2.2.2 直线的两点式方程（截距式方程）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，从已知两点确定直线出发，通过点斜式推导出两点式，再自然过渡到截距式，构建了由特殊到一般、由具体到抽象的知识链条，形成清晰的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如例2中通过截距互为相反数的分类讨论体现逻辑推理能力，用截距式直观表达直线与坐标轴交点关系展现数学语言的简洁美，借助跟踪训练1对参数m的分情况讨论培养抽象意识。教学设计注重问题驱动与思维进阶，既帮助学生建立结构化知识体系，又提升教师课堂组织效率与深度探究能力。

2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程 学习目标 1.掌握直线两点式方程的形式、特点及适用范围.(重点) 2.了解直线截距式方程的形式、特点及适用范围. 刘雨萌 导语 已知直线l经过两点 因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的.也就是说，对于直线l上的任意一点,它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？ 刘雨萌 新知探究 一、直线的两点式方程 问题1 我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由点斜式方程，得y-y1=(x-x1)，即=(x1≠x2，y1≠y2). 刘雨萌 知识梳理 两点式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ____________，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 . = 两点式 注：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 刘雨萌 新知探究 二、截距式方程 例1 (课本63页例3)　如图，已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程. 将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得=即+=1. 刘雨萌 我们把方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距是 . 知识梳理 +=1 在x轴上的截距 b 注：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距都存在且不为0，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 二、截距式方程 刘雨萌 典例分析 例2 (课本63页例4)　已知△ABC的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程. 如图，过B(3，-3)，C(0，2)的直线的两点式方程为= 整理得5x+3y-6=0. 这就是边BC所在直线的方程. 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段， 由中点坐标公式，可得点M的坐标为即. 过A(-5，0)，M两点的直线方程为=整理可得x+13y+5=0. 这就是边BC上中线AM所在直线的方程. 刘雨萌 典例分析 学习笔记45页例1 已知A(-3，2)，B(5，-4)，C(0，-2)，在△ABC中： (1)求BC边所在的直线方程； BC边过两点B(5，-4)，C(0，-2)，由两点式，得=， 即2x+5y+10=0，故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0. (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 设BC的中点为M(a，b)，则a==，b==-3，所以M， 又BC边的中线过点A(-3，2)，所以=， 即10x+11y+8=0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 　已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 由直线经过点A(1，0)，B(m，1)， 因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. (1)当直线斜率不存在，即m=1时，直线方程为x=1； (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为= ，即x-(m-1)y-1=0. 综上可得，当m=1时，直线方程为x=1； 当m≠1时，直线方程为x-(m-1)y-1=0. 刘雨萌 典例分析 例2 求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为+=1.又l过点(3，4)，所以+=1，解得a=-1. 所以直线l的方程为+=1，即x-y+1=0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点，设直线l的方程为y=kx，因为l过点(3，4)，所以4=k·3，解得k=， 直线l的方程为y=x，即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 刘雨萌 延伸探究 求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ (1)当截距不为0时，设直线l的方程为+=1， 又l过点(3，4)，所以+=1，解得a=7，所以直线l的方程为x+y-7=0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y=kx， 又l过点(3，4)，所以4=k·3，解得k=， 所以直线l的方程为y=x，即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. 刘雨萌 典例分析 例3 过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； 设A(a，0)，B(0，b)， ∵P(3，2)为AB的中点，∴A(6，0)，B(0，4)， ∴由截距式得直线l的方程为+=1，即2x+3y-12=0. (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 由题意，设直线的截距式方程为+=1(a，b>0)， ∵直线过P(3，2)，∴+=1，∴1=+≥2，∴ab≥24， 当且仅当=，即a=6，b=4时，等号成立，∴△AOB的面积S=ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为+=1， 即直线l的方程为2x+3y-12=0. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练2 已知直线l经过点(1，6)和点(8，-8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； 因为直线l的两点式方程为=，即2x+y=8. 所以+=1.故所求截距式方程为+=1. (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB， 且OA⊥OB，|OA|=4，|OB|=8， 故S△AOB=|OA|·|OB|=×4×8=16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是 A.= B.=C.= D.= √ 2.在x轴、y轴上的截距分别是-3，4的直线方程是 A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 √ 3.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　 　　　　　. 2x-y=0或x-y+1=0 4.已知点A(3，2)，B(-1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　　 .  2x-y+1=0 刘雨萌 课后作业 步步高练透149页 作业17 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $