24.3 正多边形和圆（第2课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正多边形的画法及性质应用，通过复习正多边形与圆的关系（中心、半径等概念）搭建学习支架，从生活实例入手，引导学生探究量角器等分圆周和尺规作图（如正六边形、正方形）两种方法，梳理正多边形画法脉络。 特色在于分层探究与核心素养融合，通过追问“如何画正n边形”“特殊正多边形尺规作法”培养几何直观与推理意识，结合五角星绘制、图案设计等实例强化应用意识，中考真题练习提升解题能力，为教师提供清晰教学路径，助力学生发展空间观念与创新意识。

24.3 正多边形和圆（第2课时)（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆，24.3正多边形和圆第2课时,内容为正多边形的画法等内容。 2.内容解析 正多边形和圆的关系密切，本节主要内容是正多边形的画法等内容。正多边形的画法在实际生活中经常遇到，画正多边形可以量角器和直尺。对于特殊的正多边形可以用圆规和直尺作图，因此只是对正方形、正六边形的情况进行了研究，在此基础上，可以作出正八边形、正十二边形。继续探究正多边形和圆的性质并解决一些简单问题。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:正多边形的画法，正多边形和圆的性质并解决一些简单问题。 1.教学目标 （1)会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形。 （2)会用圆的有关知识，解决正多边形的问题。 （3）学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到事物之间是相互联系，相互作用的。 2.目标解析 （1）在实际生活中经常遇到正多边形的画法。在圆中画正多边形的关键是等分圆周，本节课以画正六边形为例，介绍了两种等分圆周的方法，即用量角器等分圆周和用尺规作图等分圆周。 （2）尺规作图，虽然精确，但不是任意等分圆周都画正多边形的关键是等能用这种方法，而且作图时存在误差。本节课只是对正方形、正六边形的情况进行了研究，在此基础上，可以作出正八边形、正十二边形等，让学生理解掌握圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形。 （3）学生通过在圆中画正多边形学习活动中能够观察、发现、探究感受到事物之间是相互联系，相互作用的，在活动过程中知识与能力得到全面发展。 通过上一节课的学习已经认识了多边形和圆的关系，本节课分圆周画正多边形是以正六边形为例，介绍了两种等分圆周的方法，即用量角器等分圆周和用尺规作图等分圆周。用量角器等分圆周是一种简单而常用的方法，前面学生曾经用这种方法画过五角星。用用尺规作图，虽然精确，但不是任意等分圆周都能用这种方法，而且作图时也存在误差，因此本节课只是对正方形、正六边形的情况进行了研究，在此基础上，可以作出正八边形、正十二边形等。本节课在学习画正多边形的同时还要继续探究多边形和圆的基本性质并解决一些简单问题，提高对圆与正多边形的理解和掌握。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为作圆内接正多边形。 创设情景，引入新课 复习：1.把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 2.把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　正多边形的画法 观察：生活中的正多边形图案. 追问1：在七年级上册第四章，我们就是用什么方法画五角星的，用这种方法可以画出任意正n边形吗？为什么？ 用量角器等分圆的方法画五角星的；用这种方法可以画出任意正n边形；由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。 追问2：怎样画一个边长为1.5cm的正六边形时？试一试。 可以以1.5cm为半径作一个⊙0，用量角器画一个等于360°÷6=60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形. 追问3：你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正n边形吗？ 在圆中，用量角器画一个等于360°÷4=90°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的4个等分点，顺次连接各分点，即可得到正四边形. 用量角器画一个等于360°÷5=72°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的5个等分点，顺次连接各分点，即可得到正五边形. 用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的个等分点，顺次连接各分点，即可得到正边形. 追问4：对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作.例如，我们怎样用圆规和直尺这样来作正六边形？ 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R 的正六边形. 追问5：你能用直尺和圆规作正四边形、正八边形正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……吗？ 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形。 再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形…… 追问6：你能归纳出正多边形的作法吗？ （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形等． （设计意图：探究正多边形的画法.） 典型例题 例1 　如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 例2　如图①、图②都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上．图①、图②中的点A在上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹．    (1)在图①中画一个的内接正方形. (2)在图②中画一个的内接四边形，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且点在该四边形内部. 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、正方形及圆的性质，正确掌握轴对称图形及圆的性质是解题关键． （1）直接利用正方形及圆的性质，作出图形即可； （2）直接利用轴对称图形的性质，作出图形即可． 【详解】（1）如图所示，正方形即为所作；    （2）如图所示，四边形即为所作；    （设计意图：强化正多边的作图.） 探究点2　正多边形的应用 追问1：解决正多边形的有关计算时一般方法是什么？ 在解决正多边形的有关计算时，除直接通过圆的性质直接求外，通过作正n边形的半径和边心距，把正n边形分为2n个全等的直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些特殊的正多边形的计算问题。 追问2：解决正多边形的有关计算时边长、周长、半径、边心距、面积之间有什么关系？ 如果正n边形的边数给定，已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以求出其他各项。归纳总结：解决正多边形的问题常和圆的起来，利用多边形的半径、中心角、边心距的关系，构造直角三角形，转化为直角三角形问题，常要用到弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形等关系，有时还需要和圆中的相关元素及三角形、四边形等联系。 （设计意图：再次强化正多边形和圆关系.） 典型例题 例3．如图，已知正六边形边长为2，在正六边形的边上距离最远的点到的距离为（    ） A．3 　　　B．4 　　　　C． 　　　　D． 【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的外接圆，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，交于点O．由，都是等边三角形，推出，可得结论． 【详解】解：连接，交于点O，如图 则点O为外接圆的圆心， ∴在正六边形的边上距离最远的点是， ∵正六边形边长为2， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 例4．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为　　　　　. 【分析】此题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，过点O作于点H，证明是等边三角形．依次进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴，． ∴是等边三角形． ∴，即边长为2，周长为． 在中，， ∴， ∴边心距．． 课本练习　1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线。画出一个五角星. 2.用等分圆周的方法画出下列图案: 练习答案　1.(略). 2.提示:(1)以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧;(2)以正六边形的各边中点为圆心， 正六边形的边长为直径向圆外画半圆;(3)作圆的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画十条. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N. (1)求出的度数，并证明； (2)如图②，点是的中点，连接、，求证：； (3)如图③，点O是AD的中点，OG平分，求证：四边形OMGN是菱形. 【详解】（1）证明：延长FA、ED，分别交BC延长线于I，H ∵MPAB，PNCD，ABCDEF是正六边形 ∴均为等边三角形 ∴PM=PI，AB=IB，PN=PH，CD=CH，∠IPM=∠HPN=60° ∴∠MPN=180°-60°-60°=60° PM+PN=PI+PH=IB+BP+PC+CH=AB+BC+CD=3a （2）证明：如图，令MP交AD于R，NP交AD于Q， ∵ABCDEF是正六边形，O是AD中点 ∴，AO=OD=AB，∠MAR=∠NDQ=60° ∵ ∴ABPR是平行四边形， ∴AR=BP，∠ARM=180°-120°=60° ∴是等边三角形， ∴AM=MQ=AQ，∠MRO=120° 同理可证QD=PC，DN=DQ=QN，∠OQN=120°， ∵AO=AR+RO=OQ+QD=BP+PC ∴AR=OQ，RO=QN 在 ∴ ∴MO=NO （3）证明：连接OE， ∵ABCDEF是正六边形 ∴∠EOD=60° 由（2）知∠NOQ+∠MOR=60° ∴∠MON=120° ∵OG是∠MON的角平分线 ∴∠GON=60° ∵∠GOE+∠EON=60°，∠DON+∠EON=60° ∴∠GOE=∠DON 在 ∴ ∴GO=GN ∴GO=GM ∵∠MOG=∠NOG=60° ∴都是等边三角形 ∵MO=NO ∴MO=NO=NG=GM ∴四边形MONG是菱形； （设计意图：强化正多边形与圆关系的认识.） 1.（2025.金安校考）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 2．（2025.长丰统考）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    3.（2025.太原统考）如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ 【详解】解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.     ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK. ∴ ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG==2×3=6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.正多边形画法：（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形等． 2.在解决正多边形的有关计算时，除直接通过圆的性质直接求外，通过作正n边形的半径和边心距，把正n边形分为2n个全等的直角三角形，再利用勾股定理，即可完成一些特殊的正多边形的计算问题。 3.如果正n边形的边数给定，已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以求出其他各项。 4.解决正多边形的问题常和圆的起来，利用多边形的半径、中心角、边心距的关系，构造直角三角形，转化为直角三角形问题，常要用到弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形等关系，有时还需要和圆中的相关元素及三角形、四边形等联系。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题24.3第3、4、6题. 探究性作业：课本习题24.3第8题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 24.3 正多边形和圆（第2课时) 探究点1　正多边形的画法 探究点2　正多边形的应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $