河北省秦皇岛市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

河北省秦皇岛市第一中学2024-2025学年高二年级下学期期末考试 数学答案 注意事项: 1.本试题共两部分，满分100分，时间75分钟。 2.阅卷老师应严格按照此答案进行阅卷，必要时可增加答案要点，但应该提前与阅卷组组长沟通并通知阅卷组。 3.请各位考生按照答案中评分标准认真核对。 4.阅卷结束后，阅卷老师请与阅卷公司核对阅卷结果是否已经上传，无误之后即可结束阅卷。 1—5 CBDAA 6—8 CAD 9. ACD 10. AC 11. AC 12. 13.-2 14. 15. 【解题思路】 (1) 第一步：计算相关数据，补全列联表 8月份的订单中，好评订单有（个），非好评订单有（个）。 9月份的订单中，非好评订单有（个）。 （3分） 故补全的列联表如下表所示： 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1400 100 1500 合计 2250 250 2500 （4分） 第二步：写出零假设，计算的值并与临界值比较 零假设：该饭店9月份订单的好评与服务改进无关。 ， （6分） 第三步：得结论 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即该饭店9月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.01。 （7分） (2) 第一步：利用分层随机抽样的有关知识确定抽取的20个订单中好评、非好评的数量 利用分层随机抽样的方法抽取20个订单，则好评订单应抽取（个）， （9分） 非好评订单应抽取（个）。 （10分） 第二步：利用古典概型的概率计算公式求解 设“从这20个订单中随机抽取3个订单进行电话访谈，其中恰好有2个订单为好评订单”为事件，则。 （13分） 16. 【解题思路】 (1) 第一步：利用两角差的余弦公式化简已知等式 由可得，（易错：利用两角差的余弦公式展开时符号出错） 即， （2分） 第二步：利用正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式等求 由正弦定理可得，（4分） 又， ， 又，，（点拨：两边同时消去时要说明） （5分） 第三步：根据三角形内角的范围求角 又，。 （6分） (2) 解法一 第一步：利用余弦定理及，之间的关系将用表示出来 在与中，分别利用余弦定理可得， ， （7分） ， （8分） 易知，（点拨：，故，即） 故， 。 （9分） 第二步：利用正弦定理将化边为角 由正弦定理可得， 故，， （11分） 。（技巧：利用正弦定理化边为角） （13分） 第三步：结合角的范围及三角函数的图象与性质求的取值范围 由可得， ，故， 的取值范围为， 故的取值范围为。（技巧：积累一些常见的数的平方，如） （15分） 解法二 第一步：利用向量知识及余弦定理得到的表达式 由题意得， 则。 在中，由余弦定理得， 则， 则。 （9分） 第二步：利用基本不等式求出的范围，即可得解 由，得， （12分） ，， 故的取值范围为。 （15分） 17. 【解题思路】 (1) 第一步：证明线线垂直 由题意可得平面，平面， 。 （2分） ，。 （3分） 第二步：证明线面垂直 ，且平面，（利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时要说明两条直线是平面内的两条相交直线） 平面。 （5分） 第三步：证明线线垂直 又平面， 。（方法：证明线线垂直时，往往要先证明线面垂直，然后利用线面垂直证明线线垂直） （6分） (2) 第一步：建立空间直角坐标系，设，求相关点、相关向量的坐标 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。 设， 则，，，， 故，，。 （8分） 第二步：分别求平面、平面的法向量 设平面的法向量为n1 ， 由可得， 令可得 。（点拨：赋值时应尽量使所求向量简单） （9分） 设平面的法向量为， 由可得， 令可得。 （10分） 第三步：根据二面角的余弦值求的值 由二面角的余弦值为，可得 ，（点拨：两法向量的夹角与二面角可能相等，也可能互补） 解得。 （12分） 第四步：求直线与平面所成角的余弦值 则， 易知平面的一个法向量为。 设直线与平面所成的角为， 则， （14分） ， 故直线与平面所成角的余弦值为。（另解：连接，平面，即直线与平面所成的角，，，，即直线与平面所成角的余弦值为） （15分） 18. 【解题思路】 (1) 第一步：利用双曲线的定义及的周长求 由题意可得直线恒过双曲线的左焦点，（关键：认真观察，发现直线恒过双曲线的左焦点） 由双曲线的定义可得， 两式相加，得， 则的周长为， 故。 （2分） 第二步：联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系及参数的限制条件 由可得， 设，， 则，即， ，， 易知，故。（点拨：均在双曲线的左支上，故，） （4分） 第三步：利用弦长公式求，即可得到的值 ， 解得。 （6分） (2) 第一步：根据建立点的坐标之间的关系 设， 由，可得， ， 。（点拨：求出，为下面利用点在双曲线上建立方程做准备） （8分） 第二步：根据点在双曲线上，得到 点在双曲线上，， 即， 即。 （10分） 第三步：根据为定值建立方程求得的值 要使为定值，只需， 即，解得。 （11分） 第四步：检验求出的是否满足题意，即可得到结论 但不满足， 故不存在满足条件的。（易错：没有验证求出的的值是否满足） （12分） (3) 第一步：利用等差数列的通项求，进而求 由点在双曲线上可得， 为等差数列，首项为，公差为， 故，。（提示：为正项数列） 。 （14分） 第二步：当时将放缩、变形为两项之差的形式 当时， ，（关键：放缩并裂项） （15分） 第三步：利用裂项相消法求和，即可证明 。（点拨：此处，故需要检验是否满足） 又，。 （17分） 19. 【解题思路】 (1) 第一步：令，并求解 令，得，解得或或，（1分） 第二步：结合新定义求解 易知函数为上的增函数，（技巧：掌握基本初等函数的性质） 故在上的所有保值区间为，，。（易错：考虑问题不全面，保值区间没写全） （3分） (2) 第一步：利用导数研究函数在上的单调性和最小值 易知， 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 所以当时，。 （4分） 第二步：构造函数，利用导数研究函数在上的零点情况 令，则， 令，解得， （5分） 则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 又， 所以函数在上存在唯一的，使得，即。 （7分） 第三步：结合新定义进行证明 易知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 则当时，。 （8分） 故函数在上的值域为，即函数为上的保值函数，保值区间为， 故在上存在保值区间。（点拨：要证明在上存在保值区间，只需说明在上存在区间，使得在区间上的值域为即可） （10分） (3) 第一步：根据新定义得到，，从而得到关于的等式 易知函数在上单调递减， 所以，，即，， 从而 ①， ②。 （12分） 第二步：换元，将要证的不等式转化为单变量不等式 令，则，，代入①得，整理得， 所以，所以 ③。 由②③得，要证，即证， 即证。 （14分） 第三步：构造函数，利用函数与导数知识进行证明 令，所以， 令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， （16分） 所以，即， 因此，得证。 （17分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 山海关区第一中学 河北省秦皇岛市第一中学2024-2025学年高二年级下学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间150分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试上无效。 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数的共轭复数为，则 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.已知集合，，则 A. B. C. D. 3.已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的纵坐标为2，且，则点到直线的距离的最大值为 A. B. C. D. 5.已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为 A. B. C. D. 6.已知数列的前项和为，且，则 A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等差数列 D. 成等差数列 7.如图，椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 A. B. C. D. 8.已知函数，把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则取最大值时 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知，则下列结论正确的是 A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则 A. B. C. D. 11.某电视节目有奖闯关活动，共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为，则下列命题中正确的是 A. 甲在第一题使用场外求助的概率为 B. 甲答题两次并获得奖金的概率为 C. 甲未使用场外求助并获得奖金的概率为 D. 甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为______. 13.已知函数，则的所有零点之和为______. 14.如图，四棱台的上、下底面均是正方形，底面，点为的中点，在线段上，且，，，平面将该四棱台分为两个几何体，记这两个几何体的体积分别为，则______. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 据统计，某地一特色饭店2024年8月份共有1 000个网上点餐订单，好评率为0.85.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店9月份共有1 500个网上点餐订单，其中好评订单恰好有1 400个. (1)根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为该饭店9月份订单的好评与服务改进有关？ 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 2 500 (2)若从8月、9月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20个订单分析顾客的意见，再从这20个订单中随机抽取3个订单进行电话访谈，求其中恰好有2个订单为好评订单的概率. 参考公式:，. 参考数据: 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16.(15分) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，。 (1) 求B； (2) 若D为AC的中点，且b = 2，求BD的取值范围。 17.(15分) 如图，几何体OAD - O₁A₁D₁是圆柱OO₁的一部分，其中AA₁，DD₁均是圆柱OO₁的母线，，B，C，B₁分别是OA，OD，O₁A₁的中点，OA = 4。 (1) 求证：AB₁⊥OD； (2) 若二面角A - BD₁ - C的余弦值为，求直线BD₁与平面ABCD所成角的余弦值。 18.(17分) 已知双曲线的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线与C的左支交于P，Q两点，点M在C上，O为坐标原点，且（λ，μ为实数）。 (1) 若△PQF₂的周长为，求k的值。 (2) 是否存在k使得为定值？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 (3) 若正项数列满足，点在双曲线C上，，求证：。 19.(17分) 若函数f(x)是定义在D上的函数，且存在，，使得f(x)在[m, n]上的值域仍为[m, n]，则称f(x)为[m, n]上的保值函数，区间[m, n]叫做f(x)的保值区间。 (1) 求在R上的所有保值区间； (2) 证明：在(-∞, 3)上存在保值区间； (3) 若为[a, b]上的保值函数，证明：。 2 学科网（北京）股份有限公司 $