精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高二上学期第三次定时练习（单元检测）数学试题

重庆外国语学校2025—2026学年度（上） 高2027届第3次定时练习（单元检测） 数学试题卷 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 2. 已知复数，若在复平面内对应的向量分别为（为直角坐标系的坐标原点），且，则=（ ） A. 1 B. -3 C. 1或-3 D. -1或3 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得，再由复数模的计算公式求解． 【详解】， ，则， 解得或． 故选：C 3. 若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 4. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 5. 已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 6. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交于点，连接，则异面直线与所成角为或其补角，然后在中求解. 【详解】如下图所示，在平面中，过点作交于点，连接， 则异面直线与所成角为或其补角， 设，则，， 因为，，所以，四边形为平行四边形， 所以，，，， 由于，由勾股定理可得， 所以，，则. 故选：D. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 7. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解 【详解】设正方体内切球的球心为，则, , 因为MN是正方体内切球的一条直径， 所以，， 所以， 又点Р在正方体表面上运动， 所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为； 所以， 所以的取值范围为， 故选：B 8. 如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设二面角的大小为，对两边平方化简可得答案. 【详解】由题意可得，，设二面角的大小为， 因为，所以， 所以，因为，所以. 故选：B. 二、多选题（3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量判定空间位置关系一一判定选项即可. 【详解】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件， 故A、B正确； 若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件， 故C正确，D错误. 故选：ABC 10. 设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是　　 A. B. C. 一定不与垂直 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数量积的性质判断，根据三角形的性质判断，根据向量的垂直判断，根据向量的运算满足平方差公式判断． 【详解】是表示与向量共线的向量，而是表示与向量共线的向量，错误， ，是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得，正确， 可能成立，错误， 向量的运算满足平方差公式，，正确， 故选：． 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：每小题5分，共15分 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据夹角公式算出，进而求出正弦值. 【详解】根据夹角公式，， 注意到，则， 于是. 故答案为： 13. 已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 14. 如图，水平广场上有一盏路灯挂在长的电线杆上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处.若女孩向点前行到达点.然后从点出发，沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据女孩在移动的过程中比例关系不变，得到女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形，再根据原正方形的对角线为4，利用比例关系求得轨迹的对角线长即可. 【详解】如图所示： 设女孩在点BD处头顶EF的投影点分别为MN， 则EF=BD=4，BE=DF=1.5， 则， 所以, 因为女孩在移动的过程中比例关系不变， 所以当女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为对角线长为的正方形， 所以其面积为： 故答案为： 四、解答题解答题（20题13分，20、21题每题15分，22题每题16分） 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴，. 又()∥()， ∴，解得，. 【小问2详解】 由，得， ∴，∴，即，∴，解得. 16. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 【答案】（1） 在正四棱柱中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则，， 又为与的交点，为与的交点，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为，而， 则，令，得，又， 由点到平面的距离为，得，解得， 所以正四棱柱的高为. 17. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）求证：直线平面； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积可证，，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直. （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【小问1详解】 由题意，. 又，，. 所以， . 所以，，又平面，， 所以直线平面. 【小问2详解】 因为， 且，所以； ，所以； 且， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， ∵为的中点，∴且， 又，，则且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）取的中点为，以为原点建系，求出平面的法向量，再根据向量夹角与线面角的关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，因，则， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又面，则， 又，，，则，故，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校2025—2026学年度（上） 高2027届第3次定时练习（单元检测） 数学试题卷 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，若在复平面内对应的向量分别为（为直角坐标系的坐标原点），且，则=（ ） A. 1 B. -3 C. 1或-3 D. -1或3 3. 若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是　　 A. B. C. 一定不与垂直 D. 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：每小题5分，共15分 12. 若，则__________. 13. 已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 14. 如图，水平广场上有一盏路灯挂在长的电线杆上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处.若女孩向点前行到达点.然后从点出发，沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为______. 四、解答题解答题（20题13分，20、21题每题15分，22题每题16分） 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 16. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 17. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）求证：直线平面； （2）求直线和夹角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $