4.3.1 对数的概念 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦对数概念的建构与应用，以神舟二十号航天情境导入，通过大数乘法运算问题引发认知冲突，借助数学史中纳皮尔对数表的发现过程，引导学生从指数运算逆向思考，逐步建立对数定义，实现从已知到未知的知识迁移。 本设计亮点突出，融合HPM教学理念与问题链驱动策略，体现“类比推理”“转化与化归”“数形结合”等核心素养。例如在探究环节利用GeoGebra绘制函数图像验证对数存在性，强化逻辑推理能力；通过ClassIn平台开展互化游戏化闯关，提升学生参与度与运算素养。课堂结构清晰，注重思维进阶与价值认同，既帮助学生构建严谨的数学概念体系，又为教师提供可复制、可拓展的教学范式，助力深度学习落地。

《对数的概念》教学设计 高中数学 夏意 一、教学设计说明 0. 教材分析 本课选自新人教版A版普通高中教科书数学必修第一册第四章第三节的第1课时。对数的引入是解决方程中已知两个量求第三个量问题的延续，其概念与简单性质是“概念——运算——函数”研究路径的又一次强化。在本单元中，本节内容承前启后，既是本章第一节所学指数运算的逆运算，又是对数运算乃至对数函数学习的启蒙课。对数函数模型作为大数处理的关键概念和必备工具，是高中数学中的重要内容。 对数概念的引入充满逻辑推理的必然性奥义,也渗透着一般概念建构以及创生的多个方面:在建构概念的过程中既要考虑要概念的存在性和引入的必然性，还要考虑新概念与旧知识的相互关联和印证，更要关注新概念下知识体系的逐步搭建。因此，这部分内容对于培养学生的创新精神，渗透数学学习过程中的逻辑推理、形象直观、数学运算素养有着重要价值。 0. 学情分析 知识结构上，学生已经学习了指数、指数幂运算及指数函数，经历过研究新函数的基本思想过程，这为学生研究“对数”提供了理论基础与探究方向。 能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可如何使学生将已有的知识经验成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的转变，是本节课需要重点突破的。 1. 教案 课题 §4.3.1 对数的概念 学科 数学 授课人 夏意 授课对象 高一年级学生 教 学 目 标 （1）了解对数发展的历史，经历对数简化运算的过程，夯实提出问题、分析问题、解决问题的能力，渗透数学文化价值，培养逻辑推理素养。 （2）能从对数概念的形成过程中感知一个新概念的建立发展过程，在深刻理解对数概念形成的必然性前提下熟练掌握指数式、对数式的相互转化，促进化归思想的内化，学会用数学的思维分析世界。 （3）在指数式、对数式相互转化运算的基础上研究对数的一些基本性质，进一步提升数学运算素养，建立严谨求实的科学态度，体会数学家刻苦钻研的理性精神。 教学重点 对数概念的建构与简单性质的理解运用。 教学难点 对数概念的理解。 教学方法 HPM教学法，问题链驱动学习，跨学科项目式学习 教学媒体 GeoGebra，ClassIn，XMind 教学过程 教学环节 师生活动 设计意图 创 设 情 境 引 出 问 题 【情境导入】 4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭点火发射，无数人为我国航天事业的伟大突破欢呼雀跃！当我们仰望星空，好奇宇航员们在月球上的所见所闻时，也别忘了月球本身就像一个神秘的“太空舞者”，始终围绕着地球不停旋转。 若月球围绕地球进行一次公转时，其平均速度约为1024米/秒，且此次公转过程所经历的时间为2097152秒。 问题一： 根据上述已知条件，计算月球绕地球公转一圈的路程是多少米？ 预设：1024×2097152 【思考】能否简化计算方法，提高运算速度？ 用我国神舟二十号登月新闻时事开场，瞬间激发学生的爱国热情，让课堂思政化落到实处。 大数的乘法运算是本节课的主线，这个问题的提出自然地交代了后面的教学都是围绕解决多位数乘法运算问题而展开的。 追 根 溯 源 探 索 新 知 【历史探源】 16世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学蓬勃发展，天文学家们需要对庞大的天文数据进行快速而准确的计算，但计算机还未诞生，他们迫切地需要新的运算方法来提高工作效率。 1714年，德国数学家斯蒂菲尔研究了这样的两组数： 苏格兰数学家纳皮尔发现，其中的规律恰好可以简化运算！ 【运算优化】 问题二： 利用上表的对应关系，快速计算出1024×2097152的结果。 预设：在表中找到对应的数字所在位置，将其改写为指数形式。 2147483648 问题三： 同样，利用上表简化计算以下式子 （1）2621448192 （2） （3） 预设答案： （1）2621448192 （2） （3） 【探究】 上述简便计算的关键是什么？分别将整数的乘法、除法、乘方、开方转化为什么运算？ 【存在性探讨】 问题四： 当遇到5、11、24、35……这些不是某个数的整数次方的数字时，还能否将其转化为指数形式？ 教师引导：将问题转化为， 这样的 预设：存在！作和两个函数的图象，它们只有一个交点，故这样的不仅存在，而且还唯一。 HPM切入，将数学史融入课堂教学中，直击对数诞生的历史根源——天文学，让学生感同身受天文学家的苦恼，理解改进数值计算方法的迫切需要。 通过利用数表查找对应的计算过程，感知对数名称中“对”的深刻内涵是对应。 感知“降级运算”的核心思想，为后续学习对数的运算性质奠定基础。 利用GeoGebra绘制函数图象，旧知迁移，运用数形结合的方法探索指数的存在性。 旧 知 迁 移 新 课 讲 授 【类比学习】 问题五： 如何将上述表示出来？ 【回顾】引入减法 （1）已知，求 引入除法 （2）已知，求 （3）已知求 （4）已知，求 ?引入开方 引入什么 【概念建构】 对数的定义： 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 书写规范： 问题六： 指数式和对数式中三个量分别代表什么？它们的范围是什么？ 【辨析定义】 判断下列对数式形式是否正确 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【性质探究】 英国数学家布里格斯根据人们使用十进制的习惯，编制了以为底的对数表格。以为底的对数叫做“常用对数”，并把记为； 欧拉在18世纪系统研究了无理数,将以为底的对数叫做“自然对数”，并把记为。 【自主探究】 计算下列式子，归纳出一般性的结论 1、 2、 3、 4、 游戏探究：利用ClassIn平台进行“指数式与对数式互化”游戏化闯关游戏。 小组竞赛：每组抽取卡片（指数式与对数式互化），通过抢答强化书写规范。 对数的性质： （1） （2） （3）对数恒等式： （4）负数和没有对数 基于类比推理的学习模式，让创造一种新的数学运算的过程完全符合学生的认知规律，设置台阶，有效降低认知负荷，让对数定义的得出水到渠成。 充分体现对数与指数的关系，理解对数概念的来龙去脉，突出转化与化归的数学思想。 自主探究环节，充分发挥学生的主体作用，使学生在课堂上既有动手操作的实践活动，又有动脑思索和探究数学的思维活动，让课堂充满生命活力。 引导学生从个性中寻找共性，提升学生发现、归纳、总结的能力，渗透数学学科核心素养中的数学抽象和逻辑推理。 典 例 精 析 多 元 认 知 例题1：计算下列各式的值 （1） （2） （3） （4） 例题2：将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例题3：(2020年全国3卷改编) Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的模型:，其中为最大确诊病例数。当时，标志着已初步遏制了疫情，则约为( ) (的单位:天) A.60 B.63 C.66 D.69 以新冠疫情传播的动态研究为背景，通过对数与指数的互化强化指数与对数之间的内在联系，凸显转化与化归的数学思想，体现数学模型和数学运算的核心素养。 总 结 回 顾 拓 展 延 伸 【课外引申】 物理：对数用于测量声音的分贝; 化学：对数用于求“PH”值; 生物：对数用于估算生物死亡的年数; 地理：对数用于计算地震强度…… 拉普拉斯说:“对数的发现，因其缩短了计算时间而延长了天文学家的寿命。” 【归纳提炼】 1、知识内容 2、数学思想:数形结合、转化与化归 3、推理形式:类比推理、归纳推理 【课后作业】 必做作业: 1.课本第123页习题4.3.1 2.探究:从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗? 选做作业: 阅读课本第128页《对数的发明》 首尾呼应，嵌入数学史及身边的实际问题，加以名人名言让学生深刻感受到对数的魅力，激发学生对本节课所学内容的认同感和满足感。 授人以鱼不如授人以渔，采用思维导图的形式进行知识小结，直观清晰，有利于学生知识结构的建构。 第1题为基础性作业，为所有学生搭建共同平台，旨在夯实“四基”，培养“四能”。 第2题为探究性作业，起到承上启下的作用，推动思维发展，为学有余力的同学提供深层次探究的机会。 阅读性作业，让学生将学习从课堂延伸到课外，带领学生体验数学史的魅力，发挥德育之效，同时也是因材施教的教学原则的具体运用。 板 书 设 计 教 学 反 思 本次教学以“问题驱动”为主线，以“历史—问题—应用”为轴，结合HPM视角，将数学史融入课堂，通过情境化、探究化的活动设计，引导学生经历对数的自然生成过程，主动建构知识。突破传统教学中“定义—公式—练习”的单一模式，实现“概念建构—思维发展—价值认同”三位一体的深度学习，实现了数学素养与人文素养的双重提升。 后续可进一步设计“对数计算尺”手工活动，深化学生对数学工具演变的理解。 学科网（北京）股份有限公司 $