精品解析：2019-2020学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，知道俯视图是从物体的上面所观察到的平面图形是解题的关键． 从物体上方观察所得到的平面图形，其中能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示即可得到结果． 【详解】解：从上面看到的图形是一个长方形，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项D中的图形，符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形（ ） A. （x+2）2＝5 B. （x+2）2＝9 C. （x﹣2）2＝9 D. （x﹣2）2＝21 【答案】B 【解析】 【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得． 【详解】∵x2+4x=5， ∴x2+4x+4=5+4，即（x+2）2=9， 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键． 3. 如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（　　）米． A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答． 【详解】解：设两个同学相距x米， ∵△ADE∽△ACB， ∴， ∴， 解得：x=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 4. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　） A. 100sin35°米 B. 100sin55°米 C. 100tan35°米 D. 100tan55°米 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度． 【详解】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°， ∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选C． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 5. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ） A. a＝b B. a＝2b C. a＝2b D. a＝4b 【答案】B 【解析】 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 6. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE=，再证明△AFE∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例得出BF=BE=，然后证明△ADF≌△ABF，即可得出DF=BF=． 【详解】∵在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点， ∴∠BAE=90°，AE=AD=AB=1， ∴BE==， ∵AE∥BC， ∴△AFE∽△CFB， ∴， ∴BF=2EF， ∵BF+EF=BE， ∴BF=BE=， 在△ADF与△ABF中， ， ∴△ADF≌△ABF， ∴DF=BF=． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出BF=BE=是解题的关键． 7. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象相交于，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的解集就是二次函数图像再反比例函数图像上方的部分对应的取值范围，然后结合图像得出答案即可． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴观察图像可知它在轴的左侧，当时，二次函数的图像位于反比例函数图像的上方； ∵在轴右侧，即当时，二次函数的图像也位于反比例函数图像的上方， ∴关于的不等式的解集是或． 【点睛】本题主要考查的是函数和不等式的关系，清楚上方的图像对应的函数值大于下方的图像对应的函数值是解决本题的关键． 8. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应如下表所示：下列说法：①；②；③；④当时，；⑤关于x的方程的解是．正确的有（ ）个． x … 0 1 2 3 … y … 3 6 7 6 … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系、二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线， ∴该函数的顶点坐标是，有最大值，开口向下， ∴， ∵时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵图象经过点， ∴，故②正确； ∵由表格可得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； 由表格可得，当时，或，故④错误； ∵函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴关于x的方程的解是．故⑤正确； 所以，正确的结论是②③⑤，共3个， 故选：B． 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是_____． 【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2） 【解析】 【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把A点的横纵坐标分别乘以或即可得到点A′的坐标． 【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2，4）或[﹣2×（），4×（）]，即点A′的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故答案为（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 11. 已知函数与的图象的一个交点坐标是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数与的图象的一个交点坐标是，得出，，再把要求的式子进行变形，然后代值计算即可． 【详解】解：∵函数与的图象的一个交点坐标是， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 12. 如图，矩形的对角线交于点O，点E是矩形外一点，，，连接交于点F、连接．若，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，再根据可得是菱形，然号再推导，继而得到是等边三角形，利用勾股定理求出线段长即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴ 又∵， ∴是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 13. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图1）．A点距离水平面为米，即．如果曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流（如图2），水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是，该抛物线的顶点是，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，直接利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出a的值，再求出当时x的合适值即可． 【详解】解：由题意可得，设抛物线解析式为： ， 当时，， 则， 解得：， 故抛物线解析式为：， 当时，， 解得：，（不合题意舍去）， 故圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 故答案为：． 14. 如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由_____个小正方体组成． 【答案】38 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前往后分层数，如图所示： 共有个， 答：这个立体图形由38个小正方体组成． 故答案为：38． 三、作图题（本题满分4分） 15. 尺规作图：如图，已知和线段，求作：菱形，使，对角线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题关键是熟知菱形的性质． 作，作的角平分线，在射线上截取，作线段的垂直平分线交于，交于，连接，，四边形即为所求． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 四、解答题： 16. 解方程及计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ． 17. 在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝色，个红色． 从袋中随机摸出个，求摸到的是蓝色小球的概率； 从袋中随机摸出个，用列表法或树状图法求摸到的都是红色小球的概率； 在这个袋中加入个红色小球，进行如下试验：随机摸出个，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？ 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可得； 【详解】（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得； （3）根据大量重复实验时，频率可估计概率列出方程求解可得． 解：∵个小球中，有个蓝色小球， ∴（蓝色小球）； 画树状图如下： 共有种情况，摸到的都是红色小球的情况有种， （摸到的都是红色小球）； ∵大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在， ∴摸到红色小球的概率等于， ∴， 解得：． 【点睛】考查概率的求法，用频率估计概率，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.画出树状图是解题的关键. 18. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． （1）根据图中数据，求出段双曲线的关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和20比较，大于20则能讲完，否则不能． 【小问1详解】 解：段的关系式为， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 设、所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ． 【小问2详解】 令， ， 令， ， ， 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 19. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为，大厦底部B的俯角为，求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．（参考数据：） 【答案】小明家所在居民楼与大厦的距离的长度是40米 【解析】 【分析】设米，则，在中，根据，得出，根据建立方程，即可求解． 【详解】解：设米． 在中，， 则， ∴； 在中，， 则， ∴． ∵， ∴ 解得：， 答：小明家所在居民楼与大厦的距离的长度是40米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键． 20. 学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数 销售价格 不超过30件 单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元 【答案】王老师购买该奖品的件数为40件． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案． 试题解析：∵30×40=1200＜1400， ∴奖品数超过了30件， 设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400， 解得：x1=40，x2=70， ∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30， ∴x=70不合题意舍去， 答：王老师购买该奖品的件数为40件． 考点：一元二次方程的应用． 21. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： （1）； （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可得出； （2）由直角三角形的性质和三角形中位线定理可得到，根据平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴； 【小问2详解】 证明：∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵点G是斜边上的中点， ∴， 又∵平行四边形中，，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 22. 某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元∕件） … 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 … （1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式； （2）当销售单价定为多少时，工厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）时每天获得的利润最大，为9000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系． （1）根据表格中的x、y的值利用待定系数法确定一次函数的解析式即可； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：设函数y与x的表达式为：， 根据题意可得 解得：． 函数关系式为：； 【小问2详解】 工厂每天获得的利润为W元，由题意得： ， ∴当时，每天获得的利润最大，为9000元． 23. 问题提出： 将一个边长为（）的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 【问题探究】 要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律． 探究一：将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 如图，从上往下，共有行，我们先研究平行四边形的个数： （）第一行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． （）第二行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 为便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此第二行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 即：第二行平行四边形总共有个． 所以如图，平行四边形共有个． 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个． 所以：如图，菱形共有个． 探究二：将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 如图，从上往下，共有行，我们先研究平行四边形的个数： （）第一行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． （）第二行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第二行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 即：第二行平行四边形总共有个． （）第三行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第三行平行四边形还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第三行平行四边形还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 即：第三行平行四边形总共有个． 所以：如图，平行四边形共有个． 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个，边长为3的菱形共有个． 所以：如图，菱形共有个． 探究三：将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 如图，从上往下，共有行，我们先研究平行四边形的个数： （）第一行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． （）第二行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第二行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 即：第二行平行四边形总共有个． （）模仿上面的探究，写出图中第三行探究过程； （）按照以上规律，第四行平行四边形总共有 个． 所以：如图，平行四边形共有 个． 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个． 所以：如图，菱形共有个． 【问题解决】 将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 ，菱形的个数是 （用表示）． 【实际应用】 将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是个，则 ． 【拓展延伸】 将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形的个数之比是时，的值 ． 【答案】【问题探究】（）见解析；（）个，个；【问题解决】，；【实际应用】；【拓展延伸】 【解析】 【分析】问题探究：（）模仿前面的探究写出探究过程即可； （）根据规律写出结果即可； 问题解决：根据规律写出结果即可； 实际应用：根据规律列出方程，解方程即可求解； 拓展延伸：设①，则②，由①②可得，再根据题意列出方程即可求解； 本题考查了图形的规律变化问题，一元一次方程和一元二次方程的应用，找到图象的变化规律是解题的关键． 【详解】解：问题探究：（）第三行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个， 底在第三行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个， 底在第三行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个， 即：第三行平行四边形总共有个； （）按照以上规律，第四行平行四边形共有个， 所以，如图，平行四边形共有 个， 故答案为：，； 将一个边长为的菱形的四条边都n等分，连接对边对应的等分点， 根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是个， 菱形的个数个， 故答案为：，； 实际应用：由题意得，， ， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：设①， 则②， ①②，得， ∴， ∴由题意得，， 解得或（不合，舍去）， ∴的值为， 故答案为：． 24. 如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和，，分别交于点P和点Q，连接，设运动时间为 （1）连接，若四边形为平行四边形，则t的值是 ； （2）设的面积为，求y与t的函数关系式； （3）运动时间t为何值时，？ 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识，用代数式表示运动过程中线段的长度并且正确地列出相应的方程是解题的关键． （1）由四边形为平行四边形，可得，然后分别用含有t式子表示与即可求t的值； （2）证明，则，即，得到，则，由（1）知，即可求解； （3）先确定出，进而得出的余弦值，利用三角函数得出，即可得出，再判断出，建立方程即可得出结论， 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和， ∴t秒后，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 即：， 解得：， 故答案为2； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 由（1）知， ∴； 【小问3详解】 解：∵于Q， ∴四边形是矩形， ∴， 由运动知，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，即， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2019-2020学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（ ） A. （x+2）2＝5 B. （x+2）2＝9 C. （x﹣2）2＝9 D. （x﹣2）2＝21 3. 如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（　　）米． A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　） A. 100sin35°米 B. 100sin55°米 C. 100tan35°米 D. 100tan55°米 5. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ） A. a＝b B. a＝2b C. a＝2b D. a＝4b 6. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象相交于，则关于的不等式的解集为（ ） A B. C. D. 或 8. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应如下表所示：下列说法：①；②；③；④当时，；⑤关于x的方程的解是．正确的有（ ）个． x … 0 1 2 3 … y … 3 6 7 6 … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是_____． 11. 已知函数与图象的一个交点坐标是，则的值为______． 12. 如图，矩形的对角线交于点O，点E是矩形外一点，，，连接交于点F、连接．若，则线段的长为____________． 13. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图1）．A点距离水平面为米，即．如果曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流（如图2），水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是，该抛物线的顶点是，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 14. 如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由_____个小正方体组成． 三、作图题（本题满分4分） 15. 尺规作图：如图，已知和线段，求作：菱形，使，对角线． 四、解答题： 16. 解方程及计算： （1） （2） 17. 在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝色，个红色． 从袋中随机摸出个，求摸到的是蓝色小球的概率； 从袋中随机摸出个，用列表法或树状图法求摸到的都是红色小球的概率； 在这个袋中加入个红色小球，进行如下试验：随机摸出个，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？ 18. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． （1）根据图中数据，求出段双曲线的关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 19. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为，大厦底部B的俯角为，求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．（参考数据：） 20. 学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数 销售价格 不超过30件 单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元 21. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： （1）； （2）连接，求证：四边形是菱形． 22. 某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据： 销售单价x（元∕件） … 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 … （1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式； （2）当销售单价定为多少时，工厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 问题提出： 将一个边长为（）的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 【问题探究】 要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律． 探究一：将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 如图，从上往下，共有行，我们先研究平行四边形的个数： （）第一行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． （）第二行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 为便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此第二行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 即：第二行平行四边形总共有个． 所以如图，平行四边形共有个． 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个． 所以：如图，菱形共有个． 探究二：将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 如图，从上往下，共有行，我们先研究平行四边形的个数： （）第一行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． （）第二行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第二行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 即：第二行平行四边形总共有个． （）第三行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第三行平行四边形还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第三行平行四边形还包括斜边长为，底长为平行四边形，共有个． 即：第三行平行四边形总共有个． 所以：如图，平行四边形共有个． 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个，边长为3的菱形共有个． 所以：如图，菱形共有个． 探究三：将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？ 如图，从上往下，共有行，我们先研究平行四边形的个数： （）第一行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． （）第二行有斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 底在第二行还包括斜边长为，底长为的平行四边形，共有个． 即：第二行平行四边形总共有个． （）模仿上面的探究，写出图中第三行探究过程； （）按照以上规律，第四行平行四边形总共有 个． 所以：如图，平行四边形共有 个． 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为菱形共有个，边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个，边长为的菱形共有个． 所以：如图，菱形共有个． 【问题解决】 将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 ，菱形的个数是 （用表示）． 【实际应用】 将一个边长为的菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是个，则 ． 【拓展延伸】 将一个边长为菱形的四条边分别等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形的个数之比是时，的值 ． 24. 如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和，，分别交于点P和点Q，连接，设运动时间为 （1）连接，若四边形为平行四边形，则t的值是 ； （2）设的面积为，求y与t的函数关系式； （3）运动时间t为何值时，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $