江苏省南京市玄武区2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 范围：第1-2章

江苏省南京市玄武区2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 范围：第 1-2章 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：是一元二次方程，符合题意； B.是一元一次方程，不符合题意； C.不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D.含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 只含有一个未知数，且未知数的最高次为的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握相关定义是解答本题的关键． 2.已知的半径，，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 【答案】B  【解析】解：， 点与的位置关系是点在圆外． 故选：． 点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径． 本题考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判断方法是求解本题的关键． 3.关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 且 【答案】A  【解析】解：当时，原方程可化为，解得； 当时，此方程是一元二次方程， 方程有实数根， ，即， 解得， 综上所述，的取值范围是． 故选：． 分和两种情况进行讨论即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，能根据题意进行分类讨论求解是解题的关键． 4.如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意得，， 根据羊圈的面积为，得， 故选：． 根据题意用含的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式，理解题意是解题的关键． 5.如图，、、是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点，使，连接则为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：． 由是圆的直径得，根据等腰三角形的性质即可求解． 本题考查圆周角定理，掌握圆周角定、等腰三角形的性质是解决问题的前提． 6.如图，在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第一象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接、，过作轴于，过作轴于， 和点， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， 设， ， ， ， 故选：． 作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：，再证明≌，根据，列式可得结论． 本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，还运用了三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.请写出一元二次方程的所有解：      ． 【答案】，  【解析】解：原方程分解因式得， 解得：，， 故答案为：，． 根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 8.若关于的一元二次方程可配成，的形式， ______． 【答案】  【解析】解：， ， ， ， 所以，， 所以． 故答案为：． 先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值． 本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 9.若，是方程的两个实数根，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：． 代入原方程，再结合根与系数的关系求出，即可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10.如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为          ． 【答案】  【解析】解：如图，作直径，连接， 则由圆周角定理得：，， 四边形内接于， ， ， ， ， 的半径为， ， ． 故答案为：． 作直径，连接，根据圆周角定理得出，，根据圆内接四边形的性质得出，求出，解直角三角形求出即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解题的关键． 11.如图，在中，，，，是上一点点与点不重合若在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：如图，以为圆心以为直径的圆与相切于点， 设圆的半径为，即， ，，， ，， ， 解得： 在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点时，以为直径的与相离， 即以为直径的与相离时，圆与的交点和过点作垂直于的直线与的交点， 此时，， 故答案为：． 当以为直径的圆与相切时，由直角三角形的性质求出半径，在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点时，以为直径的与相离，即以为直径的与相离时，圆与的交点和过点作垂直于的直线与的交点，即可得出结果． 本题考查了含角的直角三角形的性质、直线与圆的位置关系、直角三角形的存在性等知识，找到临界状态即以为直径的圆与相切，是本题解题关键． 12.如图，的半径为，是上一点，直线交于，两点，垂足为，已知若将直线沿所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为      ． 【答案】或  【解析】解：如图，连接， ， ， ， 在中，， 又将直线通过平移使直线与相切， 直线垂直过点的直径，垂足为直径的两端点， 当向下平移时，直线平移的距离； 当向上平移时，直线平移的距离． 故答案为：或． 根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线平移的距离为半径减去；当向上平移时，直线平移的距离为半径加上． 本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理． 13.矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：矩形两条对角线交于点， ， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 先根据矩形的性质得到，再根据根的判别式的意义得到，然后关于的方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．也考查了矩形的性质． 14.关于的方程的解是均为常数，，则方程的解是          ． 【答案】  【解析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【详解】解：关于的方程的解是均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故方程的解为． 故答案为． 15.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大，则的值等于______． 【答案】或  【解析】解：设方程的两个根为，， 方程有整数根， 设其中，为整数，且， 则方程的两根为，， ，， 两式相加，得， 即， 或， 解得或． 又，，， 或，， ， ，，；或者，，， 或， 故或． 故答案为：或． 设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另根．利用根与系数的关系均得到与的关系，进而消去，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到，，的值，相加即可． 主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；消去后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点． 16.如图，是的直径，半径的长为，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为      ． 【答案】或或  【解析】解：是直径，是的弦， ， 当的长为正整数时，或， 当时，即为直径， ， 将沿翻折交直线于点，此时与点重合， 故FB； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或， 故答案为：或或． 根据，可得或，分种情况利用勾股定理进行解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解下列方程： ． 【答案】(1)解：， ， ∴， ∴；   (2)解：， ， ∴或， ∴，；   (3)解：， ， ∴， ∴；   (4)解： ， ∴， ∴或， ∴．   【解析】  本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，公式法求一元二次方程的根是解题的关键， 移项，直接开方即可求解；   因式分解求一元二次方程即可；   先求解根的判别式，再利用公式法求一元二次方程即可；   移项，因式分解求一元二次方程即可． 18.本小题分 如图，，为直径，弦，分别与半径，相交，且． 求证：； 若，且，求的度数． 【答案】证明：，为直径， ， ， ， ， 即， ；     【解析】证明：，为直径， ， ， ， ， 即， ； 解：由条件可知的度数为， 的度数为， 的度数为， 的度数为． 利用弧和弦的对应关系，得出，即可得出结论； 利用弧和圆周角的关系得出的度数，最后根据弧的度数再求圆心角即可． 本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键． 19.本小题分 如图，四边形为平行四边形，为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图保留作图痕迹，不写作法． 在图中作出圆心． 在图中，画出，使得． 【答案】如图，点即为所求圆心；   如图，即为所求．   【解析】延长，与圆交于点，连接，交于点，如图，点即为所求圆心；理由如下： 平行四边形中，，， 又， ， ， ， 为圆的直径， 为圆的直径， 点即为圆心； 设与交于点，连接并延长交于点，连接，如图，即为所求；理由如下： 交于点，由作图可知：为的直径， ， ， ， ． 延长，与圆交于点，连接，与的交点即为所求的圆心； 设与交于点，连接并延长交于点，连接，交于点，即为所求． 本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，圆周角定理，熟知相关性质是正确解答本题的关键． 20.本小题分 若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“隔根方程”例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”． 方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由； 若关于的方程是“隔根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由如下： ∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣4． ∵5﹣（﹣4）＝9≠2， ∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．   (2)∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m． 又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”， ∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2， 解得：m＝0或m＝4．   【解析】  不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，二者做差后可得出，进而可得出方程不是“隔根方程”；   利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值． 21.本小题分 如图，为直角三角形，，点在的延长线上，且． 尺规作图：作的外接圆；保留作图痕迹，不写作法 求证：直线是切线； 若，求的半径． 【答案】如图所示，即为所求；   如图所示，连接，   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又为半径， 直线为的切线；   的半径为  【解析】解：为直角三角形，， 作的垂直平分线交于点， 如图所示，即为所求； 证明：如图所示，连接，   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又为半径， 直线为的切线； 由得， 设，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的半径为． 作的垂直平分线交于点，以为半径，为圆心，作圆，即可求解； 连接，根据等腰三角形的性质可得，根据已知可得，进而可得，即，即可得证； 由得，设，，在中，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 本题考查了作三角形的外接圆，切线的性质与判定，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质与判定． 22.本小题分 如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，延长，交于点，连结，，与交于点． 若，用含的代数式表示； 如图，连结，，若，求证：． 【答案】；   证明：，且由  得， ， ， ，且由  得， ， ≌，   【解析】解：由条件可知， ， ， ； 证明：由条件可知， ， ，且由得， ， ≌， ． 利用垂径定理得即可求解； 由得，再通过圆周角定理的推论证得≌即可求解． 本题主要考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握与圆相关的定理知识是解题关键． 23.本小题分 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于点． 求证：是的切线； 若，的半径为，求的长． 【答案】如图，连接， 则， ， ， ， ． 于点， ， ，即． 是的半径， 是的切线．     【解析】证明：连接， 则， ， ， ， ． 于点， ， ，即． 是的半径， 是的切线． 解：连接． 由题意可得： 即． 的半径为， ． ． ， ， ． 根据等边对等角可得，则可证明，然后根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； 根据直径所对的圆周角是直角得出，在中，根据勾股定理可求出，然后根据等面积法求出，最后在中根据勾股定理求解即可． 本题考查了圆与等腰三角形．正确引出辅助线，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，面积法求三角形的高是解题的关键． 24.本小题分 如图，在中，，，点从点出发，沿边向点以的速度运动，点从点出发，沿边向点以的速度运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动． 经过几秒，的面积为？ 的面积能为吗？若能，请求出此时的运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)设经过x s，△PBQ的面积为8 cm2．根据题意，可得0≤x≤4．∵AP＝x cm，BQ＝2x cm，∴BP＝AB-AP＝(6-x)cm．∵，∴，∴x2-6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，均符合题意．答：经过2 s或4 s，△PBQ的面积为8 cm2  (2)不能理由：假设经过y s，△PBQ的面积为10 cm2，则．∴y2-6y+10＝0．∵b2-4ac＝(-6)2-4×1×10＝-4＜0，∴该方程没有实数根，∴△PBQ的面积不能为10 cm2．  【解析】 略  略 25.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． 根据上述定义，一元二次方程            “倍根方程”填“是”或“不是”； 若是“倍根方程”，求与的关系； 若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系． 【答案】(1)是  (2)根据题意，得x－2＝0或mx－n＝0， 解得x1＝2，x2＝. 因为(x－2)(mx－n)＝0(m≠0)是“倍根方程”， 所以＝4或＝1， 所以n＝4m或n＝m.   (3)2b2＝9ac.理由如下： 因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是倍根方程， 所以b2－4ac>0，设方程的两根分别为t，2t. 根据根与系数的关系，得t＋2t＝－，t·2t＝， 所以t＝－， 所以2(－)2＝， 所以2b2＝9ac.   【解析】 略  略  略 26.本小题分 如图是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中内接于，是的直径，，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中如图，然后点在轴上由点开始向右滑动，点在轴上也随之向点滑动如图，当点滑动至与点重合时运动结束． 试说明在运动过程中，原点始终在上． 设点的坐标为，试探求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 在整个运动过程中，点运动的路径有多长？ 【答案】(1)如图1，连接OG．因为点A在x轴上运动，点B在y轴上运动，所以△AOB为直角三角形．易得．又因为AB是⊙G的直径，所以OG的长始终等于⊙G的半径长，所以原点O始终在⊙G上．  (2)在运动过程中，的长保持不变．因为AB=6，AC=3，∠ACB=90°，所以∠ABC=30°．如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则OH=x，CH=y．连接OC，则∠AOC=∠ABC=30°．所以，所以．所以，即．易知其中自变量x的取值范围是．   (3)根据题意可知，点C在与x轴夹角为30°的射线上运动．如图2，C1C2=OC2-OC1=6-3=3；如图3，．所以点C运动的路程是．   【解析】  【分析】易知为直角三角形，所以，所以始终是的半径，所以原点始终在上．   在运动过程中，的长保持不变，所对应的圆周角保持不变，等于，从而求解．   通过的结果，根据数形结合，得出点的运动轨迹，再利用勾股定理即可解决问题． 27.本小题分 【发现问题】 爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题目：如图，为坐标原点，点的坐标为，的半径为，动点在上，连接，作等边三角形点，，为顺时针顺序，求长的最大值． 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． 图中与相等的线段是          ； 线段长的最大值为          ； 【灵活运用】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为线段外一动点，且，以点为旋转中心，把逆时针旋转得到，连接，求线段的最大值及此时点的坐标； 【迁移拓展】如图，，是以为直径的半圆上不同于点，的一个动点，以为边作等边三角形，请直接写出长的最值． 【答案】(1) ; 3    (2)如图2，将绕着点顺时针旋转得到，连接，，则，所以求线段长的最大值，即为求线段长的最大值.当点在线段的延长线时，线段取得最大值，最大值为.因为点，，所以.易证是等腰直角三角形，所以，所以.所以长的最大值为. 如图3，过点作轴于点.因为是等腰直角三角形，所以，所以，所以点. ​​​​​​​   (3)长的最小值为，最大值为.  【解析】 提示：如图，因为，都是等边三角形，所以，，，所以，所以，所以． 提示：因为的半径为，点，所以，因为，所以当，，三点共线时，的长最大，最大值为由知，所以的最大值为．  略   提示：如图，以为边作等边，连接因为，所以，且，，所以，所以，所以欲求长的最小值，只要求出长的最小值即可． 如图，当，，三点共线时，的长最小因为，是的中点，是等边三角形，所以，，在中，，所以，所以长的最小值为． 如图，同理可得，所以欲求长的最大值，只要求出长的最大值即可当，，三点依次共线时，的长最大最大值为所以长的最大值为． 综上所述，长的最小值为，最大值为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省南京市玄武区2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考 数学模拟试卷范围：第1-2章 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x2+4=0 B.-2X+4=0 C2+x+4=0D.x2+4y2=0 2.已知⊙0的半径r=3,P0=√10，则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙0内 B.点P在⊙0外 C.点P在⊙O上 D.无法确定 3.关于x的方程mx2-4x+4=0有实数根，则m的取值范围是() A.m≤1 B.m≥1 C.m≠0 D.m≤1且m≠0 4.如图，小红想用长为60的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形 羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.当羊圈的面 积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB=xm,根据题意所列的方 B EF 程是() A.x(62-2x)=600B.x(60-2x)=600C.x(58-2x)=600D.x(60-x)=600 5.如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D,使AD=AC B 连接CD.则∠ACD为() 0 A.70° B.50° C.45° D.40 6.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A(m,-3)和点B( 1,n),点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是() A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.请写出一元二次方程x2-4x=0的所有解：、 8.若关于x的一元二次方程x2-6x-5=0可配成(x+p)2=q,的形式，p+2q= 9.若a,B是方程x2+2x-2027=0的两个实数根，则a2+3a+B的值为. 10.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的 B D 长为一 第1页，共7页 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1,D是AB上一点（点D A 与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上有且仅有2个不同的点分别和点A、D成为 直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是_一一一· 12.如图，⊙0的半径为5，C是⊙0上一点，直线l10C交⊙0于A,B两点，垂 足为H,已知AB=8.若将直线沿OC所在的直线平移后恰与⊙O相切，则平移的距 离为一 H B 13.矩形ABCD两条对角线交于0点，且A0、B0的长是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m 的值为一· 14.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+ b=0的解是」 15.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1， 则a+b+c的值等于_一一· 16.如图，AB是⊙O的直径，半径的长为1，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE1AB, 将DBE沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时，线段FB的长为一、 C:B 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解下列方程： (1)x2-2=6(2)x2-7x-8=0;(3)3x2-2x-5=0;(4)(x-1)2=3x-3. 18.(本小题8分) 如图，AB,CD为⊙O直径，弦DE,BF分别与半径A0,CO相交，且DE=BF. (1)求证：∠B=LD: (2)若AE=EF=FC,且LD=40°，求LA0C的度数， E B 第2页，共7页 19.(本小题8分) 如图，四边形ABCD为平行四边形，AD为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写 作法). (1)在图1中作出圆心. (2)在图2中，画出CE,使得CE⊥AD. C C D 图1 图2 20.(本小题8分) 若关于x的方程x2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根 方程”.例如，方程x2+2x=0的两个根是x1=0,x2=-2,则方程x2+2x=0是“隔根方程”. (1①)方程x2-x-20=0是“隔根方程”吗？判断并说明理由； (2)若关于x的方程x2+mx+m-1=0是“隔根方程”，求m的值. 21.(本小题8分) 如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A. (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O;(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：直线CD是⊙O切线： (3)若BD=2,CD=2W3,求⊙0的半径. 第3页，共7页 22.(本小题8分) 如图，AB为⊙O的直径，弦CD L AB于点E,G是弧AC上一点，延长AG,DC交于点F,连结AD,GD,GD 与AB交于点H. (1)若LBAD=u,用含a的代数式表示LAGD: (2)如图2，连结AC,CG,若AC1GD,求证：DH=CG. F HEB D D 图1 图2 23.(本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙O,交AC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F. (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)若AD=2V5,⊙0的半径为5，求AF的长. D ◇ 第4页，共7页 24.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm.点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度运 动，点Q从点B出发，沿边BC向点C以2c/s的速度运动.点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点 C时，两点同时停止运动. P→B (1)经过几秒，△PBQ的面积为8cm2? (2)△PBQ的面积能为10cm2吗？若能，请求出此时的运动时间；若不能，请说明理由. 25.(本小题8分) 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍， 那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是x1=2,x2=4,则方程 x2-6x+8=0是“倍根方程”. (1)根据上述定义，一元二次方程x2-3x+2=0“倍根方程”（填“是”或“不是”）： (2)若(x-2)(mx-n)=0(m≠0)是“倍根方程”，求m与n的关系： (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“倍根方程”，求a,b,c之间的关系. 第5页，共7页 26.(本小题8分) 如图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G,AB是⊙G的直径，AB=6,AC=3.现 将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上 也随之向点0滑动（如图3），当点B滑动至与点0重合时运动结束， R G G O(A) 图1 图2 图3 (1)试说明在运动过程中，原点0始终在⊙G上， (2)设点C的坐标为（化，y),试探求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围， (3)在整个运动过程中，点C运动的路径有多长？ 27.(本小题8分) (1)【发现问题】 爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题目：如图1,0为坐标原点，点A的坐标为(2,0)，⊙0的半径为 1,动点B在⊙O上，连接AB,作等边三角形ABC(点A,B,C为顺时针顺序)，求OC长的最大值 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图1中，连接0B,以OB为边在OB的左侧作等边三角 形BOE,连接AE. 第6页，共7页 B 图1 (1)图中与C0相等的线段是一： (2)线段C0长的最大值为； (2)【灵活运用】(3)如图2，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，P为线段AB 外一动点，且PA=2,以点P为旋转中心，把PB逆时针旋转90°得到PM,连接AM,求线段AM的最大值及 此时点P的坐标： 图2 (3)【迁移拓展】(4如图3，BC=4V3,D是以BC为直径的半圆上不同于点B,C的一个动点，以BD为边作 等边三角形ABD,请直接写出AC长的最值. D 图3 第7页，共7页 江苏省南京市玄武区2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考数学模拟试卷 范围：第 1-2章 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知的半径，，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 3.关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 且 4.如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是(    ) A. B. C. D. 5.如图，、、是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点，使，连接则为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第一象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.请写出一元二次方程的所有解：      ． 8.若关于的一元二次方程可配成，的形式， ______． 9.若，是方程的两个实数根，则的值为      ． 10.如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为          ． 11.如图，在中，，，，是上一点点与点不重合若在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是______． 12.如图，的半径为，是上一点，直线交于，两点，垂足为，已知若将直线沿所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为      ． 13.矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为      ． 14.关于的方程的解是均为常数，，则方程的解是          ． 15.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大，则的值等于______． 16.如图，是的直径，半径的长为，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为      ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解下列方程： ． 18.本小题分 如图，，为直径，弦，分别与半径，相交，且． 求证：； 若，且，求的度数． 19.本小题分 如图，四边形为平行四边形，为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图保留作图痕迹，不写作法． 在图中作出圆心． 在图中，画出，使得． 20.本小题分 若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“隔根方程”例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”． 方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由； 若关于的方程是“隔根方程”，求的值． 21.本小题分 如图，为直角三角形，，点在的延长线上，且． 尺规作图：作的外接圆；保留作图痕迹，不写作法 求证：直线是切线； 若，求的半径． 22.本小题分 如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，延长，交于点，连结，，与交于点． 若，用含的代数式表示； 如图，连结，，若，求证：． 23.本小题分 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于点． 求证：是的切线； 若，的半径为，求的长． 24.本小题分 如图，在中，，，点从点出发，沿边向点以的速度运动，点从点出发，沿边向点以的速度运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动． 经过几秒，的面积为？ 的面积能为吗？若能，请求出此时的运动时间；若不能，请说明理由． 25.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． 根据上述定义，一元二次方程            “倍根方程”填“是”或“不是”； 若是“倍根方程”，求与的关系； 若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系． 26.本小题分 如图是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中内接于，是的直径，，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中如图，然后点在轴上由点开始向右滑动，点在轴上也随之向点滑动如图，当点滑动至与点重合时运动结束． 试说明在运动过程中，原点始终在上． 设点的坐标为，试探求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 在整个运动过程中，点运动的路径有多长？ 27.本小题分 【发现问题】 爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题目：如图，为坐标原点，点的坐标为，的半径为，动点在上，连接，作等边三角形点，，为顺时针顺序，求长的最大值． 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． 图中与相等的线段是          ； 线段长的最大值为          ； 【灵活运用】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为线段外一动点，且，以点为旋转中心，把逆时针旋转得到，连接，求线段的最大值及此时点的坐标； 【迁移拓展】如图，，是以为直径的半圆上不同于点，的一个动点，以为边作等边三角形，请直接写出长的最值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $