精品解析：广东省湛江市雷州市第二中学2025-2026学年高一上学期开学摸底考试数学试题

2025-2026学年度第一学期高一年级开学摸底考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形逐一判断即可. 【详解】对于A，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； 对于B，该图形不是中心对称图形，故B错误； 对于C，该图形是中心对称图形，对称中心为圆的圆心，故C正确； 对于D，该图形不是中心对称图形，故D错误. 故选：C. 2. 2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长6.1%，高于全国1.1个百分点，总量13507.7亿元．“13507.7亿”用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学计数法定义转化即可. 【详解】亿. 故选：A 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据代数式的运算逐项分析判断. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误； 故选：C. 4. 如图，直线，直线，若，则（　　） A 35° B. 40° C. D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直的定义和两直线平行的性质求出和，再由平角定义即可求解. 【详解】 如图，因，则 又，则， 因，故. 故选：A. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 我校高个子同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合概念逐一判断即可. 【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误； 对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确； 对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误. 故选：B 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 集合的真子集是 B. 是菱形是平行四边形 C. 设，若，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可判断A；根据菱形一定是平行四边形，可判断B；根据集合相等的概念求出，可判断C；解方程求得集合可判断D. 【详解】对于A，集合的真子集包括，故A错误； 对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以是菱形是平行四边形，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为方程的解为，所以，故D错误． 故选：B. 7. 已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得. 【详解】由，再由，得，. 由CB，根据集合C中的元素个数分3类： ①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个； ②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个； ③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个； 所以满足且CB的集合的个数为个. 故选：D. 8. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 集合的真子集个数为8 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC，根据交集，补集和并集的定义结合已知条件分析判断，对于D，根据公式求解判断. 【详解】因为全集，集合，， 所以，，， 因此选项A、C正确，选项B不正确； 因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为， 因此选项D不正确， 故选：AC. 10. 对于二次函数，下列结论中正确的是（　　） A. 它的对称轴是直线 B. 当时，有 C. 它的图像与轴的两个交点是和 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A和D，利用二次函数的性质，即可求解；对B，直接求出函数值，即可求解；对于C，直接求出交点，即可求解. 【详解】对于A，因为二次函数的对称轴为，所以A正确， 对于B，当时，，所以B错误， 对于C，令，解得或，当时，；当时，， 则二次函数的图像与轴的两个交点是和，所以C正确， 对于D，因为二次函数的对称轴为，则，又二次函数开口向下， 所以当时，，故选项D正确， 故选：ACD. 11. 已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. C. A可能仅含有2个元素 D. A所含的元素的个数一定是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的定义对各选项进行验证：直接计算判断A，用反证法判断B，设，由定义求出集合中其他元素后判断CD． 【详解】若，则，，A正确． 若，则，而中分母不能为0，即，所以，B正确． 若，则，所以， 所以，． 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 所以若，则，，，且x，，，互不相等． 所以A所含的元素的个数一定是，非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由判断别式小于零求解即可. 【详解】因为关于的一元二次方程无实数根， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 13. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系列方程，结合集合元素的互异性来求得正确答案. 【详解】因为， 当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍）， 时，，此时集合为符合题意， 所以. 故答案为： 14. 已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②；③；④． 注：其中分别表示中元素的个数． 如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________． 【答案】 【解析】 【分析】v 已知集合中有2个元素，结合已知条件得出、的值，再得出，进而可判断出集合中的另一个可能元素，从而得出满足条件的集合． 【详解】集合中有2个元素， ， 又，， ， ，， ， 满足集合的另一元素可能为， 满足的集合为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算 （1）解方程：； （2）解分式方程：． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）首先对方程左边因式分解，即可求出方程的根； （2）按照分式方程解法的一般步骤完成即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴，即或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 16. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间（单位：小时） 频数 12 26 16 4 （1）___________，___________； （2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？ （3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是两名女生的概率． 【答案】（1）80；22 （2）160人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）根据条件，直接求解，即可； （3）利用树状图，列出所有可能结果，再利用古典概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 （人），所以估计劳动时间在范围的学生有160人. 【小问3详解】 画树状图，如图： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种， 抽取的2名学生恰好是两名女生的概率为． 17. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合数轴列式求解； （2）结合数轴列式求解，注意对空集的讨论. 【小问1详解】 因为，如图， 所以，解得，所以， 即的取值范围是； 【小问2详解】 当时，符合题意，此时有，即； 当时，如图 或 有①，或②， 解①得，解②得，所以此时， 综上，实数的取值范围为． 18. 已知全集，集合．求： （1）及； （2）及 【答案】（1）， （2）或， 【解析】 【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解； （2）由交集、并集、补集运算即可求解； 小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 由（1）可得：或， 由，可得：或， 所以 19. 已知集合为非空数集，定义：. （1）若集合，直接写出集合， （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值． 【小问1详解】 由，根据定义：， 所以. 【小问2详解】 由于集合，且， 所以也只有四个元素，即， 因为，， 所以，， 所以，即. 【小问3详解】 设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 所以， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一年级开学摸底考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长6.1%，高于全国1.1个百分点，总量13507.7亿元．“13507.7亿”用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，若，则（　　） A. 35° B. 40° C. D. 50° 5. 下列说法正确是（　　） A. 我校高个子的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 集合的真子集是 B. 是菱形是平行四边形 C. 设，若，则 D. 7. 已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（ ） A 4 B. 3 C. 8 D. 7 8. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 集合的真子集个数为8 10. 对于二次函数，下列结论中正确的是（　　） A. 它的对称轴是直线 B. 当时，有 C. 它的图像与轴的两个交点是和 D. 当时， 11. 已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. C. A可能仅含有2个元素 D. A所含的元素的个数一定是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是___________． 13. 已知，则值为______. 14. 已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②；③；④． 注：其中分别表示中元素的个数． 如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算 （1）解方程：； （2）解分式方程：． 16. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间（单位：小时） 频数 12 26 16 4 （1）___________，___________； （2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围学生有多少人？ （3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是两名女生的概率． 17. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知全集，集合．求： （1）及； （2）及 19. 已知集合为非空数集，定义：. （1）若集合，直接写出集合， （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $