1.1.3 集合的基本运算 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的基本运算，涵盖交集、并集、全集与补集的定义、性质及应用。课堂导入通过因数、区间等实例分析引出概念，再抽象概括运算性质，结合例题、练习与作业，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以实例抽象定义培养数学眼光，用性质对比表格、Venn图及数轴强化数学思维，通过含参数集合问题提升数学语言表达能力。采用数形结合与问题驱动，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

数学北师大版 高一上 一、交集与并集 实例分析 1.设集合A={x|x是6的因数},B={x|x是8的因数},C={x|x是6和8的公因数},则集合C是由集合A与集合B的所有公共元素组成的. 2．设集合D={x|-1≤x≤2},E={x|x≥0} ,F={x|0≤x≤2},则集合F是由集合D与集合E的所有公共元素组成的. 1.3集合的基本运算 一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集, 记作 A∩B,读作“A交B”, 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 可用Venn图表示. 根据交集的定义,对于任何集合A,B,有 抽象概括 A∩B=B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B; 特别地,A∩A=A A∩∅=∅ B A A∩B=A A B A∩B=∅ 例5求下列每一组中两个集合的交集: (1)A={x|x是不大于10的正奇数},B={x|x是12的正因数}; (2〉C={x|x是等腰三角形},D={x|x是直角三角形}. 解(1)因为A={x|x是不大于10的正奇数}={1,3,5,7,9}，B={x|x是12的正因数}={1,2,3,4,6,12}， 所以A∩B={1,3,5,7,9}∩{1,2,3,4,6,12}={1,3}; (2）依题意知C∩D ={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形} ={x|x是等腰直角三角形}. 实例分析 1.设集合A={x|x-2=0},B={x|x＋2=O},C={x|(x-2)(x+2)=0},则集合C是由所有属于集合A 或属于集合B的元素组成的. 2．设集合D={x|-1≤x≤2},E={x|x>0},F={x|x≥-1}, 则集合F是由所有属于集合D或属于集合E的元素组成的. 由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的并集(如图), 记作AUB(读作“A并B”),即 AUB={x|x∈A,或x∈B}. 抽象概括 根据并集定义,容易知道,对于任何集合A,B,有 A∪B A B AUB=BUA，A⊆AUB,B⊆AUB; 特别地， AUA=A，AU∅=A. 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）． A∪B A B A∪B A B 并集 交集 性质 A∪B_____B∪A； A∪A＝_____； A∪∅＝_____； A∪B______A； A∪B______B A∩B____B∩A；A∩A＝A； A∩∅＝∅； A∩B______A； A∩B______B ＝ ＝ A A ⊇ ⊆ ⊇ ⊆ A B 例6已知集合A={X|-1≤X≤2},B={X|0≤X≤3},求A∩B,AUB. 解在数轴上表示出集合A,B(如图),则 A∩B={X|-1≤X≤2}∩{X|0≤X≤3}={X|0≤X≤2} AUB={X|-1≤X≤2}U{X|0≤X≤3}={X|-1≤X≤3} 练习 A=｛x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学｝， B=｛ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，求A∩B 解： A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合． 所以，A∩B=｛x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝. 举例验证下列等式,并与同学讨论交流: (1)(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (2)(AUB)UC=AU(BUC). 由上述结论,(A∩B)∩C可记作A∩B∩C; (AUB)UC可记作AUBUC. 作业布置 若A＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}，B＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，A∪B＝B，求p，q满足的条件． 解：B＝{1,2}，而A∪B＝B，则A⊆B， 故A＝∅或A＝{1}，{2}，{1,2}． ①若A＝∅，则x2＋px＋q＝0无解， 即Δ＝p2－4q<0，∴p2<4q时，A⊆B. ②若A＝{1}， 则x2＋px＋q＝0有两相等实根1，得Δ=0和1+p+q=0 显然p＝－2，q＝1， 即p＝－2，q＝1时，A⊆B. ③若A＝{2}，则x2＋px＋q＝0有两相等实根2， 得Δ=0和4+2p+q=0 显然p＝－4，q＝4， 即p＝－4，q＝4时，A⊆B. ④若A＝{1,2}，则x2＋px＋q＝0的两根为1,2， 由根与系数的关系易求出p＝－3，q＝2， 即p＝－3，q＝2时，A⊆B. 综上可知，p，q满足条件为p2<4q； 设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a. 【解】　∵A∩B＝{－3}， ∴－3∈B. ∵a2＋1≠－3， ∴①若a－3＝－3，则a＝0， 此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}， 但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾， ∴a≠0. ②若2a－1＝－3，则a＝－1， 此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}， 综上可知a＝－1. 备选例题 1．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}， B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}， 求A∪B，A∩B. 解：∵A＝{x|－2≤x≤3}， B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}， 如图所示， 故A∪B＝{x|x≤3，或x>a，a≥4}， A∩B＝{x|－2≤x<－1}． 全集 在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集, 常用符号U表示. 全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素. 设U是全集,A是U的一个子集(即 A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集(或余集)(如图), 记作∁UA, 即∁uA={x|x∈U，且xA}. 例如,设全集U=R,则无理数集是有理数集Q的补集,可以表示为 由补集的定义可以知道AU(∁UA)=U， ∁UQ. A∩(∁UA)=∅ 例7设全集U={x|x是小于10的整数},A={2,4,6,8},B={2,3,5,7}, 求∁UA，∁UB. 解依题意知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},因为A={2,4,6,8},B={2,3,5,7}, 所以CUA={1,3,5,7,9},CUB={1,4,6,8,9}. 例3试用集合A,B的交集、并集、补集分别表示图1-16中I,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分所表示的集合. 解 I部分:A∩B; Ⅱ部分:A∩（CUB); Ⅲ部分:B∩(CuA); Ⅳ部分:Cu(AUB)或(CUB)∩(CuA). 例8设全集U=R,A={xΙx<5},B={x|x>3},求:(1)CR(A∩B); (2)CR(AUB);(3)(CRA)∩(CRB);(4)(CRA)U(CRB). 解（1)在数轴上表示出集合A,B(如图1-12)，则A∩B={x|x<5}∩{x|x>3}={x|3<x<5}，所以 CR(A∩B)={xlx≤3,或x≥5}; (2〉由图可知AUB={x|x<5}U{x|x>3}=R, 所以CR(AUB)=R; (3)在数轴上表示出集合CRA,CRB(如图),即CRA={x|x≥5}，CRB={x|X≤3},所以(CRA)∩(CRB)={x|x≥5}∩{x|x≤3}=∅; (4)(CRA)U(CRB)={x|x≥5}U{x|x≤3} ={x|x≥5，或x≤3} 设全集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1＝0有实数根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}，求(∁UM)∩N. ∁ ∁ 1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合． 知识小结 3．注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 2．区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件． 布置作业1;设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a. 【解】　∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B. ∵a2＋1≠－3， ∴①若a－3＝－3，则a＝0， 此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}， 但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾， ∴a≠0. ②若2a－1＝－3，则a＝－1， 此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}， 综上可知a＝－1. 作业2;已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C. 【解】　由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2， ∴A＝{1,2}． 又A∪B＝A，∴B⊆A (1)若B＝∅， 即方程ax－2＝0无解， 此时a＝0 (2)若B≠∅， 则B＝{1}或B＝{2} 正解：当m＝0时，x＝－1，即0∈M； 当m≠0时，Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，且m≠0. 综上知m≥－. 故集合M＝{m|m≥－}，∴∁UM＝{m|m<－}． 而对于N，Δ＝1－4n≥0，即n≤，∴N＝{n|n≤}． ∴(∁UM)∩N＝{x|x<－}． $