第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：反比例函数+一元二次方程全部内容）-2025-2026学年湘教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：反比例函数+一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平方根解方程，因为在中，左边是一个平方数，总是大于等于，即大于等于解答即可． 【详解】解：由可得， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式是解题的关键． 根据方程的根的判别式列不等式求解答即可． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴没有实数根． 故选：B． 3．（2025九年级上·湖南娄底·专题练习）若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ， 解得， 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数的图像在一、三象限，在各象限随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 6．（2025九年级上·湖南娄底·专题练习）函数与在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质．本题要分当时和当时两种情况讨论． 【详解】解：当时，一次函数可整理为， 一次函数的图象应过一、三、四象限， 反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，一次函数可整理为， ， ， 一次函数的图象应过一、二、四象限， 反比例函数的图象在第二、四象限； 综上所述，只有A选项中一次函数的图象与反比例函数的图象一致， 故选：A． 7．（25-26九年级上·湖南常德·开学考试）某市2023年底森林覆盖率为，2025年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年平均增长率为x，根据2025年底森林覆盖率2023年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 即， 故选：D． 8．（25-26九年级上·湖南株洲·开学考试）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．先根据反比例函数的几何意义求出的值，得到反比例函数解析式，再将点坐标代入解析式求出． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，轴，， ∴． 又∵反比例函数图象在第一象限，， ∴，解得． ∴反比例函数解析式为． ∵点在上， ∴， 解得． 故选：B． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 10．（25-26九年级上·湖南湘潭·开学考试）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 ， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南常德·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程转化为或，即可求解． 【详解】解：， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 12．（2025·湖南岳阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，根据求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】反比例函数的图像在第二、四象限，得到，解答即可． 本题考查了图像分布与比例系数k的关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人的特性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，设平均每轮传染人，依题意可列方程 ． 【答案】； 【分析】本题主要考查了一元二次方程的传播问题的应用，根据题意列出方程即可解决问题； 【详解】解：由题意可得：； 故答案为： 15．（25-26九年级上·湖南娄底·开学考试）如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用图象法解不等式是解题的关键．观察图象，找出反比例函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时，对应的取值范围即可． 【详解】解：由图象得，当或时，， ∴当时，则的取值范围是或； 故答案为：或． 16．（2025九年级上·湖南怀化·模拟预测）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则= ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键． 根据，设点的坐标为，可求出，然后可得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为    ∵，   ∴ 点、、、 ∵ 点在曲线上，   ∴、、、、 又 ∵、、、、均为直角三角形，   ∴ 每个三角形的面积为： ∴ 故答案为： . 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）解下列关于的一元二次方程 (1)（配方法） (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴ ∴． 18．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程可得： ， 解得：； （2）解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 19．（2025九年级上·湖南怀化·专题练习）已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)y (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的一般表达式． （1）用待定系数法求得反比例函数解析式， （2）代入x求得y的值， （3）代入y求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴； （2）当时，； （3）当时，． 20．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 21．（2025·湖南益阳·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 22．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． (1) 设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，由点O 是平行四边形的中心， 得，证明，得进而可求k． (2) 根据点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，分别求得点A 、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，， 轴， 轴， ∴由平移知轴， 则 ．                                由平移可知四边形是平行四边形， ∵点O 是平行四边形的中心，      ∵点O 是平行四边形的中心， ，， ， ， ， ．     ∵函数 的图象在第四象限， ， ． （2）解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心， ∴点A 的纵坐标为， ∴ 点 B 的纵坐标为1．     将代入 得， ． 将代入 得， ． 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． 23．（25-26九年级上·湖南湘潭·开学考试）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过分析动点的运动规律和所求三角形的关系列方程求解是解题的关键． 设秒后，的面积为面积的一半，根据题意表示出和，再分别表示出和的面积，根据它们之间的等量关系列方程求解即可． 【详解】设秒后，的面积为面积的一半， 由题意可得：，，，， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 经过1秒后，的面积为面积的一半． 24．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键掌握待定系数法和一次函数及反比例函数的性质． （1）把代入中，得m的值，把B代入中，得n的值，把A、B都代入中，得k、b的值，即可求一次函数的表达式； （2）由图象分析，相同x值，一次函数图象比反比例函数图象高的部分，对应x即可． 【详解】（1）解：把代入中， 得，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中， 得， ∴， 把、代入中， 得， 解得，即一次函数的解析式为； （2）解：由图象分析： 一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：反比例函数+一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 3．（2025九年级上·湖南娄底·专题练习）若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 6．（2025九年级上·湖南娄底·专题练习）函数与在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·湖南常德·开学考试）某市2023年底森林覆盖率为，2025年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖南株洲·开学考试）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 10．（25-26九年级上·湖南湘潭·开学考试）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南常德·模拟预测）方程的解为 ． 12．（2025·湖南岳阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人的特性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，设平均每轮传染人，依题意可列方程 ． 15．（25-26九年级上·湖南娄底·开学考试）如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是 ． 16．（2025九年级上·湖南怀化·模拟预测）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则= ． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）解下列关于的一元二次方程 (1)（配方法） (2) 18．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 19．（2025九年级上·湖南怀化·专题练习）已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 20．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 21．（2025·湖南益阳·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 22．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 23．（25-26九年级上·湖南湘潭·开学考试）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 24．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $