6.1反比例函数（教学课件）数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的概念、解析式确定及实际应用，通过台灯调光、高铁行驶等现实情境导入，结合函数定义和一次函数的知识回顾，搭建新旧知识桥梁，引导学生抽象出反比例关系。 其亮点在于以矩形面积、三角形高底关系等情境化问题链驱动探究，培养数学眼光，通过待定系数法推导解析式训练数学思维，课堂小结系统归纳定义、表达形式及模型应用，帮助学生用数学语言表达数量关系，提升学习效率，也为教师提供结构化教学资源。

北师大版·九年级上册 6.1 反比例函数 第六章 反比例函数 章节导读 当人和木板对地面的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？亮度可调节的台灯，当电压一定时，怎样通过调节电阻来控制电流的变化从而改变灯光的明暗？……这其中的数量关系具有怎样的共同特征？ 本章将研究反比例函数．与一次函数一样，反比例函数也是描述很多现实问题中变量之间关系的重要数学模型． 学 习 目 标 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (难点) 知识回顾 1. 函数的定义是什么？ 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么我们就说x是 ，y是x的 . 一次函数： 一般地，形如 的函数叫做一次函数.当时，一次函数就叫做 函数. 2. 我们学过哪些函数？ 唯一确定 自变量 函数 是常数，) 正比例 情境引入 亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现．因为当电流 I 较小时，灯光较暗；反之，当电流 I 较大时，灯光较亮. 你知道电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足怎样的关系式吗？ 电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U = IR． 新知探究 探究一：反比例函数的定义 问题1：关系式U = IR 中，当 U =220 V 时， （1）你能用含有 R 的代数式表示 I 吗？ （2）利用写出的关系式完成下表： 当 R 越来越大时，I 怎样变化？当 R 越来越小呢？ 11 5.5 2.75 2.2 当R越来越大时，I越来越小；反之I越来越大. 变量 I 是 R 的函数，根据函数的定义，对于R的每一个确定的值，I都有唯一确定的值与其对应，因此 I 是 R 的函数. （3）变量 I 是 R 的函数吗？为什么？ 新知探究 问题2：京沪高速铁路全长约为 1 318 km， 列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间有怎样的关系？变量 t 是 v 的函数吗？为什么？ 变量 t 是 v 的函数. 根据函数的定义，对于v的每一个确定的值，t都有唯一确定的值与其对应，因此 t 是 v 的函数. 你还能举出类似的实例吗？与同伴进行交流. 2.一个三角形的面积为15cm2，三角形的底 (单位:cm)随高 (单位:cm)的变化而变化. 举例： 1.某住宅小区要种植一块面积为m2的矩形草坪，草坪的长(单位:m)随宽 (单位:m)的变化而变化. 1000m2 新知探究 . 因为 所以 . 新知探究 上述问题中我们得到四个函数关系式： ， ， ， . 它们都具有的形式，其中是非零常数。 观察上面的函数关系式，它们形式上有什么的共同点? 新知探究 反比例函数的定义: 知识归纳 一般地，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（为常数， ）的形式，那么称是的反比例函数. 思考：反比例函数 (为常数，k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是 x0. 新知探究 反比例函数的其他表达方式： 反比例函数除了可以用(为常数，k≠0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 想一想 (为常数，k≠0) (为常数，k≠0) 新知探究 1.在下列函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？ 解：（2）（3）（4）（6）（7）（8）表示y是x的反比例函数. 新知探究 反比例函数的判断方法: 方法归纳 判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝（k是常数，k≠0）或xy＝k（k≠0）或y＝kx－1（k≠0）这样的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数.如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就成反比例关系；否则便不成反比例关系. 新知探究 探究二：建立简单的反比例函数模型 做一做 1．一个矩形的面积为 20 cm2 ，相邻的两条边长分别为 x cm 和 y cm，那 么变量 y 是变量 x 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 理由：根据矩形面积公式， xy=20， 即, 根据反比例函数的定义可得 y 是 x 的反比例函数. 变量 y 是变量 x 的函数，且是反比例函数. 新知探究 2．某村有耕地 346.2 hm2 ，人口数量 n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积 m（hm2 /人）是全村人口数 n 的函数吗？是反比例函数吗？ 为什么？ 理由：根据题意，得 , 根据反比例函数的定义可得 m 是 n 的反比例函数. 该村人均占有耕地面积 m 是全村人口数 n 的函数,且是反比例函数. 新知探究 3．y 是 x 的反比例函数，下表给出了 x 与 y 的一些值. （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表． 解：(1)∵y 是 x 的反比例函数，∴设y＝（k≠0）， 从表格中可知，当x=-1时，y=2， 将其代入y＝中，可得2=，解得k=-2, ∴设y＝ (2)如上表所示. 1 4 2 待定系数法. 新知探究 待定系数法求反比例函数解析式： 知识归纳 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设：设出含有待定系数的反比例函数解析式，例如y＝（k≠0）； ②代：将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解：方程，求出待定系数； ④写：出反比例函数解析式. 新知探究 想一想 上述问题中，自变量能取哪些值？ 在问题1中，因为矩形的边长不能为0或负数，所以自变量x﹥0. 在问题2中，因为n是指全村人口数，所以自变量n为正整数. 在问题3中，因为y＝，所以自变量x. 注意:反比例函数的自变量取值范围是全体非零实数，但在解决实际问题的过程中，自变量的取值范围要根据实际情况来确定.解题过程中应该注意对题意的正确理解. 新知探究 2.用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： 平行四边形的面积是35，它的一边长随这边上的高的变化而变化； 某小区绿地总面积是400 ,该小区的人均绿地面积数随人口数的变化而变化. 解：（1）； （2）. 典例分析 解：因为 是反比例函数， 所以 4－k2=0， k－2≠0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 若函数 是反比例函数，求 k的值，并写出该反比例函数的解析式. 例1 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 例2 典例分析 解：(1)设y＝（k≠0）. 因为当 x=2时，y=6，所以 6＝ 解得 k =12. 所以 y＝. (2)把 x=4 代入y＝，得 y＝=3. 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 巩固练习 基础巩固题 B 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( ) A. B. C. D. A 巩固练习 基础巩固题 3.若函数是反比例函数，则的值为（ ） A.-1 B.1 C.2或-2 D.-1或1 B 4.反比例函数y=(k≠0),若x=时,y=4,则k等于(　　) A.         B.4           C.4        D. C 5.已知函数是反比例函数，则 k 必须满足 . 6.当m= 时，是反比例函数. k≠2 且 k≠－1 ±1 巩固练习 基础巩固题 7.写出下列各题中两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别. (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12 000元，首付4 000元，以后每月付y元，x个月全部付清，则y与x的关系式为______，是______函数. (2)某种灯泡的使用寿命为1 000小时，它的使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为______，是______函数. (3)设三角形的底边、底边上的高、面积分别为a，h，S. 当a＝10时，S与h的关系式为______，是______函数； 当S＝18时，a与h的关系式为______，是______函数. y= 反比例 y= 反比例 S＝5h 正比例 a= 反比例 巩固练习 基础巩固题 8.已知一个长方体水箱的体积为1000立方厘米，它的长是y厘米（y>25），宽是25厘米，高是x厘米. （1）写出用高表示长的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围. 解：（1）根据题意，可得y＝， 化简，得 y＝； （2）根据题意可知自变量x的取值范围为0＜x＜. 巩固练习 基础巩固题 9. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以有 ，解得 k =16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设；②代；③解； ④写. 如果两个变量之间的对应关系可以表示成(为常数， )的形式,那么称的反比例函数. 课堂小结 反比例函数 定义 建立简单的反比例函数模型 反比例函数的自变量取值范围是全体非零实数，但在解决实际问题的过程中，自变量的取值范围要根据实际情况来确定.解题过程中应该注意对题意的正确理解. 常见其他形式：xy＝k（k≠0）或y＝kx－1（k≠0） 作业布置 1.必做题：习题6.1第1-3题。 2.探究性作业：习题6.1第4题。 感谢聆听! $