3.5共点力的平衡 导学案-2025-2026学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册

该高中物理导学案聚焦共点力平衡的核心知识，从力的合成与分解出发，系统梳理平衡条件、解题方法及典型模型，通过“自主学习—例题精讲—变式训练—学后反思”的结构搭建清晰的学习支架，前后知识点环环相扣，帮助学生建立从概念理解到问题解决的完整思维链条。 本资料突出物理观念的建构与科学思维的培养，以直角三角形法、动态三角形法、相似三角形法和正交分解法等多元策略深化学生对平衡状态本质的理解，强化模型建构与科学推理能力。习题设计层次分明，涵盖静态平衡、动态变化、多体系统等典型情境，注重证据意识与逻辑论证，尤其在例3和例5中体现科学探究精神，引导学生从现象观察走向规律提炼，全面提升物理学科核心素养。

§3.5 共点力的平衡 【学习目标】 1、理解共点力作用下的物体平衡条件及其在解题中的应用。 2、掌握几种常见的平衡问题的解题方法。 【自主学习】 1．共点力 物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的 或者它们的作用线交于 ，这几个力叫共点力。 2．平衡状态： 一个物体在共点力作用下，如果保持 或 运动，则该物体处于平衡状态． 3．平衡条件： 物体所受合外力 ．其数学表达式为：F合＝ 或Fx合= Fy合= ，其中Fx合为物体在x轴方向上所受的合外力，Fy合为物体在y轴方向上所受的合外力． 平衡条件的推论 (1)物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与余下的力的合力等大反向. (2)物体在同一平面内的三个互不平行的力的作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力. (3)物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的有向线段必构成封闭三角形，即表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形. 4．力的平衡： 作用在物体上的几个力的合力为零，这种情形叫做 。 若物体受到两个力的作用处于平衡状态，则这两个力 ． 若物体受到三个力的作用处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力 ． 5.解题途径 当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法. 【典型例题】 一、直角三角形法：如果共点的三个力平衡，且三个力构成直角三角形，则可根据三角形的边角关系，利用三角函数或勾股定理求解． 【例1】如图6所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是(　　) A． B． C． D． 二、动态三角形法： “动态平衡”是指平衡问题中的一个力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力的平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”． 【例2】 如图8所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是(　　) A．增大 B．先减小，后增大 C．减小 D．先增大，后减小 三、相似三角形法： 如果三个共点的平衡力构不成直角三角形，但力三角形与某个几何三角形相似，则可用相似三角形的特点求解． 【例3】 如图所示，一可视为质点的小球A用细线拴住系在O点，在O点正下方固定一个小球B(也可视为质点)．由于A、B两球间存在斥力，A球被排斥开，当细线与竖直方向夹角为α时系统静止．由于某种原因，两球间的斥力减小导致α角减小．已知两球间的斥力总是沿着两球心的连线．试分析α角逐渐减小的过程中，细线的拉力如何变化？ 四、正交分解法： 将各力分解到x轴和y轴上，利用两坐标轴上的合力都等于零(多用于三个或三个以上共点力作用下的物体的平衡)求解．值得注意的是，对x、y轴的方向选择时，要使落在x、y轴上的力尽可能的多，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力． 【例4】 如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ<tanθ，若物体恰好不下滑，则推力F为多少？若物体恰好不上滑，则推力F为多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) ( F α G )【变式4-1】用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止.求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f. ( F θ )【变式4-2】如图所示，在水平面上放有一质量为m、与地面的动动摩擦因数为μ的物体，现用力F拉物体，使其沿地面匀速运动，求F的最小值及方向. 五、整体法与隔离法在共点力平衡问题中的应用 【例5】两刚性球a和b的质量分别为ma和mb，直径分别为da和db(da>db)．将a、b依次放入一竖直放置、内径为d的平底圆筒内，如图13所示．设a、b两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为FN1和FN2，筒底所受的压力大小为F.已知重力加速度为g.若所有接触都是光滑的，则(　　) A．F＝(ma＋mb)g，FN1＝FN2 B．F＝(ma＋mb)g，FN1≠FN2 C．mag<F<(ma＋mb)g，FN1＝FN2 D．mag<F<(ma＋mb)g，FN1≠FN ( O A B P Q )【变式5-1】有一个直角支架AOB，AO水平放置,表面粗糙, OB竖直向下,表面光滑.AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）.现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是（ ） A.FN不变，f变大 B.FN不变，f变小 C.FN变大，f变大 D.FN变大，f变小 【针对训练】 ( O m 1 m 2 )1.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上，线的两端分别细有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=600.两小球的质量比为（ ） A. B. C. D. 2.如图所示，人重600N，木板重400N，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为0.2，现在人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速运动，则（ ） A.人拉绳的力是200N B.人拉绳的力是100N C.人的脚给木块摩擦力向右 D.人的脚给木块摩擦力向左 3.如图所示,均匀杆AB重为G,A端用细绳吊在O点,在B端加一水平力F,使AB静止,此时杆与水平方向夹角为α,细绳与竖直方向成θ角,则（ ） ( O B A θ F α )A.拉力F一定大于G B.绳子拉力T一定大于G C.AB杆与水平夹角α必小于θ D.F足够大时细绳可在水平方向上 4. 现用两根绳子AO和BO悬挂一质量为10N的小球，AO绳的A点固定在竖直放置的圆环的环上，O点为圆环的圆心，AO绳与竖直方向的夹角为（如下左图），BO绳的B点可在环上滑动，已知每根绳子所能承受的最大拉力均为12N，则在B点沿环顺时针缓慢滑到N的过程中（ ） A. 两根绳均不断 B. 两根绳同时断 C. AO绳先断 D. BO绳先断 5.一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是 A.探测器加速运动时，沿直线向后喷气 B.探测器加速运动时，竖直向下喷气 C.探测器匀速运动时，竖直向下喷气 D.探测器匀速运动时，不需要喷气 6．如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态．如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。下列判断正确的是 （ ） A．B端移到B1位置时，绳子张力不变 B．B端移到B2位置时，绳子张力变小 C．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大 D．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小 7. 如下图所示，两个木块的质量分别为和，两个轻质弹簧的劲度分别为和，上面的木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个弹簧处于静止状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为 ，上面木块移动的距离为 。 8. 如图上右图所示，劲度系数分别为、的轻弹簧竖直悬挂着，两弹簧间有一质量为m的重物，最下端挂一质量也为m的重物，用竖直向上的力F托着下端重物，整个装置处于静止状态，此时两弹簧的总长正好等于两弹簧原长之和，则该力F= 。 9. 所图所示，光滑斜面上安装一光滑挡板AO，挡板可绕O处铰链无摩擦转动，在挡板与斜面间放一匀质球，现使挡板从图示位置缓慢转至竖直位置，则此过程中球对挡板的压力的变化情况可能是（ ）。 A. 逐渐减小 B. 逐渐增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 ( F )10.如图所示，两个完全相同的小球，重力大小为G，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ，一根轻绳的两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳的夹角为θ，求当F至少为多大时，两球将会发生相对滑动？ 11.如图所示，两个固定的光滑硬杆OA与OB，夹角为θ，各套一轻环C、D，且C、D用细绳相连，现在用一水平恒力F沿OB方向拉环D，当两环平衡时，绳子的拉力是多大? 12.重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成α角.求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2. 13. 如图所示，质量为的物体A与质量为的物体B叠放在倾角为的斜面上，物体B在平行于斜面向上的拉力F作用下匀速运动，已知A、B总保持相对静止，若A、B间的动摩擦因数均为，B与斜面间的动摩擦因数为，求： （1）则A、B间的摩擦力为多少？ （2）拉力F为多少？ 14．如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止．试求： (1)小环对杆的压力； (2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大． 【学后反思】 ________________________________________________________________________________________________________________________________。 【参考答案】 例1. A 对小滑块受力分析如图所示．根据三角函数可得F＝ FN＝F合＝ 故只有选项A正确． 【方法点拨】本题可用直角三角形法求解，也可用正交分解法求解． 例2 .B 对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如右图所示．由图可看出，FBC先减小后增大． 【方法点拨】利用图解法解题的条件：(1)物体受三个力的作用而处于平衡状态．(2)一个力不变，另一个力的方向不变，第三个力的大小、方向均变化． 动态平衡的分析思路：①确定研究对象，经受力分析，画出受力分析图．②在同一幅图上，画出力变化时的矢量三角形，从而分析两力的变化． 例3．细线的拉力大小不变 解析：系统静止时，对A球受力分析如图所示，将斥力F和线的拉力FT合成，合力与重力G等大反向． 将力FT平移后构成力的矢量三角形△AFP，与长度间的几何三角形△BAO相似． 根据对应边成比例可得：＝， 所以力FT＝·G. AO，BO长度不变，G恒定，故FT大小不变． 在α角逐渐减小的过程中，虽然△BAO形状变化，但在α角确定的瞬间，仍然有△AFP∽△BAO，FT＝·G仍成立．故细线的拉力大小不变． 【方法点拨】在物体受三个力作用而平衡时，可以对物体分析受力后，作力的矢量三角形(即所作力的平行四边形的一半)，寻找力的矢量三角形与几何三角形是否相似，若相似，可用本法．这类问题中的三角形往往不是或不能确定是直角三角形，不方便或不能用力的正交分解法求解． 例4. mg，mg 解析：因为μ<tan θ，F＝0时，物体不能静止在斜面上． 当物体恰好不下滑时，受力如图甲所示，有 mgsin θ＝Fcos θ＋Ff，Ff＝μFN， FN＝mgcos θ＋Fsin θ 联立解得F＝mg 当物体恰好不上滑时，受力如图乙所示，有 mgsin θ＋Ff＝Fcos θ，Ff＝μFN， FN＝mgcos θ＋Fsin θ 联立解得F＝mg. 变式4-1 解析：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定： 当时，f=0；当时，，方向竖直向下；当时，，方向竖直向上. 变式4-2 、，与水平方向的夹角为θ=arctanμ 例5．A ( mg F N α )变式5-1 解析：以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小.答案选B. 针对训练： 1.A 2.BC 3.B 4.C 5.C解析：探测器沿直线加速运动时，所受合力F合方向与运动方向相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。匀速运动时，所受合力为零，因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下.选C ( F F G G v v F 合 ) 6.AD 7. 8. 9.C 10. 11. ( A B G /2 F 1 F 2 α C P O F 2 α F 1 G /2 O )12.解析：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A、C、P点），但它们必为共点力. 设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则 作图可得： 13. 0 14．(1)，方向竖直向下 (2) 解析：(1)以木块M和两个小环作为整体进行受力分析，由平衡条件得2FN＝(M＋2m)g，即FN＝ 由牛顿第三定律知小环对杆的压力FN′＝，方向竖直向下． (2)对M受力分析由平衡条件得2FTcos 30°＝Mg 临界状态，小环受到的静摩擦力达到最大值，则有FTsin 30°＝μF 解得，动摩擦因数μmin＝ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $