24 专项突破提升(一)-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

专项突破提升(一) 有理数的考查类型 类型一　有理数的定义和性质 1．(4分)下列说法错误的有(　C　) ①最大的负整数是－1；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示－a的点一定在原点的左边；⑤在数轴上7与9之间的有理数是8． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．(4分)在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，b＋c＜0，则下列式子一定成立的是(　B　) A．a＋c＞0 B．a＋c＜0 C．abc＜0 D．|b|＜|c| 3．(4分)如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上－2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数－2 024将与圆周上的哪个数字重合？(　C　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．(4分)若1<x<2，则－＋的值是(　D　) A．－3 B．－1 C．2 D．1 5．(4分)若＝－a，则a一定是(　C　) A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 类型二　分类讨论 6．(4分)若数轴上点A表示的数为5，则距离点A 3个单位长度的点表示的数为 2或8 ． 7．(4分)已知|x|＝5，|y|＝3．若xy＜0，则|x－y|的值为 8 ． 8．(4分)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a＋b－c＝ 2或0 ． 9．(4分)已知非零实数a，b，c，则化简＋＋＋3×的结果是 6或2或－2或－6 ． 类型三　计算题 10．(12分)计算： (1)－3＋2.19＋5＋＋7.81＋； (2)(－81)÷×÷(－16)； (3)－42－3×22×÷； (4)－11×＋19×＋6×． 解：(1)原式＝－＋(2＋7＋0.19＋0.81)＋ ＝－8＋10＋ ＝2． (2)原式＝(－81)××× ＝1． (3)原式＝－16－3×4×× ＝－16－ ＝－17． (4)原式＝×(－11＋19＋6) ＝×14 ＝－44． 类型四　程序题 11．(4分)如图是某计算程序，若开始输入x＝－，则最后输出的结果是 －7 ． 12．(6分)如图是一个“数值转换机”(箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机)． (1)当小明输入4，－2这两个数时，两次输出的结果依次为 1 ， ； (2)小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 2或7 ． 类型五　定义题 13．(4分)若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为(　C　) A． B．99! C．9 900 D．2! 14．(12分)用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定ab＝ab2＋2ab＋a．例如，13＝1×32＋2×1×3＋1＝16． (1)求(－2)4的值； (2)对于任意有理数x，y，满足x3＝y(－3)，求8x－2y＋5的值． 解：(1)(－2)4＝(－2)×42＋2×(－2)×4＋(－2) ＝(－2)×16＋(－2)×8＋(－2) ＝(－2)×(16＋8＋1) ＝(－2)×25 ＝－50． (2)因为x3＝y(－3)， 所以32×x＋2×3x＋x＝(－3)2×y＋2×(－3)×y＋y，即9x＋6x＋x＝9y－6y＋y． 所以4x＝y． 所以8x－2y＋5＝8x－8x＋5＝5． 类型六　规律题 15．(4分)小明利用某程序设计了一辆小车，最初在数轴上的原点处，第一次向右运动了1个单位长度，紧接着又向左运动了2个单位长度，第三次向右运动了3个 单位长度，第四次向左运动了4个单位长度……按以上规律，小车共运动了101次，由此可以判断小车在数轴上的最后落点表示的数是(　B　) A．50 B．51 C．52 D．－50 16．(4分)观察下列依次排列的一列数：－2，4，－6，8，－10，…，按它的排列规律，则第10个数为 20 ． 类型七　实际应用 17．(4分)某出租车司机早上从家里开车出发开始工作，先向东行驶到距离出发点2 km的地方，然后向西行驶到距离出发点5 km的地方，再向东行驶到距离出发点7 km的地方，最后返回家中．已知该出租车每千米消耗燃油0.08 L，则在这个过程中，该出租车共消耗燃油 2.24 L． 18．(12分)某巡逻车在一条东西方向的大道上巡逻，某天巡逻车从岗亭A处出发，规定向东为正，当天行驶记录如下(单位： km)：＋10，－9，＋7，－15，＋6，－5，＋4，－2． (1)最终巡逻车是否回到岗亭A处？若没有，在岗亭的什么方向？距岗亭多远？ (2)在巡逻过程中，最远处离出发点有多远？ (3)若巡逻车行驶1 km耗油0.1 L，出发前油箱有油10 L，则巡逻完后还剩多少升油？ 解：(1)因为10－9＋7－15＋6－5＋4－2＝－4， 所以最终巡逻车没有回到岗亭A处，在岗亭的正西方向，距岗亭4 km． (2)第一次巡逻离出发点的距离为10 km， 第二次巡逻离出发点的距离为10－9＝1(km)， 第三次巡逻离出发点的距离为10－9＋7＝8(km)， 第四次巡逻离出发点的距离为|10－9＋7－15|＝7(km)， 第五次巡逻离出发点的距离为|10－9＋7－15＋6|＝1(km)， 第六次巡逻离出发点的距离为|10－9＋7－15＋6－5|＝6(km)， 第七次巡逻离出发点的距离为|10－9＋7－15＋6－5＋4|＝2(km)， 第八次巡逻离出发点的距离为|10－9＋7－15＋6－5＋4－2|＝4(km)， 所以在巡逻过程中，最远处离出发点为10 km． (3)10＋|－9|＋7＋|－15|＋6＋|－5|＋4＋|－2|＝58(km)， 58×0.1＝5.8(L)，10－5.8＝4.2(L)． 答：巡逻完后还剩4.2 L油． 类型八　阅读理解 19．(4分)阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如23＝8，此时，3叫作以2为底8的对数，记为log28(即log28＝3)．一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则n叫作以a为底b的对数，记为logab(即logab＝n)．如34＝81，则4叫作以3为底81的对数，记为log381(即log381＝4)．则log24，log216，log264之间满足的关系式为 log24＋log216＝log264 ． 20．(12分)阅读材料，并回答问题： 对于某种满足乘法交换律的运算，如果存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身，那么n叫作这种运算下的单位元．如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元．由上述材料可知： (1)有理数在加法运算下的单位元是 0 ，在乘法运算下的单位元是 1 ；在加法运算下，3的逆元是 －3 ，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是 0 ． (2)在有理数范围内，我们定义一种新的运算：x*y＝x＋y－xy, 例如，3*2＝3＋2－3×2＝－1． ①求在这种新的运算下的单位元； ②在这种新的运算下，求任意有理数m的逆元(用含m的代数式表示)． 解：(2)①设a是新的运算下的单位元． 根据题意，得x*a＝x＋a－ax＝x， 解得a＝0． 所以在这种新的运算下的单位元是0． ②设m的逆元是n， m*n＝m＋n－mn＝0， 解得n＝． 所以任意有理数m的逆元是n＝(m≠1)． 21．(12分)我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：若一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，如1，4，7等；若一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，如2，5，8等；若一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，如3，6，9等． (1)2 024属于 B 类(填“A”“B”或“C”)． (2)①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 B 类(填“A”“B”或“C”)； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 B 类(填“A”“B”或“C”)． (3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 ①④ (填序号)． ①m＋2n属于C类；②|m－n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类． 解：(1)2 024÷3＝674……2，所以2 024被3除余数为2，属于B类． 故答案为B． (2)①从A类数中任取两个数，如：(1＋4)÷3＝1……2，(4＋7)÷3＝3……2，被3除余数为2，则它们的和属于B类． 故答案为B． ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得15×1＋16×2＋17×0＝47， 47÷3＝15……2， 所以余数为2，属于B类． 故答案为B． (3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为m×1＋n×2＝m＋2n． 因为最后的结果属于C类， 所以m＋2n能被3整除，即m＋2n属于C类，①正确； 若m＝1，n＝1，则|m－n|＝0，不属于B类，②错误； 若m＝1，n＝1，则m属于A类，但n不属于C类，③错误； 观察可发现若m＋2n属于C类，则m，n必须是同一类，④正确． 综上所述，①④正确． 故答案为①④． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $