三角函数的图像与性质（5大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

三角函数的图像与性质 题型一：正、余弦函数图象的应用 【解题方法总结】 正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解. 例1．函数与函数的图像的交点个数是（  ） A．3 B．6 C．7 D．9 例2．与图中曲线对应的函数可能是（  ） A． B． C． D． 例3．函数在区间上的简图是（  ） A． B． C． D． 题型二：定义域、值域与最值问题 【解题方法总结】 求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有： (1)借助正弦函数的有界性、单调性求解； (2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性. 例4．函数，的最大值和最小值分别为（  ） A．1，-1 B．， C．1， D．1， 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例6．奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：单调性问题 【解题方法总结】 单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可. 例7．函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C． ， D． ， 例8．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例9．（多选题）已知函数，，，在上单调，则的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 题型四：奇偶性与对称性问题 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 例10．设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 例11．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（  ） A．最小正周期为 B．图象关于点对称 C．图象关于直线对称 D．在区间的值域为 例12．（多选题）已知函数同时满足下列三个条件： ①该函数的最大值为； ②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为； ③该函数图象关于对称. 那么下列说法正确的是（    ） A．的值可唯一确定 B．函数是奇函数 C．当时，函数取得最小值 D．函数在区间上单调递增 题型五：三角函数的周期性 【解题方法总结】 证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法： (1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期. (2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解. (3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可. 例13．函数的最小正周期为 . 例14．已知函数的最小正周期为，则（  ） A． B． C． D． 例15．给出下列函数： ①；②；③；④． 其中最小正周期为的有（  ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图像与性质 题型一：正、余弦函数图象的应用 【解题方法总结】 正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解. 例1．函数与函数的图像的交点个数是（  ） A．3 B．6 C．7 D．9 【解题思路】作出函数和的图象，由图象可得交点个数， 【解答过程】的最小正周期是，， 时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点， 故选：C． 例2．与图中曲线对应的函数可能是（  ） A． B． C． D． 【解题思路】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，当时，，C选项不满足条件； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，D选项满足条件. 故选：D. 例3．函数在区间上的简图是（  ） A． B． C． D． 【解题思路】代入特殊值排除不合题意的选项，即得解. 【解答过程】将代入到函数解析式中求出函数值为，可排除C，D; 将代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B. 故选：A. 题型二：定义域、值域与最值问题 【解题方法总结】 求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有： (1)借助正弦函数的有界性、单调性求解； (2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性. 例4．函数，的最大值和最小值分别为（  ） A．1，-1 B．， C．1， D．1， 【解题思路】利用正弦型函数的性质求区间最值即可. 【解答过程】由题设，，故， 所以最大值和最小值分别为1，. 故选：D. 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果. 【解答过程】因为，所以. 故的定义域为. 故选：A. 例6．奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为奇函数且得，由已知有，根据正弦型函数的性质及最值分布列不等式组，求参数范围. 【解答过程】由为奇函数，则，，又，故， 所以，在，则，， 当，则，故无解； 当，则，可得； 当，则，无解. 综上，的取值范围是. 故选：B. 题型三：单调性问题 【解题方法总结】 单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可. 例7．函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【解题思路】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案. 【解答过程】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间， 令 ，，解得 ，， 所以函数的单调递增区间为，， 故选：A. 例8．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解. 【解答过程】由已知，函数在上单调递增， 所以，解得：， 由于，所以，解得：① 又因为函数在上恒成立， 所以，解得：， 由于，所以，解得：② 又因为，当时，由①②可知：，解得； 当时，由①②可知：，解得. 所以的取值范围为. 故选：B. 例9．（多选题）已知函数，，，在上单调，则的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【解题思路】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案. 【解答过程】函数，, 则①, 又 ，则是函数的一个对称中心， 故②, 两式相减得： ， 在上单调递增， 则 ,则 ， 故的取值在1,3,5,7,9,11之中； 当时， ，，故 ， 此时在单调递增，符合题意； 当时， ，，不符合题意； 当时， ，，故 ， 此时，因为，则 ， 在单调递减，符合题意； 当时， ，，故 ， 此时，， 故在上不单调，不符合题意； 故选：AC. 题型四：奇偶性与对称性问题 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 例10．设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【解题思路】利用为对称中心，列出方程，求出，，求出的最小值. 【解答过程】由题意得：，， 解得：，， 所以，， 当时，取得最小值为. 故选：D. 例11．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（  ） A．最小正周期为 B．图象关于点对称 C．图象关于直线对称 D．在区间的值域为 【解题思路】根据正弦函数的性质，分别求出函数的周期，对称轴，对称中心和在上的值域即可求解. 【解答过程】因为，所以最小正周期为，故A选项错误； 令，解得：，令， 所以图象不关于点对称，故选项B错误； 令，解得：，所以图象关于直线对称，故选项C正确； 当时，，所以，故选项D正确， 故选：CD. 例12．（多选题）已知函数同时满足下列三个条件： ①该函数的最大值为； ②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为； ③该函数图象关于对称. 那么下列说法正确的是（    ） A．的值可唯一确定 B．函数是奇函数 C．当时，函数取得最小值 D．函数在区间上单调递增 【解题思路】根据题目条件求出函数解析式，进一步根据函数的性质，求出各选项. 【解答过程】由题可知：，,即， ∴， 又∵该函数图象关于对称， ∴，即， 又∵， ∴当时，， ∴， A选项：此时的值可唯一确定，A正确； B选项：， 当时，， ∴此时函数不是奇函数，故B错误； C选项：， 此时函数取得最小值，故C正确； D选项：已知， ∴， ∴在函数在区间上单调递减，故D错误. 故选：AC. 题型五：三角函数的周期性 【解题方法总结】 证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法： (1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期. (2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解. (3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可. 例13．函数的最小正周期为 . 【解题思路】根据函数的周期等于，得出结论. 【解答过程】函数的最小正周期为， 故答案为：. 例14．已知函数的最小正周期为，则（  ） A． B． C． D． 【解题思路】由周期性得，再由对称性与单调性判断， 【解答过程】因为的最小正周期为，所以， 令得， 即在上单调递增，同理得在上单调递减， 而，，， 由三角函数性质得 故选：D. 例15．给出下列函数： ①；②；③；④． 其中最小正周期为的有（  ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【解题思路】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可. 【解答过程】对于①，，其最小正周期为; 对于②，结合图象，知的最小正周期为． 对于③，的最小正周期． 对于④，的最小正周期． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $