专题02 空间中的角和距离的计算（期中真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期

专题02 空间中的角和距离的计算 4大高频考点概览 考点01 用空间向量证明位置关系 考点02 异面直线成角问题 考点03 线面成角问题 考点04 面面角和二面角 考点05 空间中的距离问题 地 城 考点01 用空间向量证明位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)如图，在正方体中，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】B 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合，利用两点间距离公式，求出的长即可． 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则,2,，,,，,2,， 因为是的中点，所以，，， 所以,,， 而,0, ，所以，即， 所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为． 故选：B． 2．((24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校·期中)已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题 【分析】利用线面垂直的性质及其法向量与方向向量的关系，即可判断得出结论. 【详解】根据题意可知，如下图所示： 若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立； 若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立； 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．((24-25高二上·江西大联考·期中)已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【来源】江西省大联考2023-2024学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题 【分析】对于A，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B，运用面面平行的传递性易得； 对于C，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D，借助于两平面的法向量的垂直关系可得. 【详解】 对于A，如图，在长方体中，设平面为平面，平面为平面， 平面为平面，显然满足，但是平面与平面不平行,故A错误； 对于B，根据面面平行的传递性，若，则成立，故B正确； 对于C，若，则，又，所以，故C正确； 对于D，设直线的方向向量分别为，若， 则平面的一个法向量分别为，且，所以，故D正确. 故选A. 4．((24-25高二上·辽宁鞍山第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积不是定值 B．直线到平面的距离是 C．存在点，使得 D．面积的最小值是 【答案】C 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A，分别是棱的中点，则， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，所以平面， 因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变， 即三棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，因为，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，则，B错误；    对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,    设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决. 三、填空题 5．(24-25高二上·辽宁抚顺六校·期中)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】 【来源】辽宁省抚顺市六校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为. 【详解】因为，所以， 故，解得． 故答案为：.    三、解答题 6．(24-25高二上·辽宁部分名校·)空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②答案见解析 【来源】辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期联合质量检测数学试题 【分析】（1）利用空间向量叉乘的坐标表示直接计算即可得证； （2）①利用空间向量数量积的坐标表示证得，，从而得证；②利用空间向量夹角与模的坐标表示证得，结合①中结论即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以. （2）①设，， 则， 所以， ， 所以，， 所以是平面的一个法向量； ②设，， 则， 所以 ， 而 ， ， 所以， 又， 所以 ， 所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 地 城 考点02 异面直线成角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第八中学·期中)如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，然后根据线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，且为中点，， 则. 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 2．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角的坐标表示求出线线角. 【详解】向量与， 得， 而，则， 所以直线，所成角的大小. 故选：B 二、多选题 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是（   ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得异面直线与所成的角的余弦值为 C．当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角不变 D．三棱锥体积的最大值是 【答案】ABD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B，利用向量的坐标运算表示线面角的可判断C，连接，结合锥体体积公式，利用等体积法判断D. 【详解】以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，； 对于A，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，A正确； 对于B，假设存在点， 使得异面直线与所成的角余弦值为， 因为，， 所以， 易得时符合题意；所以存在点，B正确； 对于C，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 显然点自向处运动时，的值由到变化，线面夹角的正弦值变化， 所以线面夹角不是定值，故C错误； 对于D，连接，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，D正确； 故选：ABD 地 城 考点03 线面成角问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西多校联考·)若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西省多校联考2024-2025学年高二下学期第一次学情联合检测数学试题 【分析】应用向量法求线面角的正弦值，进而求余弦值. 【详解】设直线l与平面所成的角为，则， 所以． 故选：A． 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)如图所示，在长方体中，分别在棱和上，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线和平面所成角的正弦值为 D．若为线段的中点，则直线 平面 【答案】ABD 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】对于A，通过直线不平行于平面，即可判断，对于BC，通过建系，借助向量计算即可，对于D, 连接，交于点，通过 即可判断. 【详解】因为又所以 又，所以又， 所以综上可知：分别为所在棱的三等分点，由于直线不平行于平面， 所以两点到平面的距离不相等，所以两个三棱锥的体积不相等，故A正确； 对于B，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，所以， 则直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，则， 设平面的一个法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线和平面所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，连接，交于点，连接，则 ， 又平面平面，从而 平面，故D正确. 故选：ABD 三、解答题 3．(23-24高二上·贵州印江土家族苗族自治县智成中学·月考)如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】贵州省印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】（1）根据线线垂直可证线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，可利用坐标法求得线面夹角. 【详解】（1），， 即， 又平面，且平面， ， 又，平面，， 平面； （2） 如图所示，以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 5．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)3 (2) 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）如图，由题意，根据线面垂直的判定定理可得，平面，又线面垂直的性质可得，进而，利用面面垂直的判定定理与性质可得平面，求出即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求解线面角，建立关于t的方程，解之即可求解. 【详解】（1）连接，如图， 因为是边长为2的正三角形，所以， 而平面，则平面， 又平面，有， 故是二面角的平面角，得， 因平面，于是得平面平面，过作的延长线于， 平面平面，平面，故平面， 而，则， 所以点到平面的距离是3． （2）以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为，则 ，令， 设与面的所成角为，则， 解得，则，线段的长度为． 6．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是菱形，，为上一点，且平面.    (1)求证：为中点： (2)求直线与平面成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）连接交于点，连接，可知为的中点，利用线面平行的性质可证得，结合中位线的性质即可得证； （2）取的中点，连接、，推导出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为菱形，，则为的中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，，故为的中点. （2）取的中点，连接、， 因为是等边三角形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形，所以，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则、、、、 、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点04 面面角和二面角 1、 解答题 1．(24-25高二下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)如图所示，平面，四边形为矩形， . (1)求证： 平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过证明面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用法向量求空间中两个面的夹角的余弦值，进而得到正弦值. 【详解】（1）证明：四边形为矩形， . 又平面平面 平面. 又 ，平面，平面， ∴ 平面. 又平面 平面 平面. 又平面 平面. （2） 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， . 设是平面的一个法向量，则 即,令，解得, 所以平面的一个法向量 又是平面的一个法向量， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 2．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)如图所示，直三棱柱中，，点在线段上， ．    (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由平面得，又，可得平面， 从而，又，可证得平面，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）连接， ∵平面，平面，∴， ∵平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为正方形，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则, ∴，，， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则为平面的一个法向量， 则， 设二面角的平面角为，则， 因为，所以， 所以二面角的正弦值为． 3．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)如图，在三棱柱中，点是棱AC的中点.侧面底面ABC，底面ABC是等边三角形，. (1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】（1）由侧面底面ABC结合面面垂直性质可证结论； （2）.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面与平面法向量，后由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）连结OB. 在中，，所以，且. 又因为，所以平面. 从而． 又因为平面平面ABC，AC是平面与平面ABC的交线， 所以平面ABC （2）在中，，所以. 设.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示． 有，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为. 由题意得：. 则取平面的法向量为，平面的法向量为. 则. 故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是 4．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【来源】辽宁省大连市王府高级中学2024-2025学年高二上学期第二学段考试数学试题 【分析】（1）设AC与BD交于点F，证明平面ABD，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用向量法求出直线DM与平面ABE所成角的正弦值的表达式，结合基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）如图所示，设AC与BD交于点F，连接EF，    由于底面底面，故， 又，即，平面， 故平面，又平面，故，， 为底面圆的内接正三角形，且边长为， 则，； 又，即, 而∽，则，即， 结合，平面ABD，， ∴平面ABD，又平面， ∴平面平面. （2）以点F为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，    结合（1）可知， 则， 则， 设平面ABE的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取为， 则，由原图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为； （3）由（2）可得, 设，则， 设直线DM与平面ABE所成角为， 则， 则， 令，则 ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，取最大值4，则取最大值1， 故直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值为1. 5．(24-25高二上·辽宁七校·期中)在四棱锥中，，，平面平面，，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省七校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直及线线垂直，再根据线线垂直可证线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法分别求得平面与的法向量，进而可求二面角余弦值. 【详解】（1）过作于， 因为，所以与相交， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，     平面， ， ，与相交，，平面， 平面； （2） 取的中点，连接，， ，， ， ， 为等边三角形，，， ， ， ， 平面，平面， ， 即，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 6．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为. (1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 【答案】(1) (2)在线段上存在点，点满足，使得. 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．设，利用侧棱与底面所成的角为，结合线面角的向量求法，求出参数，再利用面面角的向量求法即可求解. （2）设，验证是否存在使得. 【详解】（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，. 设，其中，则，向量是平面的法向量. 由题意得，，解得. 设平面的法向量为. 因为，， 所以，即，令，则， 则. 则， 故侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值为. （2）由（1）知， ， 设，则. 因为， 若，则. 即，解得， 故在线段上存在点，点满足，使得 7．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面 为的中点. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）取的中点，由面面垂直的性质得到平面，进而得到平面.即可求证； （2）建系，由面面夹角的向量法求解即可. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）解：因为，又为中点，所以 ，所以四边形是平行四边形，所以 ， 又平面，所以平面， 所以两两垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 8．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，，为棱的中点，为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求余弦值，根据同角关系求结论； 【详解】（1）证明：由已知，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 连接，因为，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，，平面， 所以平面平面． （2）由已知平面，，平面， 所以，，又， 所以直线，，两两垂直， 以点为原点，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，,2,，，,2,，， 所以，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即，取，可得，，所以， 又为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 所以， 由于，所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为 9．(24-25高二上·辽宁葫芦岛长江卫生中等职业技术学校·期中)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.    (1)证明：； (2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，最小值为 【来源】辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题 【分析】（1）利用线面垂直的性质可知，结合可证得平面，进而分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可证得. （2）[方法一]求出平面和平面的法向量，然后利用向量的夹角公式及二次函数的性质求解即可；[方法二]：分别求出的面积，记面与面DFE所成的二面角的大小为，代入及二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，∴底面ABC， 因为底面ABC，∴， ∵，，∴，又， 平面.∴平面. 所以BA，BC，两两垂直. 以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ∴，，，，，，，. 由题设. 因为，， 所以，所以.    （2）[方法一] 设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即.令，则， 因为平面的法向量为，设平面与平面DEF的二面角的大小为， 则. 当时，取最小值为，此时取最大值为. 所以，此时. [方法二]：如图，为中点，连接， 则，平面，， 在平面的投影为，记面与面DFE所成的二面角的大小为， 则，设，在中，. 在中，， 过D作的平行线交EN于点Q，又，则四边形为平行四边形， 在中，. 在中，由余弦定理得， ，， ，， ，， 当，即，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为.    地 城 考点05 空间中的距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁抚顺六校协作体·期中)如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【详解】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁部分名校·)在空间直角坐标系中，，，，，则（    ） A．点在平面内 B．四面体为正四面体 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【来源】辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期联合质量检测数学试题 【分析】利用空间向量的坐标表示得到，从而判断A；利用空间两点距离公式判断B；利用正四面体的结构特征与中点的性质判断C，利用空间向量法求点面距离判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，，， 所以，则， 所以为线段的中点，所以点在平面内，故A正确， 对于B，因为，，，， 所以由空间两点距离公式得， 所以四面体为正四面体，故B正确， 对于C，因为四面体为正四面体，所以是正三角形， 则点到直线的距离为，且为线段的中点， 所以点到直线的距离为，故C错误， 对于D，由题知，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 5．(24-25高二上·辽宁部分名校·)在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】/ 【来源】辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期联合质量检测数学试题 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 四、解答题 6．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，O是AD中点，平面ABCD，E为线段AB上的动点（含端点），若.    (1)求平面PAD与平面PEC的夹角的余弦值的取值范围； (2)设四棱锥的外接球球心为M，当E为线段AB中点时，求M到平面PEC的距离. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设点E的坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得平面PAD与平面PEC的夹角的取值范围. （2）先确定球心坐标，然后利用公式求出球心到截面的距离即可 【详解】（1）因为平面ABCD，底面ABCD为正方形， 所以以O为原点，以过O且与直线CD平行的直线为y轴，建立如图空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的法向量为，则， ， 令，则， 取平面的法向量， 又平面PAD与平面PEC的夹角为， 所以， 因为 ， 所以在单调递减，在单调递增， ，所以， 即，    （2）设，则，即， 解得，则，， 此时平面的法向量， M到平面PEC的距离为 7．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）. (1)求证：； (2)是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见见解析； (2)点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点； (3) 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，再利用线面垂直的判定与性质即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，设，再求出相关法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到方程，解出值即可； （3）在（2）的基础上，根据点到直线的空间向量求法即可得到答案. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）过点作，则平面， 以点为原点，的正方向分别为，，轴的正方向建立平面直角坐标系， 由，得， 设 ， 则，解得， 设平面的法向量为，且， 由，取， 设平面的法向量为，且， 由取， 设二面角的平面角为，则， ，解得或. 则点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点. （3）因为二面角的平面角为锐角，结合图形特征，取离较远的一点，即， 此时，连接， 所以， 设点到直线的距离为，则. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过建立合适的空间直角坐标系，并利用面面角的空间向量求法，从而得到方程，解出即可. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间中的角和距离的计算 4大高频考点概览 考点01 用空间向量证明位置关系 考点02 异面直线成角问题 考点03 线面成角问题 考点04 面面角和二面角 考点05 空间中的距离问题 地 城 考点01 用空间向量证明位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)如图，在正方体中，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 2．((24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校·期中)已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．((24-25高二上·江西大联考·期中)已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．((24-25高二上·辽宁鞍山第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积不是定值 B．直线到平面的距离是 C．存在点，使得 D．面积的最小值是 三、填空题 5．(24-25高二上·辽宁抚顺六校·期中)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 三、解答题 6．(24-25高二上·辽宁部分名校·)空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 地 城 考点02 异面直线成角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第八中学·期中)如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是（   ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得异面直线与所成的角的余弦值为 C．当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角不变 D．三棱锥体积的最大值是 地 城 考点03 线面成角问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西多校联考·)若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)如图所示，在长方体中，分别在棱和上，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线和平面所成角的正弦值为 D．若为线段的中点，则直线 平面 三、解答题 3．(23-24高二上·贵州印江土家族苗族自治县智成中学·月考)如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 6．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是菱形，，为上一点，且平面.    (1)求证：为中点： (2)求直线与平面成角的正弦值. 地 城 考点04 面面角和二面角 1、 解答题 1．(24-25高二下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)如图所示，平面，四边形为矩形， . (1)求证： 平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 2．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)如图所示，直三棱柱中，，点在线段上， ．    (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 3．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)如图，在三棱柱中，点是棱AC的中点.侧面底面ABC，底面ABC是等边三角形，. (1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值. 4．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 5．(24-25高二上·辽宁七校·期中)在四棱锥中，，，平面平面，，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 6．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为. (1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 7．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面 为的中点. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 8．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，，为棱的中点，为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 9．(24-25高二上·辽宁葫芦岛长江卫生中等职业技术学校·期中)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.    (1)证明：； (2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值. 地 城 考点05 空间中的距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁抚顺六校协作体·期中)如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁部分名校·)在空间直角坐标系中，，，，，则（    ） A．点在平面内 B．四面体为正四面体 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 三、填空题 5．(24-25高二上·辽宁部分名校·)在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 四、解答题 6．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，O是AD中点，平面ABCD，E为线段AB上的动点（含端点），若.    (1)求平面PAD与平面PEC的夹角的余弦值的取值范围； (2)设四棱锥的外接球球心为M，当E为线段AB中点时，求M到平面PEC的距离. 7．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）. (1)求证：； (2)是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $