24.4弧长和扇形面积（第1课时)（导学案）数学人教版九年级上册

24.4弧长和扇形面积（第1课时)（导学案）（原卷版） （1）经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题。 （2）从学生熟知的圆的周长和面积公式入手进行推导，培养学生的探索和归纳能力。了解公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。 （3）让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。 重点:弧长及扇形面积计算公式的推导及应用。 难点:弧长及扇形面积计算公式的应用。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：1.圆的周长公式：　　　；面积公式：　　　。 2.圆上　　　　　　　　　叫做圆弧，简称弧；圆的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　叫做扇形。 【学法指导】 自研课本P111-113页内容 (一)与弧长相关的计算 1.弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，在半径为的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？ 2.在半径为的圆中，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？ 3.在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长是多少？ 归纳：在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式：. 注意:用弧长公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位. （二）与扇形面积相关的计算 1.扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分，在半径为的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？ 2.在半径为的圆中，圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？ 3.在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积是多少？ 归纳：在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：. 注意:用扇形面积公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它和弧长公式一样是不带单位. 4.你发现了扇形的弧长公式与面积公式有什么联系吗? 归纳:实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，就会得到越来越多的小“等腰三角形”，扇形的面积就是这些小“等腰三角形”面积和的极限,我们也可以得到扇形面积公式的另一种表示方法： 5.一条弧与过它两端点的弦组成的封闭图形叫弓形，怎样求弓形的面积？ 自研课本P111-113页内容 典型例题 例1．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.(结果保留小数点后两位) 例3　如图，四边形内接于圆O，，求劣弧的长度． 第二环节 合作探究 1.讨论在半径为的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长是多少？ 2.讨论在半径为的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？圆心角为n°的扇形面积是多少？ 3.讨论弧长公式与扇形的面积公式有什么联系吗?扇形面积公式的另一种表示方法是什么以？ 4.讨论怎样求弓形的面积？ 5.合作探究提升：1．如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接． (1)若，求的度数 (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）． 课本练习　1.弧长相等的两段弧是等弧吗? 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 3.如图。正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，一长为半径作圆.求图中阴影部分的面积. 1.(2025•山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为(　　) A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8 2.（2025.山东烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　　 ． 3.（2025.河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为． （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． 1. 在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式：　　. 2.在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：　　　　；另一种表示方法：　　. 3.弓形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积　　　　　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4弧长和扇形面积（第1课时)（导学案）（解析版） （1）经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题。 （2）从学生熟知的圆的周长和面积公式入手进行推导，培养学生的探索和归纳能力。了解公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。 （3）让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。 重点:弧长及扇形面积计算公式的推导及应用。 难点:弧长及扇形面积计算公式的应用。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：1.圆的周长公式：；面积公式：。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。 【学法指导】 自研课本P111-113页内容 (一)与弧长相关的计算 1.弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，在半径为的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，长度为，即。 2.在半径为的圆中，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长分别是的 2、3、90、180、270、360倍。 3.在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是。n°的圆心角所对的弧长是的n倍，即. 归纳：在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式：. 注意:用弧长公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位. （二）与扇形面积相关的计算 1.扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分，在半径为的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是圆的面积的，扇形面积为。 2.在半径为的圆中，圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是，圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的所对的扇形面积分别是的2、3、90、180、270、360倍。 3.在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积是多少？ 圆心角为1°的扇形面积是。圆心角为n°的扇形面积是的n倍，即. 归纳：在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：. 注意:用扇形面积公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它和弧长公式一样是不带单位. 4.你发现了扇形的弧长公式与面积公式有什么联系吗? → 归纳:实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，就会得到越来越多的小“等腰三角形”，扇形的面积就是这些小“等腰三角形”面积和的极限,我们也可以得到扇形面积公式的另一种表示方法： 5.一条弧与过它两端点的弦组成的封闭图形叫弓形，怎样求弓形的面积？ 弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差. 自研课本P111-113页内容 典型例题 例1．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 【分析】将实际问题转化为数学问题，按中心线计算管道的展直长度等于中间的弧长与两边的线段长的和。 【详解】解:由弧长公式，得的长， 因此所要求的展直长度. 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.(结果保留小数点后两位) 【分析】将实际问题转化为数学问题，连接OA，OB，截面上有水部分的面积等于扇形面积减去三角形面积。 【详解】解:如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交于点C，连接AC. ∵　, ∴，∴OD=DC. 又 AD⊥DC,∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC=AO=OC. 从而，. 有水部分的面积: 120πx0.6-/4B.0D=0.12π-/x0.6√3x0.3≈0.22(m² ). 例3　如图，四边形内接于圆O，，求劣弧的长度． 【分析】连结，根据等腰直角三角形的性质求得，，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：分别连结， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长度为． 故答案为： 第二环节 合作探究 1.讨论在半径为的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长是多少？ 2.讨论在半径为的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？圆心角为n°的扇形面积是多少？ 3.讨论弧长公式与扇形的面积公式有什么联系吗?扇形面积公式的另一种表示方法是什么以？ 4.讨论怎样求弓形的面积？ 5.合作探究提升：1．如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接． (1)若，求的度数 (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）． 【详解】（1）解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的度数是； （2）解：由（1）知， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是-2=2π-2， 答：阴影部分的面积是． 课本练习　1.弧长相等的两段弧是等弧吗? 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 3.如图。正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，一长为半径作圆.求图中阴影部分的面积. 练习答案：1.不一定. 2.. 3.. 1.(2025•山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为(　　) A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝4， ∴， ∴， 故选：D． 2.（2025.山东烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【详解】解：连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴OA＝OE＝OF，，∠BAF＝120°， ∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°， ∴∠OEF＝∠OAF＝60°， ∵OM⊥AF， ∴AM＝FMAF＝2， ∴OM， ∴S△OAF， ∵∠BAF＝120°， ∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°， ∴∠OAG＝∠OEH， ∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°， ∴∠GOA＝∠EOH， ∴△GOA≌△HOE， ∴S△GOA＝S△HOE， ∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF， ∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF， ∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF ， 答案为：． 3.（2025.河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为． （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°， ∵AE＝3， ∴DE＝2， ∵DE＝DF， ∴DE＝DF＝2． ∵OE＝OF＝2， ∴DE＝DF＝OE＝OF＝2， ∴四边形OEDF为正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMFEOF＝45°； （2）连接EF，交BD于点H，如图， ∵四边形OEMF为菱形， ∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD， ∵OM＝OE＝OF＝2， ∴△OEM，△OFM为等边三角形， ∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°， ∴EH＝2． ∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝45°， ∴△EDH为等腰直角三角形， ∴DH＝EH， ∴DEDH； （3）当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长； 当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长． 综上，当∠EOF＝150°时，的长为或． 1.在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长公式：. 2.在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积公式：；另一种表示方法：. 3.弓形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $