24.4弧长和扇形面积（第2课时)（导学案）数学人教版九年级上册

24.4弧长和扇形面积（第2课时)（导学案）（原卷版） （1）通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积。 （2）通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力。 （3）通过把圆锥展开和制作圆锥，理解事物之间的联系，激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣. 重点:弧长和扇形的面积的应用；圆锥的侧面积和全面积。 难点:圆锥侧面展开的扇形和底面圆及圆锥有关元素的计算。   第一环节 自主学习 温故知新： 复习:在半径为的圆中，圆心角为n°的弧长公式：　　　　. 在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：　　　；另一种表示方法：　　　. 【学法指导】 自研课本P113-114页内容 (一)圆锥及相关概念 观察下图，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体 1.什么是圆锥的母线？ 2.圆锥的母线之间有什么关系？ 3.什么叫圆锥的高？    4.如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r、h、之间数量关系是什么？ （二）圆锥的侧面展开图 1.沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平得到，圆锥的侧面展开图是什么图形？圆锥侧面展开图扇形的半径是什么？圆锥侧面展开图扇形的弧长是什么？ 2.圆锥侧面的弧长怎样求？侧面面积怎样求？ 3.圆锥展开图是什么图形？圆锥的全面积怎样求？ 自研课本P113-114页内容 典型例题 例1 如果一个圆锥底面的直径是6,圆锥的母线长为5，求圆锥的高？ 例2　蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m²，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)? 　　 例3　如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是圆锥的母线？圆锥的母线之间有什么关系？什么叫圆锥的高？   2.讨论如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r、h、之间数量关系是什么？ 3.讨论沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平得到，圆锥的侧面展开图是什么图形？圆锥侧面展开图扇形的半径是什么？圆锥侧面展开图扇形的弧长是什么？ 4.讨论圆锥侧面的弧长怎样求？侧面面积怎样求？ 5.讨论圆锥展开图是什么图形？圆锥的全面积怎样求？ 6.合作探究提升：1.如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留） 课本练习1.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm。求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积. 2.如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮? 1．（2025.泰州阶段考试）已知一圆锥的底面周长为3，母线长是4，则它的侧面积是　　　　　. 2．（2025·苏州模考）用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是　　　　　　． 3.（2025.裕安校考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．    4.（2025.安庆统考）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 1.把连接圆锥　　　　　　　　　　　　　　　叫做圆锥的母线。如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r、h、之间数量关系是：　　　。 2.沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平得到，圆锥的侧面展开图　　　。圆锥侧面展开图扇形的半径=　　　　；圆锥侧面展开图扇形的弧长=　　　　。 3.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为　，因此圆锥的侧面积为　　　。 4.圆锥展开图是　　　　　　　　；圆锥的全面积是底面积与扇形面积的和为　　　　。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4弧长和扇形面积（第2课时)（导学案）（解析版） （1）通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积。 （2）通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力。 （3）通过把圆锥展开和制作圆锥，理解事物之间的联系，激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣. 重点:弧长和扇形的面积的应用；圆锥的侧面积和全面积。 难点:圆锥侧面展开的扇形和底面圆及圆锥有关元素的计算。   第一环节 自主学习 温故知新： 复习:在半径为的圆中，圆心角为n°的弧长公式：. 在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：；另一种表示方法：. 【学法指导】 自研课本P113-114页内容 (一)圆锥及相关概念 观察下图，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体 1.什么是圆锥的母线？ 把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 2.圆锥的母线之间有什么关系？ 圆锥有无数条母线，它们都相等，如图。 3.什么叫圆锥的高？ 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高。     4.如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r、h、之间数量关系是什么？ 如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r、h、之间数量关系是：。 （二）圆锥的侧面展开图 1.沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平得到，圆锥的侧面展开图是什么图形？圆锥侧面展开图扇形的半径是什么？圆锥侧面展开图扇形的弧长是什么？ 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形；圆锥侧面展开图扇形的半径=母线的长；圆锥侧面展开图扇形的弧长=底面周长。 2.圆锥侧面的弧长怎样求？侧面面积怎样求？ 设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此 圆锥的侧面积为. 3.圆锥展开图是什么图形？圆锥的全面积怎样求？ 圆锥展开图是一个圆和一个扇形；圆锥的全面积是底面积与扇形面积的和为。 自研课本P113-114页内容 典型例题 例1 如果一个圆锥底面的直径是6,圆锥的母线长为5，求圆锥的高？ 【分析】根据圆锥底面的半径、高线长、母线长的关系直接求。 【详解】设圆锥底面的半径为r表示,圆锥的高线长为h表示,圆锥的母线长为, 则， 将代入，得，解答（负值舍去） 所以圆锥的高线长为. 例2　蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m²，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)? 　　 【分析】先求出每个蒙古包需要多少平方米的毛毡，每个蒙古包分为上面的圆锥和下面的圆柱两部分，也就是求圆锥的侧面积与圆柱的侧面积和。 【详解】解:如图　是一个蒙古包的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为12m²，高；上部圆锥的高. 圆柱的底面圆的半径 侧面积为 圆锥的母线长　 则面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡. 例3　如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是圆锥的母线？圆锥的母线之间有什么关系？什么叫圆锥的高？   2.讨论如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r、h、之间数量关系是什么？ 3.讨论沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平得到，圆锥的侧面展开图是什么图形？圆锥侧面展开图扇形的半径是什么？圆锥侧面展开图扇形的弧长是什么？ 4.讨论圆锥侧面的弧长怎样求？侧面面积怎样求？ 5.讨论圆锥展开图是什么图形？圆锥的全面积怎样求？ 6.合作探究提升：1.如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留） 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为3； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵半径为2， ∴， ∴， ∴． 课本练习1.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm。求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积. 2.如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮? 练习答案：1.圆心角为160°，全面积为5200π cm. 2.一个这样的烟囱帽的面积约为6 280 cm²，制作100个这样的烟囱帽约需62.8 m²的铁皮. 1．（2025.泰州阶段考试）已知一圆锥的底面周长为3，母线长是4，则它的侧面积是　　　　　. 【详解】解：∵一圆锥的底面周长为3，母线长是4， ∴圆锥侧面积为：， 故答案为：6． 2．（2025·苏州模考）用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是　　　　　　． 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=． 故答案是：10． 3.（2025.裕安校考）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．    【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为， 故圆锥的高为：． 4.（2025.安庆统考）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 【详解】解：已知，， ∴， 底面圆的周长， 圆锥侧面积， 圆锥底面积， 圆锥全面积． 圆心角． 1.把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r、h、之间数量关系是：。 2.沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。圆锥侧面展开图扇形的半径=母线的长；圆锥侧面展开图扇形的弧长=底面周长。 3.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积为。 4.圆锥展开图是一个圆和一个扇形；圆锥的全面积是底面积与扇形面积的和为。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $