上海市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上海市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 2025.6 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，则___________. 2. 函数的最小正周期为______． 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 4. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是___________ 5. 已知，，用表示为__． 6. 已知，则的值为_____________. 7. 已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 8. 已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 9. 已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则___________. 10. 已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 11. 已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 12. 对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）． A. B. C. D. 14. 要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 15. 设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 18. 记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 20. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 21. 设，函数的定义域为.若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”. （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件 上海市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 2025.6 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】1 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】3 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】1012 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 【17题答案】 【答案】（1）2 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， 【20题答案】 【答案】（1）①成立②不成立； （2）； （3） 【21题答案】 【答案】（1）①是，②不是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $