精品解析：江苏省锡山高级中学滨湖分校2025-2026学年高一上学期9月检测数学试卷

江苏省锡山高级中学滨湖分校2025-2026学年高一上学期9月检测数学试卷 命题人：戴静君 日期：09.20 班级____________ 姓名____________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论． 【详解】， ，， 故选：． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础． 2. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】由，得， 因为为正实数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 3. 若实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】两次应用基本不等式可得最值，注意等号成立的条件是一致的． 【详解】解：因为，则， 当且仅当且时取等号，即时取等号， 此时取得最小值3． 故选：B． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，本题两次应用了基本不等式，应强调两次应用基本不等式时等号成立的条件必须相同，即等号同时取到． 4. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【详解】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 6. 若关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）． A. 21 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到2是两个方程的根，代入两方程，求出参数，即可求出结果. 【详解】因为，所以2是两个方程的根， 所以，， 解得，，所以． 故选A 【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数的问题，熟记集合交集的概念即可，属于常考题型. 7. 若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（ ） A. －3<a－|b|≤3 B. －3<a－|b|<5 C. －3<a－|b|<3 D. 1<a－|b|<4 【答案】C 【解析】 【分析】由－4<b<2，得－4<－|b|≤0，根据不等式的性质同向相加可得结果. 【详解】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题. 8. 若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案. 【详解】(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 【点睛】本题以新定义的形式考查了元素与集合关系的判断，同时考查了运算求解的能力. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案. 【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确； B项, 若,可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； C项，举反例，虽然，但是，故D不正确； 故选：BC. 【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 若，则； C. 不等式的解集是； D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得到正确答案. 【详解】选项A：因为，所以,所以的最大值是2.所以选项A正确； 选项B ：因为所以.因为，所以，所以.所以选项B错误； 选项C：因为，所以，即，即解得：.所以选项C正确； 选项D：当时，恒成立，当且仅当时，等号成立.所以同为负数时，也可使恒成立.所以选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 期中考试，某班数学优秀率为，语文优秀率为，则上述两门学科都优秀的百分率至少为_______． 【答案】 【解析】 【分析】假定共有学生100人，可得数学优秀的人数为70人构成集合A，语文优秀的人数为75人构成集合B，当时，求得两门都优秀的最少人数，即可求解，得到答案． 【详解】假定共有学生100人，可得数学优秀的人数为70人构成集合A，语文优秀的人数为75人构成集合B，当集合时，此时得到这两门都优秀的人数最少为人， 所以两门学科都优秀的百分率至少为． 【点睛】本题主要考查了集合的运算与应用，其中解答中熟练应用集合的包含关系和集合的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 13. 设，，若，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】 把乘以得到，后用均值定理 【详解】解：，且且 ∴ 当且仅当取等号， 又，即，时取等号，故所求最小值为16． 故答案为：16 【点睛】考查均值定理的应用，基础题 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 【答案】（1）证明： ∵， ∴. （2）1. 【解析】 【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证. （2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果. 【详解】（1）略； （2）∵，， ∴，即， ∴，∴. 当且仅当时取等号，此时ab取最小值1. 【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题. 16. 已知m>0，p：-2≤x≤6，q：2-m≤x≤2+m． （1）已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围; （2）若q是p成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）(0，4)；（2）(4，+∞)． 【解析】 【分析】（1）本小题根据p是q成立的必要不充分条件建立不等式组，即可解题； （2）本小题根据题意判断出(-∞，2-m)∪(2+m，+∞)是(-∞，-2)∪(6，+∞)的真子集，再建立不等式组解题即可. 【详解】（1）∵p是q成立的必要不充分条件， ∴q⇒p且pq， 则[2-m，2+m]是[-2，6]的真子集， 有解得0<m≤4． 又当m=4时，[2-m，2+m]=[-2，6]，不合题意，舍去，∴m的取值范围是(0，4)． （2）∵q是p成立的充分不必要条件， ∴q⇒p且p推不出q， 则(-∞，2-m)∪(2+m，+∞)是(-∞，-2)∪(6，+∞)的真子集，则解得m≥4． 又当m=4时，两集合相等，不合题意，舍去， ∴m的取值范围是(4，+∞)． 【点睛】本题考查集合的包含关系与充分条件和必要条件之间的联系，是中档题 17. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，，求此不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为． 当时，原不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值. （2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集. 【详解】（1）由题意知，且1和5是方程的两根， ∴，且， 解得，，∴． （2）若，，原不等式为， ∴，∴． ∴时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 综上所述：当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为． 当时，原不等式解集为． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学滨湖分校2025-2026学年高一上学期9月检测数学试卷 命题人：戴静君 日期：09.20 班级____________ 姓名____________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 若实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 6. 若关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）． A. 21 B. 8 C. 7 D. 6 7. 若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（ ） A. －3<a－|b|≤3 B. －3<a－|b|<5 C. －3<a－|b|<3 D. 1<a－|b|<4 8. 若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 若，则； C. 不等式的解集是； D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 期中考试，某班数学优秀率为，语文优秀率为，则上述两门学科都优秀的百分率至少为_______． 13. 设，，若，则的最小值为__________． 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 16. 已知m>0，p：-2≤x≤6，q：2-m≤x≤2+m． （1）已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围; （2）若q是p成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，，求此不等式的解集． 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $