精品解析：黑龙江省哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期第一次（9月）月考数学试题

雅臣中学高二数学第一次月考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标平面的对称性求解． 【详解】点A关于平面的对称点的坐标是， 故选：B． 2. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得． 【详解】-＝， . 故选：A． 3. 已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再计算即可求解. 【详解】由题意可知，所以，即. 故选：A 4. 有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程的两点式使用条件可判断①②；③式是由直线两点式化简而得，通过验证斜率为0或不存在即可验证命题真伪. 【详解】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确. 故选：D. 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 6. 已知直线与直线平行，则等于（ ） A. 3或 —2 B. —2 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件求解，注意检验． 【详解】由题意，解得或， 时，两直线方程分别为，，平行， 时，两直线方程分别为，，两直线重合，舍去． 所以． 故选：C． 7. 已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，列出等量关系求解，即可得出结果. 【详解】因为向量，，与夹角的余弦值为， 所以， 整理得(其中)，解得（负值舍去）. 故选：A. 8. 如图，已知平面平面是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是（　　） A. B. C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】题设条件知两个直角三角形与是相似的直角三角形，根据题设条件可得出，作，垂足为，令，将三角形的面积用t表示出来，再研究面积的最值选出正确选项. 【详解】由题意平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点， ，且， 与是直角三角形， 又，， 又，， 作，垂足为M， 令， 在两个与中，是公共边及 ， 解得， 所以， 即， ， 当且仅当时等号成立，此时点在点的左侧，且的长度为2， 所以三角形面积的最大值为12， 故选：C 二、多选题（本题共3道小题，每小6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为120° D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】逐一分析各个选项的条件，再经推理计算作答. 【详解】对于A，直线，即，恒过点，A正确； 对于B，直线，即，在轴上的截距为，B不正确； 对于C，直线的斜率，其倾斜角为，C不正确； 对于D，直线的斜率为，则垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为：，即，D正确. 故选：AD 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 空间任意向量都是共面向量 B. 已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则 C. 在四面体中，若，，则 D. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可． 【详解】解：对于，空间任意向量都是共面向量，所以A正确 对于B，已知，，，四点共面，对空间任意一点，若 则，解得，所以B错误 对于C，在四面体中，若，， 则 ，所以C正确 对于D，因为向量是空间一组基底，则对于空间任一向量，都存在实数，，， 使得， 即，所以也是空间的一组基底，所以D正确． 故选：ACD． 11. 如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（ ） A. 对任意的点N，一定存在点M，使得 B. 向量，，共面 C. 异面直线PM和所成角的最小值为 D. 存在点M，使得直线PM与平面所成角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的方法可判断ACD的正误，利用中位线和长方体的性质可判断B的正误. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 故，设，，， 而，故即， 故， 若，则即， 当时，不存在，故当为中点，不存在，使得，故A错误. 连接，则，由长方体可得，故， 故，，即，，共面，故B正确. ，故 ， 当时，，此时； 当时，， 令，设，则， 故， 所以异面直线PM和所成角的范围为，故直线PM和所成角的最小值为， 故C正确. 平面的法向量为， 故， 若直线PM与平面所成角为，则， 故，所以或，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：空间位置关系中的最值问题，可通过建立空间直角坐标系，把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题. 第III卷（非选择题） 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】由已知可得， 过点，的直线的斜率， 解得， 故答案为： . 13. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用空间中点到线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可得l的一个单位方向向量为， , 故点P到直线l的距离. 故答案为：. 14. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量为.利用直线与平面所成角的正弦值为计算即可求出答案. 【详解】设与的交点为点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 ，，，. 故. ， 设平面的法向量为. ， 直线与平面的法向量的余弦值为： 则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5道小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【小问1详解】 直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问2详解】 直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问3详解】 直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； 【小问4详解】 直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或. 【解析】 【分析】 （1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出； （2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值； （3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值. 【详解】解：（1）点，，， ∴， 由，设，且， ∴，解得， ∴或； （2）， ， 若与互相垂直，则， ∴， 即， 化简得， 解得或； （3）向量， ， 由向量与平行，则 ， 解得或. 【点睛】本题考查空间向量平行和垂直的坐标表示，属于基础题. 17. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2． （1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小； （2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，在中，即可求解． （2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，利用空间距离公式求解即可． 解法二：过点作交于，证明平面，然后求解三角形即可． 【详解】解：（1）由于A1C1AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角， 连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形， 所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为． （2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）． 设平面A1B1C的法向量为，则． ∵，， 且， ∴，取v＝1， 得平面A1B1C的一个法向量为， 且， 又∵， 于是点M到平面A1B1C的距离 所以，点M到平面A1B1C的距离等于． 解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由⇒MN⊥平面A1B1C． 在RtCMN中，由，CM＝1，得， 所以，点M到平面A1B1C的距离等于． 18. 已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点. （1）求四棱的体积； （2）证明：∥平面； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）； （2）证明：连接交于，连接， 因为为菱形，所以， 又为的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，从而即可求解四棱的体积； （2）证明平面，利用线面平行的判定定理，可得，从而即可证明平面； （3）连接，分别以为轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值. 【详解】解：（1）取的中点，连接， 因为，为等边三角形，则，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 所以； （2）略 （3）连接，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设面的法向量，则，即， 令，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 则， 由图可知平面与平面所成二面角的余弦值为锐二面角， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且平面为棱的中点，为棱上的动点. （1）求证：平面平面. （2）是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 如图，连接，与相交于点，连接. ∵底面为菱形，∴为的中点， ∵为的中点，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）存在，点为棱上靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）连接，与相交于点，连接，根据可得平面，根据面面垂直的判定定理可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，表示平面与平面的法向量，根据两平面夹角的余弦值求出点的坐标即可确定点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形， ∴. ∵平面，且底面为菱形，∴两两垂直， 以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴. 设，则. 设平面的法间量为， 则令，可得. 由题意得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则，解得， ∴存在点为棱上靠近点的三等分点，使得平面与平面夹角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅臣中学高二数学第一次月考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 4. 有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线平行，则等于（ ） A. 3或 —2 B. —2 C. 3 D. 2 7. 已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知平面平面是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是（　　） A. B. C. 12 D. 24 二、多选题（本题共3道小题，每小6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为120° D. 过点且垂直于直线的直线方程为 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 空间任意向量都是共面向量 B. 已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则 C. 在四面体中，若，，则 D. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 11. 如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（ ） A. 对任意的点N，一定存在点M，使得 B. 向量，，共面 C. 异面直线PM和所成角的最小值为 D. 存在点M，使得直线PM与平面所成角为 第III卷（非选择题） 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为_________． 13. 已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________. 14. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______. 四、解答题（本题共5道小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 17. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2． （1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小； （2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离． 18. 已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点. （1）求四棱的体积； （2）证明：∥平面； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且平面为棱的中点，为棱上的动点. （1）求证：平面平面. （2）是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $