3.3 第1课时 等积变形和行程问题（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（沪科版2024）

该教案聚焦等积变形和行程问题的一元一次方程应用，以牙膏出口直径变化的生活问题导入，通过圆钢铸造、长方体锻造等实例，搭建从实际问题抽象等量关系到建立方程模型的学习支架。 资料以生活情境激活数学眼光，如牙膏问题引导发现数量关系，通过等积变形中体积不变、行程问题中路程关系的推理培养数学思维，用方程模型表达问题体现数学语言的模型意识。助力学生提升建模能力，为教师提供结构化教学范例，突破找等量关系难点。

第1课时　等积变形和行程问题 1．分析实际问题中的数量关系，建立方程模型，解决实际问题； 2．会用一元一次方程解决等积变形和行程问题． 重点：在实际问题中运用一元一次方程解决问题． 难点：通过等积变形和行程问题体会在实际问题中找到等量关系． 一、情境导入 一种牙膏出口处直径为5 mm，子昂每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次．该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，子昂还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这支牙膏能用多少次呢？ 二、合作探究 探究点一：等积变形问题 用直径为90 mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131 mm，高度是81 mm的长方体钢锭．问需要截取多长的一段圆钢？(结果保留π) 解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变． 解：设截取圆钢的长度为x mm. 根据题意，得π()2x＝131×131×81， 解方程，得x＝. 答：截取圆钢的长度为 mm. 方法总结：列方程解应用题首先要审题，本题中圆钢由圆柱体变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变．“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”． 将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12 cm的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较． 解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可． 解：设锻造后长方体的高为x cm， 依题意，得15×12×8＝12×12x. 解得x＝10. 锻造前长方体钢坯的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)， 锻造后长方体钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2). 因为792>768， 所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大． 方法总结：本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高． 探究点二：行程问题 【类型一】 相遇问题 小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一． 解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解得x＝10. 答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明． 【类型二】 追及问题 敌我两军相距25 km，敌军以5 km/h的速度逃跑，我军同时以8 km/h的速度追击，并在相距1 km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？ 解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程． 解：设战斗是在开始追击后x小时发生的． 根据题意，得8x－5x＝25－1. 解得x＝8. 答：战斗是在开始追击后8小时发生的． 方法总结：追及问题中的等量关系：追及距离＝速度差×追及时间． 【类型三】 环形问题 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分钟，乙的速度是240米/分钟． (1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？ (2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？ 解析：(1)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者比慢者多跑一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；(2)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米． 解：(1)设x分钟后两人第一次相遇， 由题意，得360x－240x＝400. 解得x＝. (×360＋×240)÷400＝5(圈). 答：两人一共走了5圈； (2)设x分钟后两人第一次相遇， 由题意，得360x＋240x＝400. 解得x＝(分钟)＝40(秒). 答：40秒后两人第一次相遇． 方法总结：环形问题中的等量关系：两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周长． 三、板书设计 1．等积变形问题 2．行程问题 (1)相遇问题； (2)追及问题； (3)环形问题． 教学过程中，通过对开放性问题的探讨与交流，体验生活中数学的应用与价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识、团队精神和克服困难的勇气． 学科网（北京）股份有限公司 $