第09讲 弧长和扇形面积（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第09讲 弧长和扇形面积 课程标准 学习目标 ①扇形的弧长 ②扇形的面积 ③圆锥的侧面积和全面积 1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。 2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。 3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 扇形的弧长 1. 扇形弧长的定义： 扇形的弧长就是扇形两条 间 的长度。 2. 扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。 【即学即练1】 1．已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为（　　） A．9π B．6π C．3π D．4π 【即学即练2】 2．已知扇形的圆心角是120°，扇形弧长是20π，则扇形的半径＝ 　． 【即学即练3】 3．一个扇形的弧长是8πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 　 　度． 知识点02 扇形的面积 1. 扇形的面积计算公式： 方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝ ，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝ 。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。 【即学即练1】 4．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．9π B．6π C．3π D．2π 【即学即练2】 5．一个扇形的面积为12πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是 　 　度． 【即学即练3】 6．一个扇形的面积是60π cm2，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（　　） A．30πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm 知识点03 圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的认识： 如图，圆锥是由一个 侧面 和一个 底面 构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的 母线 ，如的CA与CB。AB是圆锥 底面直径 ，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 高 。 2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系： 圆锥的母线长与高与底面半径构成 勾股定理 。 即：如图： 。 3. 圆锥的侧面展开图的认识： 圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆 锥的 母线长 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长 。 4. 圆锥的侧面积计算： 方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 ，弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。 方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为： 。 【即学即练1】 7．一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是　 　cm2． 【即学即练2】 8．一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的表面积为 　 　． 【即学即练3】 9．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（　　） A．3cm B．4.5cm C．6cm D．9cm 【即学即练4】 10．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为（　　） A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 【即学即练5】 11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线l长为 　cm． 【即学即练6】 12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角θ为 　 　°． 题型01 求扇形的弧长及公式的应用 【典例1】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为　 　． 【变式1】如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 　 　（结果保留π）． 【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则的长为 　 　． 【变式3】如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27πcm2．如图，是该球体的一个最大纵截面，则该截面⊙O中阴影部分的弧长为（　　） A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm 题型02 求运动中的运动路径长 【典例1】在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°．将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　） A． B． C．π D． 【变式1】如图，一块边长为8cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为（点A，B，C′在同一直线上）（　　） A．16π B．π C．π D．π 【变式2】如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（　　） 【变式2】 【变式3】 A．10cm B．4πcm C． D． 【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　 　cm． 题型03 求扇形的面积及公式的应用 【典例1】已知扇形的弧长是6.28厘米，半径是2厘米，那么扇形的面积是 　 　平方厘米． 【变式1】如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　 　． 【变式2】扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为（　　）cm2． A．π B．600π C．300π D．30π 【变式3】如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　） A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2 题型04 求圆锥的侧面积和全面积 【典例1】如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（　　） A．36π B．60π C．64π D．48π 【变式1】已知圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它侧面展开图的面积是 　 　cm2（结果保留π）． 【变式2】圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 　 　（结果保留π）． 【典例1】圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（　　） A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．（4+16）πcm2 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 　 　（结果保留π）． 题型05 圆锥的底面半径、高及母线长之间的计算 【典例1】如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（　　） A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm 【变式2】小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm，扇形的弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 题型06 求不规则图形的面积 【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，分别以点A，C为圆心，AB，CD为半径画弧，图中阴影部分面积为 　 　．（结果保留π） 【变式1】如图，AB＝8，以AB为直径的半圆绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是　 ． 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，E为AD上一点，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点F，已知BF＝AB，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【变式3】如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝16，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 　 　． 1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 2．圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（　　） A．弧长扩大为原来的4倍 B．弧长扩大为原来的2倍 C．弧长不变 D．弧长缩小为原来的一半 3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　） A．6π B．2π C．π D．π 4．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为15cm，圆锥母线长为20cm，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（　　） A．150πcm2 B．300πcm2 C．400πcm2 D．525πcm2 5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（　　） A．150° B．120° C．180° D．100° 6．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．3π 7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝15cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　） A．7.5cm B．8cm C．9cm D．10cm 8．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（　　） A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π 9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为上一点，且AD＝4，，则图中的阴影部分面积为（　　） A．5π﹣10 B．5π﹣14 C．10π﹣20 D．10π﹣24 11．一条弧所在圆的半径为6厘米，圆心角为60°，那么这条弧长为 　 　厘米． 12．一个圆锥的底面周长是6πcm，母线长是6cm，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 　 　． 13．如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　 　m． 14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为　 　． 15．图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则图①中图形（实线部分）的周长为 　 　cm（结果保留π）． 16．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G． （1）求证：△ABE≌△BCG； （2）若∠AEB＝50°，OA＝3，求劣弧BF的长．（结果保留π） 17．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC． （1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； （2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r． 18．（原创题）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝1． （1）求O点所运动的路径长； （2）O点走过路径与直线L围成的面积． 19．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G． （1）证明：FA＝FB； （2）若BD＝DO＝2，求的长度． 20．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　 　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 弧长和扇形面积 课程标准 学习目标 ①扇形的弧长 ②扇形的面积 ③圆锥的侧面积和全面积 1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。 2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。 3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 扇形的弧长 1. 扇形弧长的定义： 扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。 2. 扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。 【即学即练1】 1．已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为（　　） A．9π B．6π C．3π D．4π 【分析】把扇形的圆心角为和半径为代入弧长公式计算即可． 【解答】解：依题意，n＝60，r＝12， ∴扇形的弧长＝＝＝4π． 故选：D． 【即学即练2】 2．已知扇形的圆心角是120°，扇形弧长是20π，则扇形的半径＝　30　． 【分析】根据扇形弧长的计算公式可以求得扇形的半径，从而可以解答本题． 【解答】解：设扇形的半径为r， ， 解得，r＝30， 故答案为：30． 【即学即练3】 3．一个扇形的弧长是8πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 　80　度． 【分析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，计算即可． 【解答】解：根据l＝＝＝8π， 解得：n＝80， 故答案为：80． 知识点02 扇形的面积 1. 扇形的面积计算公式： 方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝ ，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝ 。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。 【即学即练1】 4．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．9π B．6π C．3π D．2π 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：S扇形＝＝3π． 故选：C． 【即学即练2】 5．一个扇形的面积为12πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是 　120　度． 【分析】根据扇形面积公式S＝，即可求得这个扇形的圆心角的度数． 【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°， 根据题意得：＝12π， 解得：n＝120， 故答案为：120． 【即学即练3】 6．一个扇形的面积是60π cm2，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（　　） A．30πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm 【分析】根据扇形的面积公式，可以求得该扇形所在圆的半径，然后再根据弧长公式，即可计算出该扇形的弧长． 【解答】解：∵一个扇形的面积是60，圆心角为150°，S扇形＝， ∴60π＝， 解得r＝12， ∴此扇形的弧长为：＝10π， 故选：B． 知识点03 圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的认识： 如图，圆锥是由一个 侧面 和一个 底面 构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的 母线 ，如的CA与CB。AB是圆锥 底面直径 ，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 高 。 2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系： 圆锥的母线长与高与底面半径构成 勾股定理 。 即：如图： 。 3. 圆锥的侧面展开图的认识： 圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆 锥的 母线长 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长 。 4. 圆锥的侧面积计算： 方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 a ，弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。 方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为： 。 【即学即练1】 7．一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是　2000π　cm2． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面直径是80cm，则底面周长＝80πcm，烟囱帽的侧面展开图的面积＝×80π×50＝2000πcm2． 【即学即练2】 8．一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的表面积为 　10π　． 【分析】根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上圆锥的底面积得到圆锥的表面积． 【解答】解：这个圆锥的表面积＝×2π×2×3+π×22＝10π． 故答案为：10π． 【即学即练3】 9．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（　　） A．3cm B．4.5cm C．6cm D．9cm 【分析】设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程求出r即可． 【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝6， 所以这个圆锥的底面半径长为6cm． 故选：C． 【即学即练4】 10．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为（　　） A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 【分析】圆锥的展开图为扇形，根据弧长公式l＝|α|R，可求出扇形的半径，继而利用勾股定理可求出圆锥的高． 【解答】解：由题意得，扇形的半径＝＝＝5cm， 即AB＝5cm， 过点A作AD⊥BC与点D， 在RT△ABD中，AD＝＝＝4cm， 即圆锥的高为4cm． 故选：D． 【即学即练5】 11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线l长为 　6　cm． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2＝，然后解关于l的方程即可． 【解答】解：根据题意得2π×2＝， 解得，l＝6， 即该圆锥母线l的长为6cm． 故答案为：6． 【即学即练6】 12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角θ为 　120　°． 【分析】设扇形的圆心角θ为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×3＝，然后解方程即可． 【解答】解：设扇形的圆心角θ为n°， 根据题意得2π×3＝， 解得n＝120， 即扇形的圆心角θ为120°． 故答案为：120． 题型01 求扇形的弧长及公式的应用 【典例1】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为　3π　． 【分析】根据弧长公式计算． 【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π． 故答案为：3π． 【变式1】如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 　π　（结果保留π）． 【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD＝45°，AC＝AB＝2，然后利用弧长公式计算的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD＝45°，AC＝AB＝2， ∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E， ∴的长度为＝π． 故答案为：π． 【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则的长为 　π　． 【分析】如图，根据直角三角形的性质得到∠OBC＝30°，根据三角形的内角和定理得到∠AOB＝60°，根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图， ∵OC＝OB，∠OCB＝90°， ∴∠OBC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∴的长＝＝π， 故答案为：π． 【变式3】如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD，根据轴对称的性质得到AD＝OA，根据等边三角形的性质求出∠AOD＝60°，结合图形求出∠BOD，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：连接OD， ∵点D是点O关于AC的对称点， ∴AD＝OA， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°， ∴的长＝＝π， 故选：B． 【变式4】已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27πcm2．如图，是该球体的一个最大纵截面，则该截面⊙O中阴影部分的弧长为（　　） A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm 【分析】连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H．利用圆面积公式求出AH，解直角三角形求出∠AOH，可得结论． 【解答】解：连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H则AH＝BH． 由题意π•AH2＝27π， ∴AH2＝27， ∵AH＞0， ∴AH＝3， ∴sin∠AOH＝＝＝， ∴∠AOH＝60°， ∵OA＝OB，OH⊥AB， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴的长＝＝4π（cm）． 故选：B． 题型02 求运动中的运动路径长 【典例1】在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°．将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　） A． B． C．π D． 【分析】利用三角函数求得BC的长，顶点C运动的路线是以B为圆心，以60°为圆心角，半径是BC的弧，利用弧长公式即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°， ∴BC＝AB•cosB＝4×＝2， ∴顶点C运动的路线长是：＝． 故选：B． 【变式1】如图，一块边长为8cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为（点A，B，C′在同一直线上）（　　） A．16π B．π C．π D．π 【分析】由题意知，顶点C从开始到结束所经过的路径为圆弧CC′，对的圆心角为120°，根据弧长公式计算． 【解答】解：CC′的长＝＝π． 故选：D． 【变式2】如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（　　） A．10cm B．4πcm C． D． 【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝＝5cm，CA1＝3cm，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到， ∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝＝5cm，CA1＝3cm， ∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长＝+＝π（cm）． 故选：C． 【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　（）　cm． 【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）． 【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+ ＝（cm）． 故答案为：（）． 题型03 求扇形的面积及公式的应用 【典例1】已知扇形的弧长是6.28厘米，半径是2厘米，那么扇形的面积是 　6.28　平方厘米． 【分析】直接利用弧长公式计算． 【解答】解：根据题意得扇形的面积＝×6.28×2＝6.28（平方厘米）． 故答案为：6.28． 【变式1】如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　　． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形面积公式计算． 【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°， ∴∠C＝20°， 又∵D为BC的中点， ∴BD＝DC＝BC＝2， ∵DE＝DB， ∴DE＝DC＝2， ∴∠DEC＝∠C＝20°， ∴∠BDE＝40°， ∴扇形BDE的面积＝， 故答案为：． 【变式2】扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为（　　）cm2． A．π B．600π C．300π D．30π 【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算． 【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm， ∴AD＝10cm， ∵∠BAC＝135°， ∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE ＝﹣ ＝300π（cm2）． 故选：C． 【变式3】如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由正方形的边长为1，可得的长度为2，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB＝lr，计算即可． 【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴的长度＝2， ∴S扇形DAB＝lr＝×2×1＝1． 故选：A． 【变式4】如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　） A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2 【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5， 所以面积＝＝πm2； 小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m， 则面积＝＝（m2）， 则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）． 故选：D． 题型04 求圆锥的侧面积和全面积 【典例1】如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（　　） A．36π B．60π C．64π D．48π 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积． 【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝6，高h＝8， ∴圆锥的母线长为：＝10， ∴圆锥的侧面积＝×2π×6×10＝60π． 故选：B． 【变式1】已知圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它侧面展开图的面积是 　65π　cm2（结果保留π）． 【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm， ∴勾股定理得圆锥的母线长为13cm， ∴圆锥的侧面积＝π×13×5＝65πcm2． 故答案为：65π． 【变式2】圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 　12π　（结果保留π）． 【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3， ∴该圆锥的侧面积为：π×3×4＝12π． 故答案为：12π． 【典例1】圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（　　） A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．（4+16）πcm2 【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积＝底面积+侧面积＝π×底面半径2+底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长＝8πcm，底面面积＝16πcm2；由勾股定理得，母线长＝cm， 圆锥的侧面面积＝×8π×＝4πcm2，∴它的表面积＝16π+4π＝（4+16）πcm2，故选D． 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 　8π　（结果保留π）． 【分析】首先求得高CD的长，然后根据圆锥的侧面积的计算方法，即可求解． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴AB＝AC＝4， ∴CD＝2， 以CD为半径的圆的周长是：4π． 故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2××4π×2＝8π． 故答案为：8π． 题型05 圆锥的底面半径、高及母线长之间的计算 【典例1】如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求出答案． 【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π， ∴R＝3． 故选：A． 【变式1】一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（　　） A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm 【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式l＝求解即可． 【解答】解：圆锥的底面周长为2π×4＝8π cm，即为展开图扇形的弧长， 由弧长公式得＝8π， 解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm． 故选：B． 【变式2】小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm，扇形的弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr＝6π，解得r＝3，然后根据勾股定理计算圆锥的高． 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm， 根据题意得2πr＝6π，解得r＝3， 所以圆锥的高＝＝4（cm）． 故选：A． 题型06 求不规则图形的面积 【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，分别以点A，C为圆心，AB，CD为半径画弧，图中阴影部分面积为 　　．（结果保留π） 【分析】连接BD，过点D作DE⊥AB于E，先证明△ABD和△CBD均为等边三角形，则AE＝BE＝3/2，进而得DE＝，则S菱形ABCD＝AB•DE＝，从而得S△ABD＝S△CBD＝S菱形ABCD＝，再求出S扇形ABD＝S扇形△CBD＝，然后根据“S阴影＝2（S扇形ABD﹣S△ABD）”可得出答案． 【解答】解：连接BD，过点D作DE⊥AB于E，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，AB＝3， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD和△CBD均为等边三角形， ∵AE＝BE＝AB＝， 在Rt△ABD中，有勾股定理得：DE＝， ∴S菱形ABCD＝AB•DE＝， ∴S△ABD＝S△CBD＝S菱形ABCD＝， 又∵S扇形ABD＝S扇形△CBD＝＝， ∴S阴影＝2（S扇形ABD﹣S△ABD）＝＝． 【变式1】如图，AB＝8，以AB为直径的半圆绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是　π　． 【分析】根据题意得出AB＝AB′＝8，∠BAB′＝60°，根据图形得出图中阴影部分的面积S＝+π×82﹣π×82，求出即可． 【解答】解： ∵AB＝AB′＝8，∠BAB′＝60° ∴图中阴影部分的面积是： S＝S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O ＝+π×82﹣π×82 ＝π． 故答案为：． 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，E为AD上一点，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点F，已知BF＝AB，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】根据∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，BF＝AB，判定△ABF是等边三角形，得到 ，根据S阴影＝S△ADC﹣S扇形AEG 计算即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，BF＝AB，平行四边形ABCD中，BC＝8， ∴△ABF是等边三角形，CD＝AB，AD＝BC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠DAC＝∠ACB＝30°， ∴，AD＝BC＝8，． S阴影＝S△ADC﹣S扇形AEG ＝ ＝， 故答案为：． 【变式3】如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝16，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 　π﹣8　． 【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA＝30°，即可求出∠AOC＝180°＝﹣30°﹣30°＝120°，由含30度角的直角三角形的性质求出OD＝OA＝4，由勾股定理求出AD＝＝4，由垂径定理得到AC＝2AD＝8，求出△AOC的面积＝AC•OD＝16，扇形AOC的面积＝π，即可得到阴影的面积＝（扇形AOC的面积﹣△AOC）×＝π﹣8． 【解答】解：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴∠AOC＝180°＝﹣30°﹣30°＝120°， ∵AB＝16， ∴OA＝AB＝8， ∵OD⊥AC，∠OAD＝30°， ∴OD＝OA＝4， ∴AD＝＝4， ∵OD⊥AC， ∴AC＝2AD＝8， ∴△AOC的面积＝AC•OD＝×8×4＝16， ∵扇形AOC的面积＝＝π， ∴阴影的面积＝（扇形AOC的面积﹣△AOC）×＝（π﹣16）×＝π﹣8． 故答案为：π﹣8． 1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π， 故选：B． 2．圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（　　） A．弧长扩大为原来的4倍 B．弧长扩大为原来的2倍 C．弧长不变 D．弧长缩小为原来的一半 【分析】根据弧长公式l＝，即可解答问题． 【解答】解：设半径为r，圆心角为n°， ∵弧长公式l＝， ∴圆心角扩大为原来的2倍后，弧长为， ∴弧长扩大为原来的2倍． 故选：B． 3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　） A．6π B．2π C．π D．π 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：∵直径AB＝6， ∴半径OB＝3， ∵圆周角∠A＝30°， ∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°， ∴的长是＝π， 故选：D． 4．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为15cm，圆锥母线长为20cm，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（　　） A．150πcm2 B．300πcm2 C．400πcm2 D．525πcm2 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可： 【解答】解：灯罩的铁皮的面积是×2π×15×20＝300π（cm2）． 故选：B． 5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（　　） A．150° B．120° C．180° D．100° 【分析】设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【解答】解：设扇形的半径为r，则， 解得：r＝15； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：n＝120， 即扇形圆心角为120°； 故选：B． 6．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．3π 【分析】图中S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3， ∴∠ABC＝30°． ∴AB＝2AC＝6． 根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′． ∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC ＝ ＝． 故选：C． 7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝15cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　） A．7.5cm B．8cm C．9cm D．10cm 【分析】设圆锥的底面的半径为r cm，则DE＝2r cm，AE＝AB＝（15﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后计算15﹣2r即可． 【解答】解：设圆锥的底面的半径为r cm，则DE＝2r cm，AE＝AB＝（15﹣2r）cm， 根据题意得， 解得， 所以． 故选：D． 8．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（　　） A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π 【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π（r﹣）2+π，再根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：∵2r+l＝6， ∴l＝6﹣2r， ∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr（6﹣2r）＝﹣2π（r2﹣3r）＝﹣2π[（r﹣）2﹣]＝﹣2π（r﹣）2+π， ∴当r＝时，S侧有最大值π． 故选：C． 9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1 【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解． 【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D， ∵∠COA＝60°， ∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°． ∴S扇形AOC＝； S扇形BOC＝． 在三角形OCD中，∠OCD＝30°， ∴OD＝，CD＝，BC＝R， ∴S△OBC＝，S弓形＝＝， ＞＞， ∴S2＜S1＜S3． 故选：B． 10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为上一点，且AD＝4，，则图中的阴影部分面积为（　　） A．5π﹣10 B．5π﹣14 C．10π﹣20 D．10π﹣24 【分析】取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E，在Rt△ADE中，求出AE、DE，进而求出AB，再求出半径OA长，用扇形面积减去△AOB，△ABD即可得出． 【解答】解：取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E， ∵OA＝OB＝OD， ∴OM⊥AD，ON⊥BD，OM平分∠AOD，ON平分∠BOD， ∴， ∴， 在四边形MOND中，∠MON＝360°﹣90°×2﹣45°＝135°， ∴∠ADE＝180°﹣135°＝45°， 在Rt△ADE中，AD＝4， ∴ ∴ 在Rt△ABE中， ， 在Rt△AOB中， ， ∴，， ∴图中的阴影部分面积为5π﹣10﹣4＝5π﹣14， 故选：B． 11．一条弧所在圆的半径为6厘米，圆心角为60°，那么这条弧长为 　2π　厘米． 【分析】利用弧长公式求解即可． 【解答】解：弧长＝＝2π（厘米）． 故答案为：2π． 12．一个圆锥的底面周长是6πcm，母线长是6cm，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 　180°　． 【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可． 【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长是6πcm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为6πcm， ∴＝5π， 解得：n＝180 故答案为：180°． 13．如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　　m． 【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到AB＝m，设圆锥的底面圆的半径为r m，利用弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可． 【解答】解：∵BC＝2m，∠BAC＝90°， ∴AB＝m， 设圆锥的底面圆的半径为r m， 根据题意得2πr＝， 解得r＝， 即圆锥的底面圆的半径为m． 故答案为：． 14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为　　． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝30°，得到DO＝DB，根据直角三角形的性质得到BD＝AD，根据三角形的面积公式得到S△BOD＝S△AOD＝3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA＝30°， ∵OC⊥AO， ∴∠AOD＝90°， ∴∠BOD＝30°， ∴DO＝DB， 在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD， ∴BD＝AD， ∵S△AOD＝×6×＝6， ∴S△BOD＝S△AOD＝3， ∴阴影部分的面积＝S△AOD+S扇形BOC﹣S△BOD ＝6+﹣3 ＝3+3π． 故答案为3+3π． 15．图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则图①中图形（实线部分）的周长为 　　cm（结果保留π）． 【分析】根据弧长公式可得结论． 【解答】解：由图①得：的长+的长＝的长， ∵半径OA＝2cm，∠AOB＝120°， 则图②的周长为：＝（cm）． ∵图①中有4个完整的图②， ∴图①中图形（实线部分）的周长为故×4＝（cm）， 故答案为：． 16．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G． （1）求证：△ABE≌△BCG； （2）若∠AEB＝50°，OA＝3，求劣弧BF的长．（结果保留π） 【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，根据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到∠BOF＝2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径， ∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°， ∴∠EBF＝∠BAF， 在△ABE与△BCG中， ， ∴△ABE≌△BCG（ASA）； （2）解：连接OF， ∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝50°， ∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BOF＝2∠BAE＝80°， ∵OA＝3， ∴的长＝． 17．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC． （1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； （2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r． 【分析】（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出AD，进而求出AC； （2）根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于D， 则AD＝DC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠OAD＝30°， ∴OD＝OA＝2， ∴AD＝＝， ∴AC＝2AD＝2，即剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2； （2）扇形BAC的弧长为：＝， ∴圆锥形铁帽的底面周长为， ∴2πr＝， 解得：r＝． 18．（原创题）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝1． （1）求O点所运动的路径长； （2）O点走过路径与直线L围成的面积． 【分析】本题一共转动了三次，关键是分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式求． 【解答】解：（1）运动路径第一段弧长＝， 第二段路径为线段长为， 第三段路径为， 即O在L上运动路径为． （2）围成面积， S1＝． 19．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G． （1）证明：FA＝FB； （2）若BD＝DO＝2，求的长度． 【分析】（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，＝，推出∠AGB＝∠CAD，即可推得FA＝FB． （2）根据BD＝DO＝2，AD⊥BC，求出∠AOB＝60°，再根据＝，求出∠EOC＝60°，即可求出弧EC的长度是多少． 【解答】（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AGB＝90°； ∵AD⊥BC， ∴∠C+∠CAD＝90°； ∵＝， ∴∠C＝∠ABE， ∴∠AGB＝∠CAD， ∵∠C＝∠BAD ∴∠BAD＝∠ABE ∴FA＝FB． （2）解：如图，连接AO、EO， ∵BD＝DO＝2，AD⊥BC， ∴AB＝AO， ∵AO＝BO， ∴AB＝AO＝BO， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵＝， ∴∠AOE＝60°， ∴∠EOC＝60°， ∴的长度＝＝π． 20．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　101　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【分析】（1）由题意得出最高点是直径加1m即可； （2）①求出圆心角∠POQ的度数，再根据弧长公式进行计算即可； ②求出NQ的长，利用直角三角形的边角关系得出ON的长，进而求出NQ的长，即可得解． 【解答】解：（1）如图， ， 由题意得：QM＝1m，AQ＝100m， 当座椅转到点A时，距离地面最高，此时AM＝AQ+QM＝100+1＝101（m）， ∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为101m； 故答案为：101． （2）①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱， ∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为360°÷24＝15°， ∴∠POQ＝4×15°＝60°， ∴的长为：， ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为； ②作PN⊥OM于N， ， 由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为NQ的长， 在Rt△OPN中，OP＝50m，∠PON＝60°， ∴， ∴NQ＝OQ﹣ON＝25m， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为25m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$