50 思想方法集锦-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

思想方法集锦 (时间：90分钟　满分：110分) 方法一　整体法 1．(4分)阅读材料：整体代入法是数学中常用的方法．例如，已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3.根据上述材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式8a＋4b－2的值是(　D　) A．4 B．6 C．8 D．10 2．(4分)把(2a＋b)看作一个整体，则3(2a＋b)－4(2a＋b)＋(2a＋b)的化简结果是(　D　) A．(2a＋b) B．2(2a＋b) C．－(2a＋b) D．0 3．(10分)理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法． 例如，若x2＋x＝0，求x2＋x＋2 024的值． 我们将x2＋x作为一个整体代入，则原式＝0＋2 024＝2 024. 仿照上面的解题方法，解答下列问题： (1)如果a＋b＝3，求2(a＋b)－4a－4b＋21的值； (2)若a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，求a2＋2b2＋6ab的值； (3)当x＝2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值为m，求当x＝－2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值． 解：(1)因为a＋b＝3， 所以2(a＋b)－4a－4b＋21 ＝2(a＋b)－4(a＋b)＋21 ＝2×3－4×3＋21 ＝15. (2)因为a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8， 所以a2＋2b2＋6ab ＝a2＋2ab＋2(b2＋2ab) ＝20＋2×8 ＝36. (3)因为当x＝2 025时， ax5＋bx3＋cx－5＝2 0255a＋2 0253b＋2 025c－5＝m， 所以当x＝－2 025时， ax5＋bx3＋cx－5 ＝－2 0255a－2 0253b－2 025c－5 ＝－(m＋5)－5 ＝－m－10. 方法二　分类讨论法 4．(8分)“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下列问题： 已知|a|＝2，|b|＝8，且ab＜0，求a－b的值． 解：因为|a|＝2，|b|＝8， 所以a＝±2，b＝±8. 因为ab＜0， 所以a＝2，b＝－8或a＝－2，b＝8. 所以a－b＝10或－10. 5．(12分)【问题提出】已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜50°)，求∠BOC的度数． 【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决． (1)当射线OC在∠AOB的内部时， ①若射线OD在∠AOC内部，如图1，则∠BOC＝ 16.1° ；(填度数) ②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数． 【问题延伸】 (2)当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数． 解：(1)②设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α. 因为∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝α. 所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°， 解得α＝34.5°. 所以∠BOC＝34.5°. (2)当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB. 因为∠BOC＜50°，∠AOD＝∠AOC， 所以射线OD的位置也只有两种可能． 设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α. ①当射线OD在∠AOB内部时，如图1所示． 图1 因为∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝4α. 所以∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝3α＋4α＝7α＝80.5°， 解得α＝11.5°. 所以∠BOC＝11.5°. ②当射线OD在∠AOB外部时，如图2所示． 图2 因为∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝α. 所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°， 解得α＝48.3°. 所以∠BOC＝48.3°. 综上，∠BOC的度数是11.5°或48.3°. 方法三　建模思想 6．(8分)【问题呈现】 某中学的学生以4 km/h的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30 min后，学校派一名通信员骑自行车以12 km/h的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍． 【自主思考】 相等关系为 队伍走的路程＝通信员走的路程 ． 【建模解答】(请你完整解答本题) 解：设通信员用x h可以追上队伍． 由题意，得4(x＋0.5)＝12x， 解得x＝0.25. 0．25×60＝15. 答：通信员用15 min可以追上队伍． 7．(10分)在代数式的学习中，我们通过对同一面积的不同表达的比较，得到合并同类项的法则．下面我们利用这种方法来研究速算． 【提出问题】 47×43，56×54，89×81，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 【几何建模】 用长方形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例： ①画长为47、宽为43的长方形，如图，将这个47×43的长方形从右边切下长为40、宽为3的一条，拼接到原长方形的上面． ②分析：原长方形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的长方形面积或(40＋7＋3)×40的长方形与右上角3×7的长方形面积之和，即47×43＝(40＋10)×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2 021. 【模仿应用】 (1)①请仿照上面的方法用长方形的面积表示56×54的乘积； ②填空：89×81＝ 9 ×8×100＋ 9 × 1 ＝7 209.(或9　1　9) 【归纳提炼】 (2)两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 ．(用文字表述) 解：(1)①画图如图． 方法四　方程思想 8．(10分)如图，C，D为线段AB上两点，AC＋BD＝10，AD＋BC＝AB，设CD＝t，求方程3x－7(x－1)＝2t－2(x＋3)的解． 解：因为AD＋BC＝AC＋CD＋CD＋BD＝AC＋BD＋2CD，AB＝AC＋CD＋BD，AC＋BD＝10， 所以AB＝10＋CD，AD＋BC＝10＋2CD. 因为AD＋BC＝AB，设CD＝t， 所以10＋2t＝(10＋t)， 解得t＝2.5. 把t＝2.5代入3x－7(x－1)＝2t－2(x＋3)，得3x－7x＋7＝2×2.5－2x－6， 解得x＝4. 方法五　数形结合思想 9．(12分)O为直线AB上一点，将一直角三角尺OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分∠MOB. (1)如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数． (2)在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数．(用含α的代数式表示) (3)将图1中的直角三角尺OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方． ①探究∠AOM和∠CON之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； ②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数． 解：(1)由已知得∠BOM＝180°－∠AOM＝150°. 因为∠MON＝90°，OC平分∠BOM， 所以∠MOC＝∠BOM. 所以∠CON＝∠MON－∠MOC＝∠MON－∠BOM＝90°－×150°＝15°. (2)∠CON＝α. (3)①∠CON＝∠AOM.理由如下： 设∠AOM＝x，则∠BOM＝180°－x. 因为OC平分∠BOM， 所以∠MOC＝∠BOM＝(180°－x)＝90°－x. 因为∠MON＝90°， 所以∠CON＝∠MON－∠MOC＝90°－＝x. 所以∠CON＝∠AOM. ②设∠AOM＝x，由①知，∠MOC＝90°－x. 因为∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－(180°－x)＝x－90°， 所以∠AOC＝∠AOM＋∠MOC＝x＋90°－x＝90°＋x. 因为∠AOC＝3∠BON， 所以90°＋x＝3(x－90°)， 解得x＝144°. 所以∠AOM＝144°. 方法六　转化思想 10．(4分)把÷转化为乘法是(　D　) A． B． C． D． 11．(4分)“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如，借助图1，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36.请你观察图2，可以把算式转化为 1－＝ ． 方法七　从特殊到一般的思想 12．(12分)阅读材料，解决问题． 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23＝2×2×2；24＝2×2×2×2. 观察上述算式可以得到：23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27，即23×24＝27. 类比上述式子，你能够得到： (1)103×105＝ 108 ； (2)a2·a3＝ a5 ； 利用由特殊到一般的思想，可以得到： (3)am·an＝ am＋n ；(m，n都是正整数) 我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂，因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 知识运用： (4)x3·x＝ x4 ； (5)yn·yn+1＝ y2n+1 ； (6)已知xa＝8，xb＝9，则xa＋b的值是 72 ． 解：(6)因为xa＝8，xb＝9， 所以xa＋b＝xa•xb＝8×9＝72. 故答案为72. 13．(12分)从特殊到一般，是我们学习和认知新事物经常运用的方法． (1)比较大小： ＜ ＜ ＜ ＜ ；(均填“＞”“＜”或“＝”) (2)请你根据上面的材料，利用字母a，b，c(a＞b＞0，c＞0)归纳出一个数学关系式． 解：(2)<(a＞b＞0，c＞0)． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $