13.3 三角形的内角与外角 课件 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕三角形内角和定理及其外角性质展开，从稳定性现象引入，通过度量质疑激发探究欲望，再借助平行线构造辅助线完成严谨证明，层层递进构建知识支架，自然衔接直角三角形性质与外角定理，形成完整认知链条。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言三大核心素养，突出几何直观与逻辑推理的协同作用。例如，用动图引导学生发现“过顶点作平行线”的证法，体现抽象能力与创新意识；在例题中强调“一转二计算”策略，强化模型观念与应用意识。教师可借此提升课堂深度，学生则能建立结构化思维，掌握从观察到论证再到迁移的数学学习路径。

三角形的内角与外角 （第1课时） 　　1．三角形具有____________． 　　应用：_______________________________________． 　　2．四边形具有____________． 　　应用：_______________________________________． 稳定性 钢架桥、起重机、国家体育场、输电铁塔 活动挂架、伸缩门、折叠椅、竹篱笆 不稳定性 　　在小学，通过度量或简拼，我们已经知道三角形的内角和等于_____，这样的方法获得的结论可靠吗？ 思考 180° 　　 　　由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于 180°．因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于 180°． 　　观察下面的动图，你能发现证明的思路吗？ 探究 　　观察下面的动图，你能发现证明的思路吗？ 探究 　　由上述拼合过程得到启发，过△ABC 的顶点 A 作直线 l 平行于△ABC 的边 BC（如图），那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论． 　　观察下面的动图，你能发现证明的思路吗？ 探究 　　试着写出完整的证明过程． 　　证明：如图，过点 A 作直线 l，使 l∥BC． 　　∵ l∥BC， 　　∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）． 　　同理 ∠3＝∠5． 　　∵∠1，∠4，∠5组成平角， 　　∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）． 　　∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）． 　　已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 探究 　　以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到三角形的内角和定理： 　　　三角形内角的和等于 180°． 归纳 　　观察下面的动图，你能想出这个定理的其他证法吗？ 问题 　　观察下面的动图，你能想出这个定理的其他证法吗？ 问题 　　如图，你能想出这个定理的其他证法吗？ 问题 　　证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l∥AB． 　　∵ l∥AB， 　　∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）， 　　∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）． 　　∵∠3，∠4，∠5 组成平角， 　　∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）． 　　∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）． A B C 1 2 3 l 5 4 　　有一个角是直角的三角形叫作直角三角形． 　　直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 直角三角形 A B C 　　观察下面的动图，你有什么发现？ 问题 　　观察下面的动图，你有什么发现？ 问题 直角三角形的两个锐角互余． 　　试着证明你的结论． 问题 　　证明：由三角形的内角和定理，得 　　∠A＋∠B＋∠C＝180°， 　　即∠A＋∠B＋90°＝180°， 　　所以∠A＋∠B＝90°． A B C 　　我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由． 思考 A B C 16 　　解：有两个角互余的三角形是直角三角形，理由如下： 　　由三角形内角和定理，得 　　∠A＋∠B＋∠C＝180°， 　　∵∠A＋∠B＝90°， 　　∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°． 　　∴有两个角互余的三角形是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形． A B C 17 　　例 1　如图，在△ABC 中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． 　　解：由∠BAC＝40°，AD 是△ABC 的角平分线，得 　　∠BAD＝　∠BAC＝20°． 　　在△ABC 中， 　　∠ADB＝180°－∠BAD－∠B 　　　　　＝180°－75°－20°＝85°． 　　例 2　如图是 A，B，C 三岛的平面图， C 岛在 A 岛的北偏东50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40°方向．从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 　　分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB． 　　解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°． 　　由AD∥BE，得 ∠BAD＋∠ABE＝180°． 　　所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°， 　　∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°． 　　在△ABC中， 　　∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB 　　　　　＝180°－60°－30°＝90°． 　　答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°，从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°． 　　你还能想出其他解法吗？ 　　解：如图，过点 C 作 CF∥AD，则 CF∥BE． 　　可得∠ACF＝∠DAC＝50°， ∠BCF＝∠CBE＝40°， 　　所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝90°． D A 北 C F 北 B E 归纳 　　求角有技巧，一转二计算 　 （1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置． 　 （2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角． 　　例 3　如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点 E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ 　　解：在Rt△ACE中， 　　∠CAE＝90°－∠AEC． 　　在Rt△BDE 中， 　　∠DBE＝90°－∠BED． 　　∵∠AEC＝∠BED， 　　∴∠CAE＝∠DBE． 归纳 　　直角三角形的注意事项 　 （1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形； 　 （2）在运用直角三角形的判定或其性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题． 与三角形有关的角 三角形的内角和定理 直角三角形 动手实践操作法 平行线证明法 定义与符号表示 性质与判定 三角形的内角与外角 （第2课时） 　　1．三角形内角和定理 　　_________________________________________． 　　2．直角三角形 　　性质：___________________________________． 　　判定：___________________________________． 三角形内角的和等于 180° 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 　　如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD．试着说出这个角有什么特征？ 思考 　 （1）顶点在三角形的一个顶点上； 　 （2）一条边是三角形的一条边； 　 （3）另一条边是三角形的某条边的延长线． 　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角． 28 　　如图，你能画出△ABC 的所有外角吗？观察这些外角，试着说出你的发现？ 问题 B C D A 　 （1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带． 　 （2）一个三角形有 6 个外角，其中同一顶点处的两个外角互为对顶角． 29 　　如图，在△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝60°．∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A，∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A ，∠B 有什么关系？ 思考 　　解：能，理由如下： 　　由三角形内角和定理，得 　　∠ACB＝180°－∠A－∠B＝50°， 　　∴∠ACD＝180°－∠ACB＝130°， 　　∴∠ACD＝∠A＋∠B． 30 　　观察下面的动图，思考:任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想． 探究 　　观察下面的动图，思考任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想． 探究 　　已知：∠ACD 是△ABC 的一个外角． 　　求证：∠ACD＝∠A＋∠B． 探究 B C D A 　　证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， 　　∴∠ACB＝180°－∠A－∠B． 　　∵∠ACB＋∠ACD＝180°， 　　∴∠ACD＝180°－∠ACB 　　＝180°－(180°－∠A－∠B) 　　＝∠A＋∠B． 　　 一般地，由三角形内角和定理可得如下推论： 　　 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 归纳 　　推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． 　　例 1　如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 　　解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 　　∠BAE＝∠2＋∠3， 　　∠CBF＝∠1＋∠3， 　　∠ACD＝∠1＋∠2． 　　∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD 　　＝2(∠1＋∠2＋∠3)． 　　由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 　　∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°． 　　你还能想出其他解法吗？ 　　解：由∠1＋∠BAE＝180°， 　　∠2＋∠CBF＝180°， 　　∠3＋∠ACD＝180°， 　　得∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°． 　　∵∠1＋∠2＋∠3＝180°， 　　∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD 　　＝540°－180°＝360°． 　　观察下面的动图，试着归纳出结论． 探究 　　观察下面的动图，试着归纳出结论． 探究 　　三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫作三角形的外角和． 归纳 三角形的外角和等于 360°． 　　例 2　如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2 的度数． A D E C B 2 1 　　解：由三角形外角的性质，可知 　　∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE， 　　∴∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE 　　＝180°＋∠AED＋∠ADE． 　　∵∠AED＋∠ADE＝90°， 　　∴∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°． 归纳 　　三角形外角性质的三个应用 　 （1）求度数：在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数； 　 （2）证明角相等：一般是把外角作为桥梁，通过等量代换证明角相等； 　（3）判断角的大小：外角大于与它不相邻的任意一个内角． 　　例 3　下列说法正确的是（　　）． 　　A．三角形的外角大于它的内角 　　B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 　　C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 　　D．三角形的外角和为 180° 　　解析：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于与它不相邻的内角，故选项A，B 错误；三角形的外角和为 360°，而不是 180°，故 选项D错误．故选 C． C 归纳 　　应用三角形外角性质的注意事项 　 （1）应用三角形外角的性质时，不能忽视“不相邻”这个条件； 　 （2）不要混淆“三角形内角和是 180°”与“三角形的外角和是 360°”这两个定理． 与三角形有关的角 三角形的外角 三角形的外角和 概念 性质 概念 性质 $