精品解析：上海市华曜浦东实验学校2025-2026学年上学期九年级数学9月考试卷

2025学年第一学期阶段教学质量调研初三数学试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题每小题4分，满分24分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列说法中不正确的是（ ） A. 与方向相反 B. C. D. 5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25 6. 给定，现进行如下操作： ①如图（1）所示，分别以点A、为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧两个交点的线段交于点，连接； ②如图（2）所示，取上一点，连接交于，并使得能平分； ③过点作的平行线交于点，作交于点．则下列说法不正确的是（ ） A. 为重心 B. 与均可平分 C. D. 二、填空题（本大题每小题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 已知，则________． 8. 如果两个相似三角形的对应中线的比是，那么它们的周长比是_____． 9. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是__________千米． 10. 设点是线段的黄金分割点，厘米，那么线段的长是___________厘米． 11. 计算：______． 12. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 13. 如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为__________米． 14. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 15. 如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____． 16. 如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点E、F在边BC上，且∠EAF=∠C，则BF·CE= ______． 17. 新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是__________． 18. 在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 19. 已知，，求：代数式的值. 20. 已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设． （1）用表示（直接写出答案）． （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果． 21. 已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． （1）联结，如果，求证：； （2）在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） 22. 已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． （1）填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； （2）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 23. 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点C在第一象限，点D在线段上，，，，，垂足为E，连接． （1）请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段的长（用含t的代数式表示）； （2）当时，求t的值； （3）的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M． （1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值； （2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当M为边DC的三等分点时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期阶段教学质量调研初三数学试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题每小题4分，满分24分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 2. 如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 3. 在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 只有当时，， 理由是：∵，， ∴， ∴， ∴， 而其它选项都不能推出，即不能推出或，即不能推出， 即选项A、B、C都错误，只有选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4. 已知，下列说法中不正确的是（ ） A. 与方向相反 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴与方向相反，故正确； B．∵，∴或与共线，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，故正确； 故选：B． 5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， 又S△DOE：S△COA=1：25， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴， ∴S△BDE与S△CDE的比是1：4， 故选B． 6. 给定，现进行如下操作： ①如图（1）所示，分别以点A、为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧两个交点的线段交于点，连接； ②如图（2）所示，取上一点，连接交于，并使得能平分； ③过点作的平行线交于点，作交于点．则下列说法不正确的是（ ） A. 为重心 B. 与均可平分 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行线等分线段定理、重心、相似三角形的判定与性质等知识点，弄清各线段、面积间的关系成为解题的关键． ①由作法可知：所作的是线段的垂直平分线，为中线；②由能平分，则点P为的中点，即为中线；然后再根据重心、平行线等分线段定理、三角形的面积等知识逐步分析即可解答． 【详解】解：．①由作法可知：所作的是线段的垂直平分线，为中线； ②由能平分，则点P为的中点，即为中线； 则中线和中线的交点G为重心，即A正确，不符合题意； 由重心的性质可得， ∵ ， ∴， ∴； 同理：； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D选项正确； ∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∴，即C选项正确，不符合题意； 只有B不能推出，得不到与均可平分． 故选B． 二、填空题（本大题每小题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 已知，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的基本性质、分式的基本性质等知识点，灵活运用等式的基本性质和分式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为2． 8. 如果两个相似三角形的对应中线的比是，那么它们的周长比是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．先根据相似三角形的对应中线的比为得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为， ∴其相似比等于， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 9. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是__________千米． 【答案】16 【解析】 【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【详解】解：根据题意，1.6÷=1600000厘米=16千米． 即实际距离是16千米． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 10. 设点是线段的黄金分割点，厘米，那么线段的长是___________厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义可知，由此列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ，即， 令，则 即， ， ，（舍） 线段的长是厘米． 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割点、解一元二次方程，根据黄金分割点的定义列出一元二次方程是解题的关键． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算：向量的线性运算，先去括号，再运用向量的加减运算进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为： 12. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：． 14. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 【答案】##1:2 【解析】 【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值． 【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示： ∵D为BC中点，DG∥BF， ∴∠CGD=∠CFB， 又∵∠C=∠C， ∴△CDG∽△CBF， ∴，即：CG=CF=FG， 又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， 同理可得：△AEF∽△ADG， ∴，即：AF=AG=FG， ∴AF=FG=GC， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解． 15. 如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，正切，一元一次方程的应用，解题的关键在于确定线段之间的数量关系． 根据题意可设正方形边长，再利用正切，求出，接着利用求解即可． 【详解】因为为正方形，所以可设正方形边长， 在中，， ， ，解得， ，解得， ，解得， 正方形的边长为． 故答案为：． 16. 如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点E、F在边BC上，且∠EAF=∠C，则BF·CE= ______． 【答案】16； 【解析】 【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式． 【详解】∵∠AFB=∠C+∠FAC=∠EAF+∠FAC=∠EAC， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C，即∠ABF=∠ECA， ∴△ABF∽△ECA， ∴， ∴BF⋅EC=AB⋅AC==16. 故答案为16. 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键在于利用性质转化等式. 17. 新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是__________． 【答案】或12 【解析】 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 18. 在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，延长交于点，先证明四边形是矩形，可得，，根据翻折可得，，再根据，可得是的中点，根据正方形的性质，易证，可得，设，，列二元一次方程组，求出和的值，再根据勾股定理可得的长． 【详解】解：连接，过点作于点，延长交于点，如图所示： ， 在正方形中，， 四边形是矩形， ，， 根据翻折，可得， ，， ， ， ， ， ， ， 在正方形中，，，， ，， ， ， ， ，且， ， ， ， 设，，则，， ，， 又，， ， 解得， ，， 根据勾股定理，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共7题，满分78分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 19. 已知，，求：代数式的值. 【答案】8 【解析】 【分析】设=k，将x、y、z用k表示出来，然后再通过求出k，进而确定x、y、z的值，最后代入求解即可. 【详解】解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k 又，即2k-3k+4k=6，解得k=2 所以x=4，y=6，z=8 所以=12-12+8=8 【点睛】本题考查了条件代数式求值，解答的关键在于通过设中间量k，辅助求出x、y、z. 20. 已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设． （1）用表示（直接写出答案）． （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果． 【答案】（1）； （2）由（1）知， ∴ ， 延长AE交BC延长线于点G，如图所示， 则． 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴， ∴ ， ∵＝， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示； （2）由（1）中结论得到，延长AE交BC延长线于点G，通过平行四边形的性质得到，再根据对应边成比例得到，从而有，即可求解． 【详解】解：（1）∵＝，即 ， ， ∴， （2） 略 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 21. 已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． （1）联结，如果，求证：； （2）在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） 【答案】（1） 证明：延长交于点，如图所示： ∵， ∴， 即： ∵，． ∴， ∴， 即：， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定与性质，熟记相关结论是解题关键． （1）延长交于点，根据可得，结合，可推出，即可求证； （2）由可得，推出，得到，进而得；根据可得，根据即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 22. 已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． （1）填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； （2）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 【答案】（1） （2） 解：①如图2，的重心G即为所求： ②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质； （1）由图形可得，则，代入求值即可； （2）①找到和的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G； ②作点与关于对称，连接与的交点即为点M，，，则． 【小问1详解】 解：由图形可得，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 【答案】 （1） 又 ∵AD//BC， （2）∵EF//DC， ∴． ∵AD//BC， ∴，∴． 即， 【解析】 【详解】试题分析：两组角对应相等，两个三角形相似. 证明根据相似三角形对应边成比例，即可证明. 试题解析：略 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点C在第一象限，点D在线段上，，，，，垂足为E，连接． （1）请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段的长（用含t的代数式表示）； （2）当时，求t的值； （3）的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）的面积为定值 【解析】 【分析】（1）证明，结合，可得，可得，结合，可得，，； （2）如图，延长于，证明，，可得，可得，而，可得，结合，，再建立方程求解即可； （3）由（1）得：，，，可得，利用，再计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，； 【小问2详解】 解：如图，延长交x轴于， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：的面积为定值，理由如下： 由（1）得：，，， ∴的纵坐标为， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法等知识点，掌握以上基础知识是解本题的关键． 25. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M． （1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值； （2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当M为边DC的三等分点时，求的面积． 【答案】；；或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）作EH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式； （3）分CM＝CD和CM＝CD两种情况，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∠EBM＝45°， ∴∠GBC＋∠DBM＝45°，∠EBD＋∠DBM＝45°， ∴∠GBC＝∠EBD，又∠EDB＝∠GCB＝45°， ∴△DEB∽△CGB， ∴DE：CG＝BD：BC＝； （2）如图2，作EH⊥AC于H， 则AH＝EH＝x， ∵△DEB∽△CGB， ∴， ∴CG＝（6−x）， ∴HG＝AC−AH−CG＝3， ∵EG2＝EH2＋HG2， ∴； （3）当CM＝CD＝2时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴， ∴CG＝， ∴DE＝3，则AE＝3， ∴AH＝EH＝， ∵AD∥BC， ∴， ∴AF＝2， ∴GF＝AC−AF−CG＝， ∴S△EGF＝×FG×EH＝， 当CM＝CD＝4时， ， ∴CG＝， ∴DE＝，则AE＝， AH＝EH＝， ∵， ∴AF＝， ∴GF＝AC−AF−CG＝， ∴S△EGF＝×FG×EH＝． 综上,S△EGF=或 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的应用、正方形的性质的应用，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $