精品解析：四川省乐山沫若中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2027届高二开学考试 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为45° B. C. 线段的长度为1 D. 直线与所成的角为60° 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9. 已知中，点，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. C. 点A的坐标为 D. 的面积为4 10. 已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数在区间单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 11. 如图正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 正方体被面分割成两部分的体积比为 B. 点C到平面的距离为. C. 四面体的外接球体积为 D. 二面角的大小为 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12. 已知向量，，且，则______． 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15. 如图，在四棱锥中，平面，，为侧棱的中点，且． （1）证明：； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面四面体的体积为的面积为. （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，证明：BC⊥平面 （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在一点N，使平面与平面 夹角为，若存在，求的长.若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二开学考试 （试卷满分：150分 试题量：19） 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算确定复数，再根据复数虚部的概念确定复数的虚部. 【详解】因为，所以. 所以复数的虚部为：. 故选：B 2. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式求出圆柱的高，再代入侧面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的高为h， ，解得， . 故选：D 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的平行关系判断AB两个选项，根据直线与平面的垂直和平行关系判断CD两个选项. 【详解】对于A：若，则可能有，A错误； 对于B：若，则也可能异面或相交，B错误； 对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误； 对于D：若，则，又，则，D正确. 故选：D. 4. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 5. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合八面体的特性计算数量积即可. 【详解】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 6. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦两角和差公式，求出和，进而求出结果. 【详解】， 则，， 解得，得， 即， 故选：B. 8. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为45° B. C. 线段的长度为1 D. 直线与所成的角为60° 【答案】C 【解析】 【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9. 已知中，点，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. C. 点A的坐标为 D. 的面积为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D. 【详解】 因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数在区间单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出，然后根据正弦函数的对称中心公式和单调性以及平移规则判断选项即可. 【详解】因为函数的两个相邻对称轴之间的距离为， 所以，所以，所以A正确； 所以函数的解析式为. 令，解得. 当时，，所以B错误； 因为，所以， 根据正弦函数的性质可知此时函数单调递增，C正确； 将的图象向右平移个单位后得， 与不一致，所以D错误. 故选：AC. 11. 如图正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 正方体被面分割成两部分的体积比为 B. 点C到平面的距离为. C. 四面体的外接球体积为 D. 二面角的大小为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用棱锥的体积公式计算分割成的三棱锥的体积，用间接法计算另一部分体积求其比值即可；对于B，先证平面，即得点C到平面的距离即即可；对于C，根据图形判断四面体与正方体共外接球易得其体积；对于D，证明是二面角的平面角，在中求其正切值即可判断. 【详解】 对于A， 如图正方体被平面分割成的较小部分的体积为， 而较大部分的体积为，则正方体被面分割成两部分的体积比为，故A正确； 对于B，连接，设交点为点，则， 因平面，平面平面，则， 又平面，故平面， 则点C到平面的距离即，故B正确； 对于C，因四面体的外接球即正方体的外接球， 故其半径为，其体积为，故C正确； 对于D，连接，交于点，连接，因平面，平面，则， 又，平面，则平面， 因平面，故，即是二面角的平面角， 因，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】解：因为，，且， 所以，解得； 故答案为： 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 14. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①如图1，把原三棱柱补成正方体，则正方体对角线为外接球的一条直径，根据求出半径，再根据面积公式求解. ②如图2，取中点E，F，G构造面，由与线线平行推出与面平行，根据边长关系进一步推出四边形即为唯一的等腰梯形，求其面积即可. 【详解】如图1，将三棱柱补成正方体， 则外接球的半径，则外接球的表面积为． 如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG． 因为F，G分别为的中点，所以且． 在直三棱柱中，且． 因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面． 因为E，F分别为的中点，所以． 又,，所以． 因为且F，G分别为的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形． 当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 在等腰梯形中，,． 过点G作的垂线，交于点H， 所以． 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15. 如图，在四棱锥中，平面，，为侧棱的中点，且． （1）证明：； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得，进而得平面，即可得； （2）利用三棱锥的体积公式求三棱锥的体积即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以; 【小问2详解】 由，由（1）知，平面， 又三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以，所求三棱锥的体积． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 17. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）； （3）最大值为3，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图方法求出解析式. （2）利用正弦函数的性质求出单调递增区间. （3）利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 依题意，， 当时，，则当，即时，； 当或，即或时，. 所以在区间上的最大值为3，最小值为0. 18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2） 取的中点，连接，， 因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）由二面角的定义知是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理可知平面，所以即为与底面所成角，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面，平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面四面体的体积为的面积为. （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，证明：BC⊥平面 （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在一点N，使平面与平面 夹角为，若存在，求的长.若不存在，说明理由 【答案】（1） （2） 取的中点，连接，由，得，由平面平面， 平面平面平面，得平面，即， 则，由平面平面，得， 又平面平面，则，而平面， 因此平面， （3） 存在： 由（2）知，又平面，则， 而的面积为，，则，， 由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则， 取，得， ，由平面与平面的夹角为， 得，解得，即为的中点， 所以. 【解析】 【分析】（1）应用等体积法计算，结合线面平行得出点到平面距离； （2）由平面平面性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理证明； （3）应用空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算求参. 【小问1详解】 设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为，得，解得， 而平面平面，则平面， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $