量x(单位：万件)不低于10时，W(x)=8x+-50(万元)经调研，每件水果箱售价 为7元，每年加工的水果箱能全部售完 (I)求年利润(x关于年产量x(单位：万件)的函数关系式；（注：年利润=年销售额-固定成本-流动成 本) (2)求年产量x(单位：万件)为多少时，年利润fx)取得最大值，并求出fx)的最大值 6.(24-25高一上·贵州贵阳第一中学期中)某研究性学习小组为探究学校附近某路口在上班高峰期(8：00至 6/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10:00)的车流量问题，经过长期的观察统计，建立了一个简易的车流量与平均车速之间的函数模型模型如 下，设车流量为y(千辆时)，平均车速为v(千米时)，则y=5(v>0) (1)若要求在高峰期内，车流量不低于5千辆/时，则汽车行驶的平均速度应该在那个范围？ (2)在上班高峰期，汽车的平均车速为多少时，车流量最大？最大车流辆是多少？ 目目 考点12 函数的方程与零点 1.(23-24高一上·贵州期中)（多选）已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，对应值表如下： X -2 0 1 3 f(x) -4 -3 6 -5 7 在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是() A.(-2,0) B.(0,1) C.(1,3) D.(3,4) 2.(24-25高一上贵州威宁民族中学期中)（多选）定义域和值域均为[-a,a]的函数y=f(x)和 y=g(x)的图象如图所示，其中a>b>c>0,则() A.方程f[g(x)]=0有且仅有3个解B.方程g[f(x)]=0有且仅有3个解 C.方程[f(x)]=0有且仅有5个解D.方程g[g(x)]=0有且仅有1个解 3.(24-25高一上贵州仁怀第四中学期中)设二次函数f(x)=ax2+(b-3)x+3. (1)若函数f(x)的零点为-3、2，求函数f(x); (2)若f(1)=1,a>0,b>0,求言+的最小值， 4.(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学.期中)对于定义域为I的函数f(x),如果存在区间 [a,b]∈I,使得f(x)在区间[a,b]上是单调函数，且函数y=f(x),x∈[a,b]的值域是[a,b],则 称区间[a,b]是函数f(x)的一个“优美区间” ()判断函数y=x2(xER)和函数y=3-是(x>0)是否存在“优美区间？（直接写出结论，不要求证明）； (2)若函数f(x)=区，gx)=f(x)+m(x)x∈[1,4]，当g(x的最小值是0时，求m的值： (3)若函数f(x)=x2+c在R上存在“优美区间”，求实数c的取值范围. 7/8 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 5.(23-24高一上贵州期中)已知函数f(x)=x2-(2m+1)x+m(m+1). (1)当m=0时，求f(x)的零点； (2)若f(x)只有一个零点在(1,3)内，求m的取值范围. 8/8 专题05一元二次函数、指对幂函数 12大高频考点概览 考点01二次函数的图像与性质 考点02 指数运算 考点03 指数函数过定点问题 考点04 指数函数的单调性 考点05 指数函数的值域 考点06 指对函数比较大小 考点07 幂函数的解析式与求值 考点08 幂函数的单调性与不等式 考点09 幂函数的图像 考点10 幂函数的奇偶性 考点11 幂函数的实际模型 考点12 函数的方程与零点 地 城 考点01 二次函数的图像与性质 1．(24-25高一上·贵州部分学校·期中)已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性可得，解之即可求解. 【详解】函数图象的对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 2．(24-25高一上·贵州黔东南州榕江县榕江实验高级中学·期中)如果函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质求解参数即可. 【详解】由二次函数性质得的对称轴为， 因为在区间上单调递增，且开口向上， 所以，故C正确. 故选：C 3．(23-24高一上·贵州六盘水·期中)已知二次函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴与端点值的比较得到不等式，求出取值范围. 【详解】的对称轴为， 要想函数在区间上单调，则或， 解得或. 故选：A 4．(24-25高一上·贵州贵阳第一中学·期中)已知函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数性质求值域. 【详解】因为， 所以当时，，当时，， . 故选：B 5．(24-25高一上·贵州仁怀第四中学·期中)（多选）二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数的图象，可判断出结果. 【详解】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误； 对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确； 对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以， 当时，，所以，故D正确； 故选：ACD. 6．(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期中)（多选）下列函数中，当时，函数是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AD选项，可利用解析式直接得到单调性；BC选项，根据二次函数的开口方向和对称轴作出判断. 【详解】A选项，在R上单调递减，当时，是减函数，A正确； B选项，对称轴为，开口向上， 故在上单调递减，B正确； C选项，对称轴为轴，开口向上，故在上单调递增，C错误； D选项，在上单调递减，D正确. 故选：ABD 7．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)若实数，且满足，，则 . 【答案】 【分析】根据题意可知是方程的两个根，利用韦达定理求解即可. 【详解】根据题意可知是方程的两个根， 所以，， 则， 故答案为： 8．(23-24高一上·贵州·期中)已知二次函数的图象的顶点为，且的图象经过原点． (1)求的解析式； (2)若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一利用顶点式设方程即可求解；法二：利用一般式设方程得方程组求解即可（2）利用单调性列不等式 【详解】（1）（方法一）设， 由题意得，得， 所以． （方法二）设， 由题意得，解得 所以． （2）由题意得在上单调递增， 所以，得，即的取值范围为． 9．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式； （2）由函数在区间上取到函数的最小值，得对称轴与区间的关系，建不等式求解即可. 【详解】（1）由二次函数的图象关于直线对称， 可设，， 则解得 ∴的解析式为． （2）由题知，的对称轴为，且． ∵在区间上的最小值为， ∴，又，解得， 即实数m的取值范围为． 10．(23-24高一上·贵州六盘水·期中)已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）讨论函数对称轴与区间的位置关系，判断函数在区间上的单调性进而求解函数的最大值. 【详解】（1）设，因为，所以， 即， 由，得， 又由解得， 所以. （2）由（1）得函数，其对称轴为， ①当即时，函数在上为增函数， 函数的最大值为； ②当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数， 函数的最大值为； ③当，即时，函数在上为减函数， 函数的最大值为. 综上可得：当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为4； 当时，函数的最大值为. 11．(24-25高一上·贵州部分学校·期中)已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）设，则， 所以， 则. （2）由（1）可知，则的图象关于直线对称. 由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 因为，，所以. 故在上的值域是. 地 城 考点02 指数运算 1．(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中) . 【答案】 【分析】利用指数函数的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)（1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）2；（2）2. 【分析】（1）根据指数的运算可得答案； （2）将平方可得答案. 【详解】（1） （2）因为，所以， 所以. 地 城 考点03 指数函数过定点问题 1．(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中)（多选）下列说法正确的是（ ） A．函数，且的图象过定点. B．函数与是同一函数 C．函数，则函数的值域是 D．已知函数的定义域为，则定义域为 【答案】ABC 【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据同一函数，转化后即可判断；对C：利用常数分离，结合指数函数的值域即可求解；对D：根据抽象函数的定义域计算即可求得结果. 【详解】对A：令，解得，当时，，故函数恒过定点，A正确； 对B：函数与是同一函数，B正确； 对C：因为， 又因为，所以 ， 则函数的值域是，故C正确； 对D：若函数的定义域为，则函数， 则的定义域为，故D错误. 故选：ABC. 2．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)函数（且）的图象恒过定点是 . 【答案】 【分析】先求出时，为定值，从而求出函数图象所过定点. 【详解】当，即时，为定值，此时， 故（且）的图象恒过定点. 故答案为： 地 城 考点04 指数函数的单调性 1．(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中)（多选）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的解析式逐项判断. 【详解】A. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； B. 是偶函数，又在上单调递增，故错误； C. 是偶函数，又在上单调递减，故正确； D. 是奇函数，又在上单调递减，故错误； 故选：AC 地 城 考点05 指数函数的值域 1．(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中)已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出时函数的取值范围，再由奇函数的对称性即可得出时函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 又当时，，所以， 当时，由奇函数的对称性可知， 所以函数的值域为. 故答案为： 地 城 考点06 指对函数比较大小 1．(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中)若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为 所以由指数函数为增函数知，， 由幂函数在上单调递增可知，， 所以， 故选：A 2．(24-25高一上·贵州遵义航天高级中学·期中)已知，，，比大小 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于，故， ，故， 因此. 故答案为： 地 城 考点07 幂函数的解析式与求值 1．(23-24高一上·贵州安顺镇宁实验学校·期中)已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解. 【详解】设幂函数，所以，解得，所以， 故. 故选:C. 2．(24-25高一上·贵州黔东南州榕江县榕江实验高级中学·期中)若幂函数的图象经过点，则的值是（    ） A． B． C． D．25 【答案】A 【分析】设，由已知条件可得，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】设，则，可得，故，因此，. 故选：A. 3．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)已知是常数，幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可确定，进而计算可得结果. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得， 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，符合题意， 所以. 故选：A. 4．(23-24高一上·贵州安顺镇宁实验学校·期中)（多选）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（    ） A．1 B．-2 C．3 D．-4 【答案】AD 【分析】根据幂函数定义得到方程，求出实数，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，，当时，，均满足要求. 故选：AD 5．(23-24高一上·贵州安顺镇宁实验学校·期中)若点在幂函数的图象上，则的值为 . 【答案】4 【分析】由幂函数的概念求出a，c，再将点代入函数解析式，求得b的值. 【详解】因为为幂函数，则，，即， 又点在函数的图象上，则，解得，所以 故答案为：4. 地 城 考点08 幂函数的单调性与不等式 1．（多选）已知函数的图象经过点，则（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称 C．在定义域上单调递减 D．在内的值域为 【答案】AD 【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得， 则， 所以的图象经过点，A正确； 根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性， 函数在内的值域为，故BC错误，D正确， 故选：AD． 2．(23-24高一上·贵州毕节金沙县实验高级中学·期中)已知幂函数在上是减函数，． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性进行计算；（2）结合（1）中的参数，根据幂函数的单调性和定义域计算. 【详解】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：， 解得，于是 （2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减， 由， 即，于是， 解得 地 城 考点09 幂函数的图像 1．(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   【答案】D 【分析】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案. 【详解】解：因为二次函数的对称轴为， 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确； 故选：D. 2．(23-24高一上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)函数的图象大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域为可排除选项；根据，函数值与对比递从而可得结果. 【详解】函数的定义域为， 且此函数在定义域上是增函数，排除， 另外，时，， 所以时，函数图象要在的下方， 排除选项，故选B. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查幂函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 地 城 考点10 幂函数的奇偶性 1．(23-24高一上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知幂函数为奇函数，则实数 . 【答案】2 【解析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果. 【详解】为幂函数， ， 解得：或； 当时，，不是奇函数，不满足题意； 当时，，是奇函数，满足题意； 综上所述：； 故答案为：2. 2．(23-24高一上·贵州安顺镇宁实验学校·期中)已知幂函数的图象过点. (1)求此函数的解析式； (2)根据单调性的定义判断函数在上的单调性； (3)判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减 (3)为非奇非偶函数，证明见解析 【分析】（1）令，将所过点坐标代入求参数，即得解析式； （2）令判断的符号即可得单调性； （3）由解析式确定函数定义域，结合奇偶性定义即可证奇偶性. 【详解】（1）令，且过，故，可得， 所以. （2）令，则， 而，，故，即， 所以在上的单调递减. （3）为非奇非偶函数，证明如下： 由（1）知：，即定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数. 地 城 考点11 幂函数的实际模型 1．(24-25高一上·贵州部分学校·期中)某市出租车收费标准如下：2公里以内（包含2公里）收费6元，不到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算；超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算.已知某人某次乘坐出租车从该市的A地到该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是 里. 【答案】13 【分析】先判断出租车行驶的距离超过8公里，设出租车行驶的距离为公里，乘客所付费用由求解. 【详解】解：出租车行驶的距离为8公里时，乘客所付费用元， 因为乘客共付车费33元， 设出租车行驶的距离为公里， 则乘客所付费用元， 解得. 故答案为：13 2．(23-24高一上·贵州铜仁第八中学·期中)双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产(千辆)获利(万元)，，该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为(单位:万元)． (1)求函数的解析式; (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元． 【分析】（1）根据已知，利用获利减去成本得到利润； （2）利用一次函数、二次函数以及分段函数求最值. 【详解】（1）由已知，， 又， ∴； （2）由（1）有：； 当时，，则当时，； 当时，，即时，， ∵，∴的最大值为380， 故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元． 3．(24-25高一上·贵州县中新学校计划项目·期中)六盘水市乌蒙大草原旅游景点某年国庆期间，团队收费方案如下：不超过人时，人均收费元；超过人且不超过人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准.设该景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元. (1)求关于的函数解析式； (2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围. 【答案】(1)，且，； (2). 【分析】（1）根据题设分别写出、、上函数解析式，再用分段函数形式表达即可； （2）由（1）所得解析式，只需上函数不出现递减的情况，结合二次函数性质求参数范围. 【详解】（1）由题意，时，； 且时，； 且时，； 综上，，且，. （2）由（1）知：总费用在和上都是递增， 所以，只需在上总费用不出现递减即可， 对于，开口向下且对称轴为， 所以，只需，总费用随着团队中人数增加而增加. 4．(23-24高一上·贵州黔东南苗族侗族锦屏中学·期中)国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为． (1)求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数 (2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少. 【答案】(1)，人 (2) 【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案； （2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案. 【详解】（1）当时，设，，则， ， 故当天中午点时，候车厅候车人数为人. （2）当， ，当且仅当时等号成立； 当时，． 又，所以当时，需要提供的面包数量最少． 5．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. (1)求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） (2)求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 【答案】(1) (2)年产量为万件时，年利润取得最大值万元 【分析】(1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； (2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 6．(24-25高一上·贵州贵阳第一中学·期中)某研究性学习小组为探究学校附近某路口在上班高峰期（8:00至10:00）的车流量问题，经过长期的观察统计，建立了一个简易的车流量与平均车速之间的函数模型.模型如下，设车流量为（千辆/时），平均车速为（千米/时），则. (1)若要求在高峰期内，车流量不低于5千辆/时，则汽车行驶的平均速度应该在那个范围？ (2)在上班高峰期，汽车的平均车速为多少时，车流量最大？最大车流辆是多少？ 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）根据条件解不等式即可； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由， 由题意可知，，则， 化简得，所以； （2）因为， 则， 当且仅当时，取最大值， 即，. 地 城 考点12 函数的方程与零点 1．(23-24高一上·贵州·期中)（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，对应值表如下： 在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用零点存在定理可得结论. 【详解】由表格中的数据可知，，，， 且函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以，一定包含零点的区间是、、. 故选：BCD. 2．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 3．(24-25高一上·贵州仁怀第四中学·期中)设二次函数． (1)若函数的零点为、，求函数； (2)若，，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理可求出、的值，即可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）根据题意，二次函数， 若函数的零点为和，则方程的两根为和， 则有，解可得，则. （2）若，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 4．(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明）； (2)若函数，，当的最小值是0时，求m的值； (3)若函数在R上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在“优美区间”，不存在“优美区间” (2) (3)或 【分析】（1）根据函数的单调性，求得函数的值域，利用新定义判断即可； （2）利用换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题，分类讨论即可得解； （3）由函数的单调性，分类讨论，，从而确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的根的分布问题，即可得解． 【详解】（1）由题意，，在上单调递增， 由，解得或1，所以存在优美区间， 因为是增函数，若存在优美区间，则， 即，此时方程无解，故函数不存在优美区间； （2），， 令，则，则，， 当，即时，的最小值为， 所以，解得； 当，即时，的最小值为， 所以，解得（舍去）； 当，即时，的最小值为， 所以，解得（舍去）． 综上所述，的值为． （3）函数在上存在“优美区间”，设是一个优美区间， 在上递减，在上递增， 若，则，即有两个不等的非负根， 即，可得，当，即时， 设方程两根分别为， 则，则，所以； 若，则，即， 两式相减得，即， 所以，所以方程有两个不等的非正根， 方程整理为， 由，解得， 又满足题意，由，解得， 所以； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用．对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题． 5．(23-24高一上·贵州·期中)已知函数. (1)当时，求的零点； (2)若只有一个零点在内，求的取值范围. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）当时，解方程，即可得出函数的零点； （2）求出函数的零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 当时，，令可得或， 所以，当时，函数的零点为、. （2）解：由可得或， 因为只有一个零点在内，则或， 解得或， 因此，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $