精品解析：湖北省孝感高级中学2025-2026学年高一上学期阶段性诊断考试数学试题

湖北省孝感高级中学2025级阶段性诊断考试 高一数学试卷 命题教师：连天培 审题教师：张翔 考试时间：2025年9月15日14：20-16：20 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，，函数，若，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为U，集合A，B满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数满足，则的最小值为 D. 若，且，则的最大值为7 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. 若，则 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设集合，，已知且，则的取值集合为________. 13. 已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戒演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 设函数（） （1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 17. 已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． （1）请根据基本不等式，证明：； （2）请利用（1）的结论，证明：； （3）如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 18. 定义在上的函数满足，且. （1）求； （2）证明：； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省孝感高级中学2025级阶段性诊断考试 高一数学试卷 命题教师：连天培 审题教师：张翔 考试时间：2025年9月15日14：20-16：20 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由题意，若集合，则. 故选：C. 2. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定，结合分式不等式的解法即可下结论. 【详解】，则. 由，得，即，解得， 所以命题为假命题. 故选：C 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】用立方差公式，按照充要条件的定义推理即可. 【详解】依题意有， 故，， 于是即，充分性获证， 取，则，但，故无必要性， 故选：A. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可． 【详解】由题：的定义域为，即， 所以的定义域为， 又中， 综上：的定义域为， 故选：D． 5. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 6. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数 【详解】解：集合， 所以集合中的元素个数为9， 故其真子集的个数为个， 故选: 7. 设集合，，函数，若，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，根据函数解析式，即可求出的取值范围. 【详解】根据函数解析式，可得当时，，当时， 因为，故可得，解得， 又因为，故令，解得. 故. 故选：B. 【点睛】本题考查由分段函数的函数值范围求解自变量范围的问题，属基础题. 8. 设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设函数与x轴的两个交点的横坐标为： ，，，根据题意有，且，结合求根公式，列式可求的值. 【详解】设函数与x轴的两个交点的横坐标为： ，，， 且由题意可得， 所以函数的定义域为，且. 由题意可知，，， 所以函数的值域为，即， 因为所有的点（s，）构成一个正方形区， 所以，所以，所以， 整理可得，，因为，所以. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集为U，集合A，B满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由集合的运算即可得解. 【详解】全集为U，集合A，B满足，当且仅当， 所以，故A正确；，即不一定成立，故B错误； 对于C，若是的真子集，则不成立， 对于D，正确. 故选：AD. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数满足，则的最小值为 D. 若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A选项，中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，，则，且， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，结合题意分析求解即可；对于C：分析可知，分析和两种情况运算求解；对于D：，整理可得，分和两种情况运算求解即可. 【详解】对于A：取，故A错误； 对于B：因为，可得， 又因为，即，可得，即，故B正确； 对于C：若，则， 又因为，则， 当时，； 当时，； 综上所述：，故C错误； 对于D：设，则， 所以， 当时，， 可得， 故当时，成立； 当时，则， 可得， 故当时，成立；故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 13. 已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戒演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 16. 设函数（） （1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将问题转化为，恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意. 当时，有，即，解得， 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ； 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． （1）请根据基本不等式，证明：； （2）请利用（1）的结论，证明：； （3）如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）米 【解析】 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【小问1详解】 证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 【小问2详解】 解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. 【小问3详解】 解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 18. 定义在上的函数满足，且. （1）求； （2）证明：； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 法一：由（1）知当时，； 又由题意，当时，； 而当时，，， 令，可得，所以. 综上所述，，. 法二：， 若存在使，则有，这与题设矛盾， 所以，. （3） 【解析】 【分析】（1）由，令求解； （2）法一：由（1）知当时，，再根据时，判断时即可；法二：由，再排除不存在使即可； （3）令，方法，再结合（2）的结论，令，将问题转化为对任意，恒成立求解. 【小问1详解】 解：由，令，得， 因为不恒为0，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在条件式中令，可得， 又由（2）知，，所以. 令，则对任意，，即恒成立. 记，，取时，有最大值1， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第三问基本思路是先得到，再令，将问题转化为对任意，恒成立，令，求得其最大值而得解. 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）4950 （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以，共有k个， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $