24.4弧长和扇形面积（第1课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦弧长和扇形面积计算公式的推导及应用，通过复习圆的周长、面积公式及弧、扇形概念，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从特殊到一般探究公式原理。 这份资料以核心素养为导向，推导环节通过追问1°到n°圆心角的弧长和面积关系，培养学生推理意识与抽象能力，应用环节结合弯形管道、排水管道截面等实际问题，发展应用意识。例题与中考真题设计帮助学生巩固提升，也为教师提供实用教学资源，提升课堂效率。

24.4弧长和扇形面积（第1课时)（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆，24.4弧长及扇形面积第1课时,内容为弧长及扇形面积计算公式推导及应用。 2.内容解析 本节课是一节公式推导及应用课。在此之前，学生已经学会了圆的相关性质和定理的推导和应用，并熟知圆的基本概念如弧、圆心角等。在推导弧长公式时，必须使学生理解:圆心角是1°的弧长等于圆周长的是建立弧长公式的关键。同样在推导扇形的面积公式时，要使学生理解:圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的，圆心角是n°的扇形面积是圆面积的。扇形的另一个面积公式，只要把扇形看作曲边三角形，把弧长看成是底，半径R看成是高就可以了。本节的重点是在经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程后，学生会使用它们解决问题，使学生对圆的认知更全面完整。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:弧长及扇形面积计算公式的推导及应用。 1.教学目标 （1）经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题。 （2）从学生熟知的圆的周长和面积公式入手进行推导，培养学生的探索和归纳能力。了解公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。 （3）让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。 2.目标解析 （1）引导学生分析弧长与圆周长之间的关系，明确圆心角是1°的弧长等于圆周长的是建立弧长公式的关键，圆心角是n°的弧长是圆周长，圆心角是n°的扇形面积是圆面积的，进而推导出圆心角是n°的扇形面积的计算公式，培养学生探索和归纳能力。 （2）通过利用弧长和扇形面积计算公式求弯道长度和求弓形面积问题，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。 (3)通过探索弧长及扇形面积计算公式的过程，让学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过使用公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。 本节课的教学以“思考”的形式引入本课，在小学学习圆周长和面积的基础上，通过对各种特殊角度的圆心角所对的弧长和扇形面积分析，由特殊到一般推出任意角度所对应的弧长和扇形面积计算公式。针对初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们现有知识水平，通过发现动态形成“弧长和扇形的面积”的过程启迪学生思维。通过教学引导学生关注身边的数学，并借助如何正确理解弧长公式、扇形面积公式的推导，会运用公式计算弧长、扇形及简单组合图形的面积。本节的重点是在经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程后，学生会使用它们解决问题。使学生对圆的认知更全面完整，培养学生的创新能力和概括表达能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为弧长及扇形面积计算公式的应用。 创设情景，引入新课 复习：1.圆的周长公式：；面积公式：。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　与弧长相关的计算 追问1：弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，在半径为的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，长度为，即。 追问2：在半径为的圆中，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长分别是的 2、3、90、180、270、360倍。 追问3：在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是。n°的圆心角所对的弧长是的n倍，即. 归纳：在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式：. 注意:用弧长公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位. （设计意图：从特殊到一般探究弧长公式.） 典型例题 例1．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 【分析】将实际问题转化为数学问题，按中心线计算管道的展直长度等于中间的弧长与两边的线段长的和。 【详解】解:由弧长公式，得的长， 因此所要求的展直长度. （设计意图：强化弧长的计算.） 探究点2　与扇形面积相关的计算 追问1：扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分，在半径为的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是圆的面积的，扇形面积为。 追问2：在半径为的圆中，圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是，圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的所对的扇形面积分别是的2、3、90、180、270、360倍。 追问3：在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是。圆心角为n°的扇形面积是的n倍，即. 归纳：在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：. 注意:用扇形面积公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它和弧长公式一样是不带单位. 追问4：你发现了扇形的弧长公式与面积公式有什么联系吗? → 归纳:实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，就会得到越来越多的小“等腰三角形”，扇形的面积就是这些小“等腰三角形”面积和的极限,我们也可以得到扇形面积公式的另一种表示方法： 追问5：一条弧与过它两端点的弦组成的封闭图形叫弓形，怎样求弓形的面积？ 弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差. （设计意图：从特殊到一般探究扇形面积公式.） 典型例题 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.(结果保留小数点后两位) 【分析】将实际问题转化为数学问题，连接OA，OB，截面上有水部分的面积等于扇形面积减去三角形面积。 【详解】解:如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交于点C，连接AC. ∵　, ∴，∴OD=DC. 又 AD⊥DC,∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC=AO=OC. 从而，. 有水部分的面积: 120πx0.6-/4B.0D=0.12π-/x0.6√3x0.3≈0.22(m² ). 例3　如图，四边形内接于圆O，，求劣弧的长度． 【分析】连结，根据等腰直角三角形的性质求得，，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：分别连结， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长度为． 故答案为： （设计意图：强化扇形面积公式的应用.） 课本练习　1.弧长相等的两段弧是等弧吗? 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 3.如图。正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，一长为半径作圆.求图中阴影部分的面积. 练习答案：1.不一定. 2. 3. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接． (1)若，求的度数 (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）． 【详解】（1）解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的度数是； （2）解：由（1）知， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是-2=2π-2， 答：阴影部分的面积是． （设计意图：强化正多边形的计算） 1.(2025•山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为(　　) A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝4， ∴， ∴， 故选：D． 2.（2025.山东烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【详解】解：连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴OA＝OE＝OF，，∠BAF＝120°， ∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°， ∴∠OEF＝∠OAF＝60°， ∵OM⊥AF， ∴AM＝FMAF＝2， ∴OM， ∴S△OAF， ∵∠BAF＝120°， ∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°， ∴∠OAG＝∠OEH， ∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°， ∴∠GOA＝∠EOH， ∴△GOA≌△HOE， ∴S△GOA＝S△HOE， ∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF， ∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF， ∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF ， 答案为：． 3.（2025.河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为． （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°， ∵AE＝3， ∴DE＝2， ∵DE＝DF， ∴DE＝DF＝2． ∵OE＝OF＝2， ∴DE＝DF＝OE＝OF＝2， ∴四边形OEDF为正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMFEOF＝45°； （2）连接EF，交BD于点H，如图， ∵四边形OEMF为菱形， ∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD， ∵OM＝OE＝OF＝2， ∴△OEM，△OFM为等边三角形， ∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°， ∴EH＝2． ∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝45°， ∴△EDH为等腰直角三角形， ∴DH＝EH， ∴DEDH； （3）当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长； 当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长． 综上，当∠EOF＝150°时，的长为或． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式：. 2.在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：；另一种表示方法：. 3.弓形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题24.4第1、2、3、4题. 探究性作业：课本习题24.4第6、11题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 24.4弧长和扇形面积（第1课时) 探究点1　与弧长相关的计算 探究点2　与扇形面积相关的计算 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $