38 专项突破提升(四) 基本的几何图形-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学（青岛版2024）

专项突破提升(四) 基本的几何图形 类型一　图形的认识 1．(4分)下列物体的形状类似于圆柱的是(　D　) 2．(4分)不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是(　C　) A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 3．(4分)《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞．译文：喧哗的雨已经过去、逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为　点动成线　． 类型二　直线和线段的性质 4．(4分)曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，两地间修建曲桥与修建直桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是(　A　) A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．经过一点可以作无数条直线 D．连接两点间线段的长度，叫作两点间的距离 5．(4分)如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为　两点确定一条直线　． 6．(10分)已知平面上点A，B，C，D(每三点都不在一条直线上)． (1)经过这四点最多能确定　6　条直线； (2)如图，这四点表示某公园的四个地方，如果点B，C在该公园的湖的两岸，点A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路线中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？ 解：(1)经过这四点最多能确定6条直线，分别为直线AB，直线AD，直线BC，直线CD，直线AC，直线BD. 故答案为：6. (2)从节省材料的角度考虑，应选择图中路线②；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线①. 因为两点之间线段最短，路线②比路线①短，可以节省材料；而路线①较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光． 7．(10分)知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：如图1，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：如图2，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问：抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？ 图1 图2 解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：如图，连接AB交直线l于点P，则点P即为所求． 理由：两点间所有连线中，线段最短． 赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意不能以破坏环境为代价(答案不唯一，合理即可)． 类型三　线段和直线规律的探索 8．(4分)如图，我们通过观察后可以发现：2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点．那么，4条直线相交，最多有　6　个交点；n条直线相交，最多有　n(n－1)　(用含n的代数式表示)个交点． 9．(12分)观察图形，并回答下列问题： (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路． (2)请你用上面的思路来解决“15名同学聚会，每人都与其他人握一次手，共握了多少次？”这个问题． (3)若15名同学聚会，每人都送给其他人一张名片，则共送了几张？ 解：(1)以A为端点的线段有AB，AC，AD，AE 4条； 以B为端点且与前面不重复的线段有BC，BD，BE 3条； 以C为端点且与前面不重复的线段有CD，CE 2条； 以D为端点且与前面不重复的线段有DE 1条． 所以共有4＋3＋2＋1＝10(条)．或直接利用公式，当n＝5时，＝10(条)． 所以图中共有10条线段． (2)由上面结论可知15×14÷2＝105(次)． 答：共握了105次． (3)15×14＝210(张)． 答：共送了210张． 类型四　线段的有关计算 10．(10分)我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，使其中的一个端点重合在一起再加以比较． (1)已知线段AB，C是线段AB上一点(如图1)．请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与BC的长短(要求保留作图痕迹)． (2)如图2，小明用刻度尺量得AC＝4 cm，BC＝3 cm.若D是AC的中点，E是BC的中点，求DE的长． 图1 图2 解：(1)如图，AB′＝BC，则AC>BC. (2)因为AC＝4 cm，BC＝3 cm，D是AC的中点，E是BC的中点， 所以CD＝AC＝×4＝2(cm)，CE＝BC＝×3＝1.5(cm)． 所以DE＝CD＋CE＝2＋1.5＝3.5(cm)． 11．(10分)如图，有两根木条，一根AB长为80 cm，另一根CD长为130 cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N(圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点)，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少？ 解：本题有两种情形： ①如图1，当A，C(或B，D)重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 图1 MN＝CN－AM＝CD－AB＝65－40＝25(cm)； ②如图2，当B，C(或A，C)重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 图2 MN＝CN＋BM＝CD＋AB＝65＋40＝105(cm)． 综上，两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm. 12．(12分)如图，已知线段AB＝15 cm，CD＝3 cm，E是AC的中点，F是BD的中点． (1)若AC＝4 cm，求线段CF的长． (2)当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时(点C，D不与点A，B重合)，试判断线段EF的长度是否发生变化．若不变，请求出线段EF的长；若变化，请说明理由． 解：(1)根据题意，得AC＝4 cm，CD＝3 cm，AB＝15 cm， 所以BD＝AB－AC－CD＝15－4－3＝8(cm)． 因为F是BD的中点， 所以DF＝BD＝4 cm. 所以CF＝CD＋DF＝3＋4＝7(cm)． (2)线段EF的长度不发生变化． 因为E是AC的中点，F是BD的中点， 所以AE＝AC，BF＝BD. 所以EF＝AB－AE－BF＝AB－AC－BD＝AB－(AC＋BD)＝15－×(15－3)＝15－×12＝9(cm)． 13．(10分)如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP∶BP＝2∶3.若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，求绳子的原长． 解：本题有两种情形： ①当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图1. 图1 因为AP∶BP＝2∶3，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm， 所以2AP＝60 cm. 所以AP＝30 cm. 所以BP＝45 cm. 所以绳子的原长为2AB＝2(AP＋BP)＝2×(30＋45)＝150(cm)． ②当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图2. 图2 因为AP∶BP＝2∶3，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm， 所以2BP＝60 cm. 所以BP＝30 cm. 所以AP＝20 cm. 所以绳子的原长为2AB＝2(AP＋BP)＝2×(20＋30)＝100(cm)． 综上，绳子的原长为150 cm或100 cm. 类型五　角度的计算 14．(12分)在∠AOB内部作射线OC，OD，OA在OB的右侧，且∠AOB＝2∠COD. (1)如图1，若∠AOB＝140°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，则∠EOF的度数为　105°　； (2)如图2，若OE平分∠BOD，探究∠AOD与∠COE之间的数量关系，并说明理由； (3)设∠COD＝m°，OC在OD的左侧，过点O作射线OE，使OC为∠BOE的平分线，再作∠COD的平分线OF.若∠COE＝3∠EOF，画出相应的图形并求出∠BOE的度数．(用含m的代数式表示) 图1 　　 图2 解：(2)∠AOD＝2∠COE.理由如下： 因为OE平分∠BOD， 所以∠DOE＝∠BOD. 根据角的和差可得∠AOD＝∠AOB－∠BOD， ∠COE＝∠COD－∠DOE＝∠AOB－∠BOD＝(∠AOB－∠BOD)， 所以∠COE＝∠AOD. 所以∠AOD＝2∠COE. (3)①如图1，当OF在∠COE外部时． 图1 设∠EOF＝n，则∠COE＝3n，∠COF＝∠COE＋∠EOF＝4n. 因为OC平分∠BOE， 所以∠BOE＝2∠COE＝6n. 因为OF平分∠COD， 所以∠COD＝2∠COF＝8n，即8n＝m°. 所以∠BOE＝m°. ②如图2，当OF在∠COE内部时． 图2 设∠EOF＝n，则∠COE＝3n， ∠COF＝∠COE－∠EOF＝2n. 因为OC平分∠BOE， 所以∠BOE＝2∠COE＝6n. 因为OF平分∠COD， 所以∠COD＝2∠COF＝4n，即4n＝m°. 所以∠BOE＝m°. 综上，∠BOE的度数为m°或m°. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $