精品解析：上海市延安中学2025-2026学年高一上学期开学摸底测试（9月月考）数学试卷

2025 学年上海市延安中学高一第二学期开学摸底测试卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分100分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟 一.填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知，则的单位向量坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求，在根据单位向量的公式求解. 【详解】. 故答案为： 2. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为若△ABC的面积为，则该三角形外接圆的半径等于_______. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据已知求出C,再利用正弦定理求解. 【详解】由题得 所以. 所以三角形的外接圆的半径为1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3. 已知角终边上点坐标为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出角的范围，然后根据任意角三角函数的定义结合诱导公式可求得答案. 【详解】因为角终边上点坐标为，且，， 所以， 因为 ， 所以. 故答案为： 4. “南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲乙两人离底面高度相等，即甲乙关于摩天轮初始位置所在的直线对称，列出等式即可求解. 【详解】1分钟，甲乙相差，当甲乙离地面高度相等时， 乙转了，即12分钟 故答案为：. 5. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 6. 在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时， 故答案为：. 7. 已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可知，，，，可得出的取值范围，再计算与同向时的值，即可得的取值范围. 【详解】因为与的夹角为锐角， 所以，且与不同向， 所以， 因为，为互相垂直的单位向量， 所以，，， 所以，可得， 当与同向时，，即， 可得，可得，此时不满足与的夹角为锐角， 综上所述：实数的取值范围为且. 故答案：且. 8. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可 【详解】由题意可知 ， 即， 由题意可知， 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知及与的关系，所以构造，利用整体思想凑出未知式计算即可. 9. 已知函数的表达式是，若对于任意都满足，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】把函数化成关于的二次型函数，再换元利用二次函数取最大值的条件求出a的范围作答. 【详解】依题意，，，令， 对于任意都满足，则有，即当，时，函数取得最大值， 于是函数，在时取得最大值，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间或其子区间上的最值求解. 10. 已知，，若存在，对任意，恒成立，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，先确定函数，再由三角函数的性质确定最大最小值. 【详解】依题意， ， 对任意， 恒成立， 当时，， 当时，则， 当时，， 当 时，. 所以，得， 所以. 故答案为：. 【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式. 11. 已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值. 【详解】 依题意，如图分别作，其中,, 由知，依题意知点有两个位置，即点和点， 又,，由知, 即点的轨迹是以线段为直径的圆. 故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决. 12. 定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差向量列的定义可得，根据向量垂直的数量积的形式可得，故可求. 【详解】， 因为向量与非零向量垂直， 故， 由题设可知，故，故， 故 ， 故答案为： 二.选择题（每小题4分，共16分） 13. 已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（ ）个. A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数. 【详解】， ， 则，则， 令，则为非零有理数， 若，则， 结合上述限制条件可得，此时， 故三者中有理数的个数为3个. 若， 则， 解之得，令，则， 由，可得，t为有理数， 则， ， 则均为有理数. 综上，在，，中，一定是有理数的有3个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 14. 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解. 【详解】，因为，所以，因为，所以. 正弦函数在一个周期内，要满足上式，则， 所以，所以的取值范围是. 故选：D 16. 对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】函数，定义域为R， ①：因为，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确； ②：因为，所以，因此不成立，所以本结论不正确； ③：令，即，解得或，其中当时，， 显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确； ④：，解得或，其中当时，， ，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确； 所以4个结论中，正确的有2个. 故选：B. 三.解答题（共48分） 17. 已知． （1）若，求实数x的值； （2）若，求实数x的值． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行(共线)的坐标关系可得; （2）利用向量垂直即数量积为零即得. 【小问1详解】 解：故； 【小问2详解】 解： . 18. 足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. （1）若，求此时的外接圆的圆心坐标 （2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【小问1详解】 在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. 小问2详解】 设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 19. 已知函数. （1）若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. （2）若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. （3）若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【小问1详解】 由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． 【小问2详解】 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． 【小问3详解】 函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 20. 已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 【答案】（1） （2） （3）；该常数 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积求出，余弦定理求的长度； （2）由，得，设，余弦定理求，由，可得的值； （3）由，可求得，则有，代入中判断值为常数的条件. 【小问1详解】 设，则，得， 所以. 【小问2详解】 由已知，则， 设，则， 所以，则有，得. 【小问3详解】 由可得，由（1）知， ，， ， ， ， ， 又，所以， 所以， 若为常数，则，即，此时该常数为. 【点睛】关键点点睛： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出内角的余弦值，由，在各直角三角形中利用的边长和三角函数求出，找到与的关系. 21. 在直角坐标平面上的一列点，，…，，…，简记为．若由构成的数列满足，，2，…，其，则称为“点列”． （1）判断，，，…，，是否为“点列”，并说明理由； （2）判断，，，…，…是否为“点列”，请说明理由，并求出此时列的前项和． （3）若为“点列”，且点在的右上方，任取其中连续三点，，，判断的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析；；（3）钝角三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据“点列”的定义，结合题中条件，即可得出结果； （2）根据题中条件，得出，结合“点列”的定义，即可判断出结果；再利用裂项相消法，即可求出数列的和； （3）先由题意，得到与的坐标，表示出向量数量积，利用“点列”的性质，判断，即可判断三角形的形状. 【详解】（1）根据题意得，， ∴不满足，故不是“点列”． （2）根据题意得，， ∴，显然有， ∴是点列． 则． （3）因为为“点列”，所以，， 所以，， 则， ∵点在点的右上方，∴， ∵为点列，∴， ∴，则， 即， 又为的内角， ∴为钝角，∴为钝角三角形． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于对“点列”的理解，要判断一个点列为“点列”，必须满足为增数列；求解“点列”中构成的三角形形状时，则需要结合“点列”的性质，结合向量数量积求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 学年上海市延安中学高一第二学期开学摸底测试卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分100分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟 一.填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知，则的单位向量坐标为__________． 2. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为若△ABC的面积为，则该三角形外接圆的半径等于_______. 3. 已知角终边上点坐标为，则________． 4. “南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则__________． 5. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 6. 在△ABC中，，，M为AC中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 7. 已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________． 8. 已知，，则______． 9. 已知函数表达式是，若对于任意都满足，则实数a的取值范围是_________． 10. 已知，，若存在，对任意，恒成立，则____________. 11. 已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为___________. 12. 定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则_________． 二.选择题（每小题4分，共16分） 13. 已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（ ） A B. C. D. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 16. 对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三.解答题（共48分） 17. 已知． （1）若，求实数x的值； （2）若，求实数x的值． 18. 足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. （1）若，求此时的外接圆的圆心坐标 （2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 19. 已知函数. （1）若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. （2）若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. （3）若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 20. 已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 21. 在直角坐标平面上的一列点，，…，，…，简记为．若由构成的数列满足，，2，…，其，则称为“点列”． （1）判断，，，…，，是否为“点列”，并说明理由； （2）判断，，，…，…是否为“点列”，请说明理由，并求出此时列的前项和． （3）若为“点列”，且点在的右上方，任取其中连续三点，，，判断的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $