6.1 反比例函数 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的概念建构，以“路程一定时速度与时间的关系”等真实情境为起点，通过复习一次函数引入新知，层层递进地引导学生从具体问题中抽象出变量乘积恒定的本质特征，构建起从生活现象到数学模型的学习支架。 本设计突出核心素养导向，体现“数学眼光”中的抽象能力与“数学思维”中的逻辑推理。例如，通过对比正比例函数与反比例函数的表达式差异，帮助学生厘清“比值为定值”与“乘积为定值”的本质区别，强化概念辨析；小组合作探究环节让学生自主归纳定义，发展符号意识和推理能力。练习题设置由浅入深，涵盖实际应用与变式拓展，既夯实基础又激发思维，助力学生形成结构化认知，也为教师提供可操作、可迁移的教学范式。

6.1反比例函数 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（上册）第六章“反比例函数”的第1节。内容包括理解反比例函数的概念，能根据实际问题列出反比例函数关系式，掌握反比例函数的三种表达式 （二）教学内容解析 本节是继一次函数、二次函数后的第三种基本函数，是对函数概念的进一步深化。从实际问题（如路程一定时速度与时间的关系、矩形面积一定时长与宽的关系）入手，通过分析变量间的对应关系，抽象出反比例函数的定义，为后续学习反比例函数的图象和性质奠定基础。同时，本节内容也是解决实际生活中反比例关系问题的重要工具，体现了数学建模思想。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】反比例函数定义的归纳. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能准确说出反比例函数的定义，会判断一个函数是否为反比例函数，能根据已知条件求反比例函数的解析式。 2. 通过分析实际问题中的变量关系，经历反比例函数概念的抽象过程，提升数学建模能力和抽象思维能力。 3. 感受反比例函数与实际生活的紧密联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣。 （二）教学目标解析 1、知识目标解析：学生需明确反比例函数的本质是“两个变量的乘积为非零常数”，能区分反比例函数与一次函数、正比例函数的差异；给定具体情境（如工程问题、购物问题），能正确列出反比例函数关系式，并根据一组变量值求出k的值，确定函数解析式。 2. 过程目标解析：通过小组讨论分析实际问题中的变量关系，学生能自主发现“变量乘积不变”的规律，进而归纳出反比例函数的定义，在这一过程中，逐步掌握从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法。 3. 情感目标解析：通过解决与生活相关的反比例函数问题（如手机话费套餐中通话时间与单价的关系），让学生意识到数学在生活中的应用价值，增强用数学知识解决实际问题的信心。 三、学生学情分析 已已有知识基础：学生已学习过函数的基本概念，掌握了一次函数和正比例函数的定义、图象及性质，具备分析变量间关系的初步能力，能根据实际问题列出简单的函数关系式。 可能存在的困难：对“反比例关系”的理解易与“正比例关系”混淆，难以准确把握“乘积为定值”与“比值为定值”的差异。 抽象出反比例函数定义时，可能无法从多个实际问题中提炼出共同特征，对k≠0的条件理解不深刻。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】反比例函数定义的归纳 四、教学策略分析 1. 情境导入策略：通过呈现3-4个贴近生活的实际问题（如“从学校到图书馆的路程为1200米，若步行速度为v米/分，步行时间为t分钟，试写出v与t的关系”“一个矩形的面积为20平方厘米，若长为x厘米，宽为y厘米，写出x与y的关系”），引导学生列出函数关系式，为抽象反比例函数概念做铺垫。 2. 对比教学策略：将反比例函数与学生已学的正比例函数进行对比，通过表格形式呈现两者“比值为定值”与“乘积为定值”的本质差异，帮助学生区分两种函数，加深对反比例函数定义的理解。 3. 小组合作探究策略：设置小组任务，让学生分组分析所列出的实际问题函数关系式，找出它们的共同特征（如变量乘积为常数、自变量在分母位置等），自主归纳反比例函数的定义，培养合作交流和抽象概括能力。 4. 分层练习策略：设计基础题（判断函数是否为反比例函数、求简单的解析式）、提升题（结合实际问题列解析式并确定自变量取值范围）、拓展题（已知反比例函数图象上一点坐标求k值），满足不同层次学生的学习需求，让每个学生都能获得成就感。 五、教学过程分析 （一）复习引入 观看视频，写出满足条件的关系式： （1）火箭在向上飞行的过程中速度是7.8千米/秒，求飞行距离s(千米)与飞行时间t(秒)之间的关系式. （2）火箭横截面可以看作是一个圆形，求直径d(米)与周长c(米)之间的关系式. （3）火箭在飞行过程中，垂直向上飞行的路程是93.6千米，求飞行速度v(千米/秒)与飞行时间t(秒)之间的关系式. （4）如图所示，火箭在飞行过程中，垂直向上飞行的路程是93.6千米，飞行速度是7.8千米/秒，求火箭距离拐角处的距离s(千米)与飞行时间t(秒)之间的关系式. （5）火箭的燃料是265吨，求每秒燃烧的平均吨数m(吨/秒)与燃烧时间t(秒)之间的关系式. 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 问题1：观察上述关系式，它们是函数关系式吗？ 知识链接1：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 追问：那它们是什么函数？ 问题2：观察剩余函数关系式，它们有什么共同特点？ 问题4：类比一次函数（或正比例函数）的定义，你能给上面的函数下定义吗？ 反比例函数的定义： . 知识链接2：若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数. 例1：下列函数表达式中，x均为自变量，那么那些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ 追问：下面这些是反比例函数吗？ 练习：1.一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 2.某村有耕地346.2hm2，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（hm2/人）是全村人口数的n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值. （1） 写出这个反比例函数的表达式； （2） 根据函数表达式完成上表. 变式1： 已知y与x + 1成反比例，当x＝－2时，y＝2.求y与x之间的函数表达式; 追问： 已知 y +1与 x + 1 成反比例，当x＝－2时，y＝2.求y与x之间的函数表达式. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.计划修建铁路 1200 km,那么铺轨天数 y(d)是每日铺轨量 x(km/d)的反比例函数吗? 2.三角形的面积 S 是常数，它的一条边长为 y,这条边上的高为 x,那么 y 是 x 的函数吗?是反比例函数吗? 3.反比例函数y= 中常数 k为 ( )。 A.-3 B.2 C. D. 4.已知点 A（3，4）在反比例函数y= 中常数 k=_______。 B 提升关键能力 6.用电器的电流 I、电阻 R、电功率 P 之间满足关系式 P=I²R.已知 P=5W,填写表格并回答问题 (1)变量 R 是变量 I 的函数吗? (2)变量 R 是变量 I 的反比例函数吗? 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $