精品解析：吉林省东北师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期开学假期学习验收测试数学试题

2024级高二年级上学期假期学习验收测试 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题中为真命题的是（　　） A. 已知是空间中任意五点，则 B. 若向量，满足．则 C. 若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D. 若，则四点共面 4. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各组向量，能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 任意向量满足 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 13. 设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 14. 如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______． 15. 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求： （1）AC1的长； （2）直线BD1与AC所成角的余弦值. 16. 如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明，并求直线到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，E，F分别为，的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）若，求侧面与侧面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二年级上学期假期学习验收测试 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 3. 下列四个命题中为真命题的是（　　） A. 已知是空间中任意五点，则 B. 若向量，满足．则 C. 若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D. 若，则四点共面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，即可判断A项；根据已知可推得，即可判断B项；根据空间向量可以平移，即可判断C项；由空间向量共面定理可判断D. 【详解】对于A，，注意前者是零向量，后者是实数0，故A错误； 对于B，注意向量相等时，向量所在直线互相平行或重合，因此当时，，四点可能在一条直线上，故B错误； 对于C，空间中的任意两个非零向量都可以平移到同一起点，则这两个向量可以是共面向量，故C错误； 对于D，因为，若“，不共线”，有四点共面，若“，共线”，则四点在同一直线上，则有四点共面，故D正确． 故选：D. 4. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【详解】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 7. 对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可． 【详解】空间任意一点和不共线的三点， 令， 若，则，， ，， 所以四点共面， 所以充分性成立； 若四点共面， 当与四个点中的一个（比如点）重合时， ，可取任意值，不一定有， 即不一定有， 所以不能得到， 故必要性不成立， 所以“”是“四点共面”的充分不必要条件， 故选：B. 8. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各组向量，能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】能构成空间基底，则这三个向量不共面，判断向量是否共面，即可得. 【详解】A：设存在实数使得，则，即无解，所以向量不共面，能构成空间基底，对； B：由坐标运算得，即共面，不能构成基底，错； C：设存在实数使得，则，即无解，所以不共面，能构成空间基底，对； D：设存在实数使得，则，即无解，所以不共面，能构成空间基底，对. 故选：ACD 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 任意向量满足 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的定义即可判断A；根据空间向量共面定理的推论即可判断B；根据空间向量基本定理即可判断C；根据时，，即可判断D. 【详解】对于A，表示与共线的向量， 表示与共线的向量， 而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误； 对于B，因为，且， 所以四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，若， 当共面时，则， 所以，无解，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，时，，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项. 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图： 在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，， 所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，利用投影向量的计算公式进行求解. 【详解】， 可得在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 13. 设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 14. 如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：. 15. 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求： （1）AC1的长； （2）直线BD1与AC所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出的长； （2）分别求出的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】解：（1）， （2） ， 所以直线BD1与AC所成角的余弦值为. 16. 如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明，并求直线到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明:以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，E，F分别为，的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）若，求侧面与侧面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点G，连接. 因为F为的中点，所以∥且, 因为底面为正方形，E为中点，所以∥且， 所以∥且，所以四边形为平行四边形，所以∥. 因为平面，平面， 所以直线∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，推出∥且即四边形为平行四边形，所以∥，平面，平面，命题得证； （2）取的中点，的中点，连接，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据法向量定义分别求出侧面与侧面的法向量，再根据求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，因为为正三角形，故， 因为侧面底面，交线为，平面，所以底面， 又，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又，故，，， 故，，，，， ，，， 设平面的法向量为，那么 解得，令，则，所以. 同理，设平面的法向量为，则 解得，，令则. 设侧面侧面与侧面所成角为θ，那么 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $