15.3 等腰三角形课件2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定定理及其应用，从“等角对等边”的直观认知出发，通过问题驱动、探究活动与典型例题层层递进，构建起性质与判定之间的逻辑桥梁，形成清晰的学习支架。课堂由几何直观引入，逐步过渡到尺规作图、坐标系中的动态分析和实际情境建模，前后知识衔接自然，符合学生认知发展规律。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如在探究1-1中引导学生观察图形中的角度关系并抽象出等腰三角形结构，体现几何直观与推理能力；在问题二中设计多条件辨析题，强化逻辑推理意识；在第3题坐标系作图环节，借助数形结合表达现实问题，提升模型观念与应用意识。教学内容层次分明，既有基础巩固又有思维拓展，既利于学生建立系统知识体系，也便于教师精准把握重难点，实现高效课堂。

第2课时　含30°角的直角三角形的性质 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的边等于斜边的一半. 2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行简单计算和证明. 3 课堂探究 问题一 探究1-2:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别为D,E,F,则图中的线段存在2倍关系的有(　　) A.7组 B.8组 C.9组 D.10组 问题二 如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=30°,AD⊥CB于点D,CD=2,则CB= 　　　　.  探究2-1:如图,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,DE⊥AC于点E.若EC=3,则DC的长为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 探究2-2:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.若△ABC一条边的中线长为4,则△ABC的斜边长为 　　　　.  探究2-3:如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED; (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长. 学后反思 1.通过本节课的学习,你发现了含30°角的直角三角形有什么特殊的性质?你用它解决了什么问题? 2.学习本节课后,你还有什么疑问?提出一些还未解决的问题. 课后作业 基础题 1.如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,AC=6,则CD的长为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 图1 2.如图2,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°,这棵树在折断前的高度为(　 　) A.6米 B.9米 C.12米 D.15米 3.如图3,上午8时,一条轮船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°.若以同样的速度继续前行,则上午　 　时轮船与灯塔C距离最近.  B 图3 11 图2 拓展题 4.如图4,△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,E是线段AC上一点,连接BE并延 长至D,连接CD.若∠BCD=120°,AB=2CD,AE=7,则线段CE的长为 　　.  图4 图5 谢谢观赏！ 14 在△ABC中,已知∠C=90°,∠A=30°,求证:BC= AB. 探究1-1:在△ABC中,∠C=90°,BC= AB,是否可以得出∠A=30°?你能证明吗?若∠A=30°且BC= AB,能否证明∠C=90°? 5.如图5,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=120° ,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,求证:AE=AB. 证明:如图,连接AD, ∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=(180°-120°)=30°. 又∵AD为等腰三角形ABC底边的中线, ∴AD⊥BC,AD平分∠BAC. ∴∠DAE=∠BAC= ×120°=60°. 又∵DE⊥AB,∴∠ADE=90°-60°=30°. 在Rt△ABD中,∠B=30°,∠ADB=90°,∴AD=AB. 在Rt△AED中,∠ADE=30°,∠AED=90°, ∴AE=AD=·AB=AB. $15.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°. 2.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,培养推理和运算的能力及应用意识. 3 课堂探究 问题一 等边三角形是特殊的等腰三角形,你能结合图形说出它们的区别和联系吗? 探究1-1:等边三角形是三边都　　　　的特殊的等腰三角形.  问题二 复习回顾等腰三角形的性质,你能说出等边三角形有哪些性质吗?你能结合图形进行证明吗? 探究2-1: (1)等边三角形的性质:等边三角形的三个角都　　　　.  (2)在等边三角形ABC中,∠A=∠B=∠C=　　　　.  探究2-2:类比归纳. 分类 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 边 角 “三线合一” 轴对称图形 问题三 如何判定一个三角形是等边三角形呢?一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形? 探究3-1:(1)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC: ①若AB=BC,则△ABC为　　　　三角形;  ②若∠A=60°,则△ABC为　　　　三角形;  ③若∠B=60°,则△ABC为　　　　三角形.  小结:等边三角形的判定方法——三个角都　　　　的三角形是等边三角形;有一个角是　　　　的等腰三角形是等边三角形.  (2)在△ABC中,AB=AC=5,∠A=60°,则BC=　　　　.  探究3-2:如图,现给出四个论断:①DB=DE;②CE=CD;③BD是△ABC的中线;④△ABC是等边三角形. 请以其中的三个为条件,余下的一个为结论,组成一个正确的命题(只需写出一种),并给予证明. 已知:　　　　　　,　　　　　　,　　　　　　.  求证:　　　　　　.  证明: 问题四 如图1,已知△ABC为等边三角形,点D,E,F分别在边BC,CA,AB上,且△DEF也是等边三角形.除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的. 图1 探究4-1:如图2,D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,则∠AFE=　　　　.  图2 探究4-2:一个六边形的六个内角都是120°(图3),连续四条边的长依次为1,3,3,2,则这个六边形的周长是(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 图3 学后反思 1.通过本节课的学习,你掌握等边三角形的性质和判定方法并学会用等边三角形的相关性质解决简单的实际问题了吗?请从性质与判定方法两个方面总结和归纳等腰三角形和等边三角形的联系和区别. 2.学习本节课后,你还有什么疑问?提出一些还未解决的问题. 课后作业 基础题 1.下列条件中,不能得到等边三角形的是(　 　) A.三边都相等的三角形 B.三个角都相等的三角形 C.有一个角等于60°的三角形 D.有两个角等于60°的三角形 2.如图1,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BAE为(　 　) A.145° B.150° C.155° D.160° C B 图1 3.如图2,在平面直角坐标系中,△AOB是等边三角形,若点B的坐标是(3,0),则点A的坐标是(　 　) 图2 C 4.如图3,点P是∠AOB内任意一点,OP=4,点C和点D分别是射线OA和射线OB上的动点,△PCD周长的最小值是4,则∠AOB的度数是(　 　) A.25° B.30° C.35° D.40° B 图3 5.如图4,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,P是AB上一动点,连接OP,以O为圆心,OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD.如果PO= PD,那么AP的长是　 .  6 图4 拓展题 6.如图5,在△ABC中,AB=AC=BC,点D,E,F分别在BC,AB,CA边的延长线 上,BE=AF=CD.求证:△DEF是等边三角形. 图5 7.如图6,在六边形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC= 11,FA-CD=3,则BC+DE=　 　.  14 图6 谢谢观赏！ 19 A. B. C.(,) D. 证明:∵AB=AC=BC,∴△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,∴∠EAF=∠EBD=120°. ∵BE=CD,∴BE+AB=CD+BC,即AE=BD. 在△BDE和△AEF中, ∴△BDE≌△AEF(SAS),∴EF=ED, 同理可得△AEF≌△CFD, ∴EF=FD,∴EF=ED=FD,∴△DEF为等边三角形. $15.3　等腰三角形 15.3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线 重合. 2.经历探究等腰三角形的性质的过程,培养和发展分析归纳、合情推理的能力. 3.掌握等腰三角形的性质,会用等腰三角形的性质解决有关问题. 3 课堂探究 问题一 等腰三角形是轴对称图形吗?如何说明它是轴对称图形?它有几条对 称轴? 探究1-1:有两条边　　 　的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫作腰,另一边叫作　 　　,两腰所夹的角叫作　 　　,底边与腰的夹角叫作　　　　. 探究1-2:等腰三角形具有哪些性质?对于课本中给出的性质,你可以用多种方法来证明吗? 探究1-3:对于等腰三角形的性质,有人得出一个结论:“等腰三角形三线合一.”你觉得对吗?请说出你的看法,如果是对的,请叙述完整结论并给出证明. 问题二 如图,在△ABC中,AC=AD=DB,∠C=70°,则∠CAB的度数为(　　) A.75°　　　　　B.70°　　　　　 C.40°　　　　　D.35° 探究2-1:已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则它的底角为　　　　　　.  探究2-2:已知△ABC是等腰三角形,且∠A+∠B=130°,求∠A的度数. 问题三 已知等腰三角形的两条边分别为6和8,则等腰三角形的周长是(　　) A.20 B.22 C.20或22 D.不确定 探究3-1:某等腰三角形的周长是21 cm,一条腰上的中线把其分成两部分且两部分周长的差为3 cm,该三角形的腰长是 　　　　　cm.  探究3-2:已知一个等腰三角形的三边长为x,2x-1,5x-3,则其周长为 　　　　.  问题四 如图,在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB,且CN=AC,连接AN交BC于点M.求证:BM=CM. 学后反思 1.通过本节课的学习,你掌握等腰三角形的性质了吗?会用等腰三角形的性质解决有关问题了吗? 2.学习本节课后,你还有什么疑问?提出一些还未解决的问题. 1.已知等腰三角形的两边长分别为6和14,则这个等腰三角形的底边长是(　　) A.6 B.6或14 C.14 D.34 2.已知等腰三角形的周长为19,一边长为8,则此等腰三角形的底边长为(　　) A.3 B.8 C.3或8 D.8或5.5 课后作业 基础题 A C 3.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠B=65°,点D在BA的延长线上,AE平分 ∠DAC,则∠DAE的度数是(　　) A.50° B.65° C.75° D.130° B 图1 4.如图2,在△ABC中,AB=AC=5,F是BC边上任意一点,过点F作FD⊥AB于点D,FE⊥AC于点E.若S△ABC=10,则FE+FD=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则等腰三角形的底角为　 　.  B 图2 67.5°或22.5° 拓展题 6.已知在△ABC中,AB=AC,∠A=α,过△ABC其中一个顶点的直线把 △ABC分成两个等腰三角形,则α的值为　 　. 7.如图3,在△ABC中,AB=AC=CD,点D在BC上,且AD=BD. (1)求证:∠ADB=∠BAC. (2)求∠B的度数. (1)证明:∵AB=AC,AD=BD. ∴∠B=∠C,∠B=∠1.∴∠C=∠1, ∵∠ADB=∠2+∠C,∠BAC=∠2+∠1,∴∠ADB=∠BAC. (2)解:∵AC=CD,∴∠2=∠ADC. 又∵∠ADC=∠B+∠1,∴∠2=2∠B. 在△ABC中,∠B+∠BAC+∠C=5∠B=180°,∴∠B=36°. 图3 谢谢观赏！ 15 90°,108°,36°或()° $第2课时　等腰三角形的判定 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 2.能用尺规作图:已知底边及底边上的高线作等腰三角形. 3.能运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算. 3 课堂探究 问题一 根据等腰三角形的性质,有人总结出一个说法:等角对等边.你觉得对吗?请你说出你的看法,如果是对的,请叙述完整结论并给出证明. 探究1-1:如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠B=∠DAE=36°,则图中等腰三角形共有(　　)个 A.3 B.4 C.5 D.6 探究1-2:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,CE平分 ∠ACB,CE交BD于点O,那么图中的等腰三角形个数为(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 探究1-3:在△ABC中,∠A=30°,∠B=70°,直线将△ABC分成两个三角形,如果其中一个三角形是等腰三角形,那么这样的直线有(　　)条 A.5 B.7 C.9 D.10 问题二 如图,AD是△ABC的边BC上的中线,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　　　.(把所有的正确答案的序号都填在横线上)  ①∠BAD=∠ACD; ②∠BAD+∠B=∠CAD+∠C; ③AB+BD=AC+CD; ④AB-BD=AC-CD. 探究2-1:如图,DB=DC,∠ABD=∠ACD,求证:AB=AC. 探究2-2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF是等腰三角形. 问题三 如图,已知平面直角坐标系内点P(4,3),在坐标轴上找一点A,使△AOP是等腰三角形(利用尺规作图,找到所有满足条件的情况,保留作图痕迹,并简单写出作图说明). 探究3-1:已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,3),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有　　　　个.  学后反思 1.通过本节课的学习,你掌握等腰三角形的判定方法了吗?可以灵活运用等腰三角形的性质与判定方法解决问题了吗? 2.学习本节课后,你还有什么疑问?提出一些还未解决的问题. 1.在三角形中已知两个内角,能判定这个三角形是等腰三角形的是 (　　) A.30°,60° B.40°,70° C.50°,60° D.100°,30° 课后作业 基础题 B 2.如图1,下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(　　) A.∠B=∠C B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD C.AD⊥BC,BD=CD D.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD D 图1 3.如图2,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(　　) 图2 A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ A 4.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD,交AB于点E,则下列结论一定成立的是(　　) A.AE=EC B.EC=BE C.BC=EC D.BC=BE D 图3 5.在△ABC中,∠B=50°,当∠A为　 　时,△ABC是等腰三角形.  6.如图4,在△ABC中,∠B=25°,∠A=100°,点P在△ABC的边上运动.当△PAC成为等腰三角形时,其顶角的度数是　 　.  50°,65°或80° 图4 100°,55°或70° 拓展题 7.如图5,在△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,BC=12 cm,AC=20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为 1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设出发的时间为t s.　 备用图 图5 (1)BP=　　　　cm.(用含t的代数式表示)  (2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形? (3)当点Q在边CA上运动时,出发 　　　　s后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?  解:(1)(16-t) (3)11或12 谢谢观赏！ 18 探究3-2:如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=8 cm,动点P从点A出发,记时间为t s,以2 cm/s的速度沿线段AB向点B运动.在运动过程中,当△APC为等腰三角形时,此时t可能的值为(　　) A.5 B.5或8 C. D.4或 (2)当点Q在边BC上运动,△PQB为等腰三角形时,则有BP=BQ, 即16-t=2t,解得t=,∴出发 s后,△PQB是等腰三角形. $第3课时　探究与发现——三角形中边与角之间的不等关系 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.能利用轴对称的性质探究三角形的边角不等关系. 2.能利用三角形边角相等的知识,解决边角之间的不等问题. 3 课堂探究 问题一 复习回顾:三角形中的不等关系. (1)三角形任意两边之和　　　　第三边;  (2)三角形一个外角　　　　任何一个与它不相邻的内角.  探究1-1:已知P是△ABC内一点,试说明∠BPC>∠BAC. 问题二 和你的同学各自任意画出一个△ABC,用有刻度的直尺测量边AB和CA,用量角器测量∠B和∠C的度数,分别比较AB和CA,∠B和∠C的大小,大家互相交流,能得出什么结论?你可以想到几种方法来证明结论的正 确性? 探究2-1:如图1,在四边形ABCD中,四条边不等,其中AD边最长,BC边最短,求证:∠B >∠D. 证明:连接BD,如图2, 在△ABD中,　　　　最大,可知　　　　>　　　　,  ∴　　　　>　　　　(大边对大角).  在△BCD中,　　　　最小,可知　　　　>　　　　,  ∴　　　　>　　　　(大边对大角).  ∴　　　　+　　　　>　　　　+　　　　.  即　　　　>　　　　.  图1 图2 探究2-2:如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线.设AD的长为m,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,由“SAS”可证得△ACD≌△EBD.因此EB=3.在△ABE中,根据三角形三边的不等关系,可得AE长度的取值范围是　　　　　,从而得到△ABC的中线AD长度的取值范围,即m的取值范围是　　　　.  探究2-3:如图,在△ABC中,AB>AC,AD为∠BAC的平分线. 证明:(1)∠3>∠4;(2)BD>CD. 学后反思 1.结合本节课的学习,请你归纳总结有关三角形边与角的不等关系的结论. 2.本节课的学习给了你什么启发?可以与老师和同学们交流你的体会. 课后作业 基础题 1.在△ABC中,已知BC>AB>AC,那么∠A,∠B,∠C的大小关系为(　 　) A. ∠A>∠B>∠C B. ∠A>∠C>∠B C.∠B>∠C>∠A D. ∠B>∠A>∠C 2.如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角,这个三角形一定是 ( 　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 B A 3.如果一个三角形的两边长分别为3和5,则第三边长可能是(　 　) A.1 B.2 C.6 D.8 4.下列选项中,∠2大于∠1的是( 　) C B A B C D 5.在锐角三角形ABC中,AB>BC>CA,且最大内角比最小内角大24°,求∠A的取值范围. 解:52°<∠A<68° 拓展题 6.如图,AB=AC,点D在BC上,点E在BC的延长线上.求证:AD<AB<AE. 证明:∵∠ADC>∠ACD>∠E, ∴AD<AC<AE. 又AB=AC, ∴AD<AB<AE. 谢谢观赏！ 14 $