2.3.3 二次根式的性质及应用（8题型+针对训练）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第二章 实数 2.3.3 二次根式的性质及应用 命题1：分母有理化【常考点】…………………………………………………1 命题2：已知字母的值求代数式的值……………………………………………2 命题3：已知条件化简求值………………………………………………………2 命题4：比较二次根式的大小……………………………………………………3 命题5：二次根式的应用【难点】………………………………………………3 命题6：实数的混合运算【高频考点】…………………………………………5 命题7：新定义下的实数运算【易错点】………………………………………5 命题8：与实数相关的规律问题…………………………………………………6 针 对 训 练………………………………………………………………………8 命题1：分母有理化【常考点】 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．化简 3．化简： ． 4．化简的结果是 ． 5．化简（且），得 ． 6．我们已经知道，因此将的分子分母同时乘以“”，就可以起到化简的作用：，回答下面问题： (1)“”依据的公式是：__________． (2)请仿照这种方法化简：；． 7．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 命题2：已知字母的值求代数式的值 8．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 9．已知，，则的值为 ． 10．若，则代数式的值为 ． 11．先化简，再求值：，其中． 命题3：已知条件的值求代数式的值 12．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 13．已知，则的值为 ． 14．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 15．已知，，求值． 命题4： 比较二次根式的大小 16．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 17．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 19．比较大小： ．（选填“”、“”、“”）． 20．比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 21．比较大小 ． 命题5： 二次根式的应用【难点】 22．据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 24．图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 25．一块正方形木板采用如下图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 26．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 27．有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 命题6： 实数的混合运算【高频考点】 28．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 29．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 30．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 31．计算：； 32．计算： (1) (2) 命题7： 新定义下的实数运算 33．对有理数、，定义运算*如下：，如：．试求的值．（   ） A． B． C．6 D．8 34．若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（    ） A． B． C． D． 35．设表示不小于的最小整数，如：，．根据此规律计算： ． 36．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…， 则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 37．对有理数x、y定义一种新运算“※”，满足：． (1)求的值； (2)求的值， (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和． 38．用“※”表示一种新的运算，对于实数、，都有※．例如：※ ． (1)求※的值； (2)若※※，求的值． 命题8： 与实数相关的规律问题 39．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 40．如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出m的值为（      ） A．0 B．1 C．4 D．8 41．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（    ） A．2020 B．2021 C． D． 42．已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 43．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4) 当时，计算的值． 44．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 45．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 针对训练： 1．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 6．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 8．比较大小： ． 9．计算： ． 10．已知，求代数式的值是 ． 11．已知，，则 ． 12．规定：，若，则 ． 13．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 14．计算． (1) (2) 15． 计算：． 16． 已知 ，，，比较的大小关系． 17．已知． (1)求的值； (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 18．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 19．物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 20．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.3.3 二次根式的性质及应用 命题1：分母有理化【常考点】…………………………………………………1 命题2：已知字母的值求代数式的值……………………………………………4 命题3：已知条件化简求值………………………………………………………6 命题4：比较二次根式的大小……………………………………………………8 命题5：二次根式的应用【难点】………………………………………………10 命题6：实数的混合运算【高频考点】…………………………………………14 命题7：新定义下的实数运算【易错点】………………………………………16 命题8：与实数相关的规律问题…………………………………………………19 针 对 训 练………………………………………………………………………24 命题1：分母有理化【常考点】 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化，根据题意利用平方差知识，分子分母同时乘以，继而得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．化简 【答案】 【分析】通过有理化分母来简化表达式即可．本题主要考查了根式的化简与有理化分母，熟练掌握如何通过有理化分母来简化根式表达式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 3．化简： ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的性质，根据分母有理化的方法化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键．分子分母同时乘以，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．化简（且），得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6．我们已经知道，因此将的分子分母同时乘以“”，就可以起到化简的作用：，回答下面问题： (1)“”依据的公式是：__________． (2)请仿照这种方法化简：；． 【答案】(1)平方差公式 (2)； 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式并正确计算是解决本题的关键． （1）根据平方差公式即可求解； （2）根据题意，将中的分子分母同乘，将中的分子分母同乘，使用平方差公式化简即可． 【详解】（1）解：“”依据的公式是：平方差公式； 故答案为：平方差公式； （2）解：将中的分子分母同乘， 则有； 将中的分子分母同乘， 则有． 7．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及二次根式的混合运算； （1）根据题意求得和的有理化因式，即可求解； （2）分子分母都乘以即可； （3）分子分母都乘以即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是；的有理化因式是， 故答案为：；． （2）解：； （3）解： 命题2：已知字母的值求代数式的值 8．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 9．已知，，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 10．若，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，然后去括号合并化简，再把a的值代入计算． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 命题3：已知条件的值求代数式的值 12．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 13．已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 14．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 15．已知，，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 命题4： 比较二次根式的大小 16．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 17．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 18．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 19．比较大小： ．（选填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查实数的大小，二次根式性质，解题的关键是熟知实数的性质． 利用二次根式性质，比较实数的大小即可． 【详解】解：∵，有， ∴． 故答案为：． 20．比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，解题关键是将数都放到根号内，再作比较． 先将两个数都化为一个根号下的二次根式，再通过比较补开方数，然后得出原数的大小． 【详解】解：∵，， ， ∴， 故答案为：． 21．比较大小 ． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 命题5： 二次根式的应用【难点】 22．据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 故选：B． 23．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 24．图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】依据题意，由长方形的周长与正方形的周长相等，进而可以计算得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能准确进行计算是关键． 【详解】解：由题意得，长方形的周长正方形的周长． 又用铁丝围成的长为，宽为的长方形， 正方形的周长长方形的周长． 正方形的边长为：． 故答案为：． 25．一块正方形木板采用如下图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简和乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．首先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，然后列式求解即可． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴剩余木板的面积为：． 故答案为：． 26．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【答案】(1)的值为； (2)天气晴朗时站在山之巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，算术平方根的应用． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以天气晴朗时站在山之巅能看到大海． 27．有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算； 【详解】（1）由题知，，， 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ，， 长方形木板的面积． （2）若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， 则该长方形木料的长为． 命题6： 实数的混合运算【高频考点】 28．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的概念及实数的运算．根据算术平方根、平方根、立方根以及实数的加法逐项分析即可． 【详解】A．符号表示算术平方根，结果非负，故，而非，选项A错误． B．，选项B正确． C．表示正负两个结果，即，但等式右边仅写为2，未包含负值，选项C错误． D．根号表示立方根．若，则需满足，显然不成立，选项D错误． 故选B． 29．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根 ，平方根及平方根的加法运算；根据求立方根 ，平方根及平方根的加法运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A． ，计算正确； B． ，计算错误； C． ，计算错误； D． ，计算错误； 故选：A． 30．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的运算,涉及算术平方根，立方根，实数的性质等，熟练掌握各相关知识是解题的关键； 依据平方根、立方根、实数的运算及绝对值的性质进行判断，逐一分析各选项的运算是否正确，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C． ，故此选项不符合题意； D． ．，故此选项合题意． 故选：D． 31．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据乘方法则、绝对值意义、二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解： ． 32．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算： （1）先化简绝对值、开方、乘方，再算加减即可； （2）先化简绝对值、开方，再算加减即可； 【详解】（1） （2） 命题7： 新定义下的实数运算 33．对有理数、，定义运算*如下：，如：．试求的值．（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，理解题目的意思是解题的关键． 根据定义的新运算规则，代入计算即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：D． 34．若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意填上运算符计算即可． 【详解】A.,结果为有理数; B. ,结果为有理数; C.无论填上任何运算符结果都不为有理数; D.,结果为有理数; 故选C． 【点睛】本题考查实数的运算,关键在于牢记运算法则． 35．设表示不小于的最小整数，如：，．根据此规律计算： ． 【答案】 【分析】直接根据所给计算规则和有理数的减法运算求解即可．本题考查有理数的减法运算，理解题中计算规律是解题的关键． 【详解】根据题意，． 故答案为：． 36．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…， 则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【详解】解：，即时，，此时， ； ，即时，，此时， ； ，即时，，此时， ； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ， ，即时，， ， ， 故答案为：． 37．对有理数x、y定义一种新运算“※”，满足：． (1)求的值； (2)求的值， (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和． 【答案】(1) (2) (3)相等，详情见解析． 【分析】本题考查新定义运算，有理数的运算，弄清新运算规则是解题的关键． （1）根据新运算规则进行计算即可； （1）根据新运算规则进行计算即可； （1）令，，根据新运算规则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3）令，， 则，， 所以． 38．用“※”表示一种新的运算，对于实数、，都有※．例如：※ ． (1)求※的值； (2)若※※，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握运算法则． （1）按照运算法则计算即可； （2）根据题意可得关于的一元一次方程，解方程即可得的值． 【详解】（1）解：∵对于实数、，都有※， ∴※ （2）解：∵对于实数、，都有※， ∴※， ∴※※※， ∵※※， ∴， ∴． 命题8： 与实数相关的规律问题 39．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 40．如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出m的值为（      ） A．0 B．1 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据前四个图的规律，得出第二个图右上角的数是前面一个图左下角的数，第一列的数相差2，右下角的数是第一列两数相乘再加上右上角的数． 【详解】 a c b d 图中数字规律是ab+c=d， -2 2 0 2 -4 b a m 后表中b是前表中左下角的位置，则b=0， a 比-4大2，则a=-2， ， 故答案选：D． 【点睛】本题考查学生的观察与分析数据的能力，找出数据规律之后，根据实数的运算求出m即可． 41．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（    ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了数字类的排列规律，解题的关键在于能够准确观察出规律． 42．已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分情况，当是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：时， ， ， ， 通过观察前面计算出的项， 可以发现：当 为偶数时，， 当为奇数时，， ∵是奇数， ∴； 故答案为：． 43．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 44．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 45．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 针对训练： 1．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 3．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简运算、因式分解及分母有理化，解题的关键是对分母进行因式分解，建立分母与分子的数量关联，通过约分简化表达式后完成分母有理化． 先对分母提取公因式 2 进行初步变形；再观察发现分子与的乘积等于分母提取公因式后的剩余部分，据此将分母表示为含分子的形式；约去分子与分母的公因式，最后对剩余分式进行分母有理化，得出结果后对比选项． 【详解】解：原式 故选：D． 5．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 6．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 7．如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 8．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】7 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根的求解，算术平方根的求解，根据立方根的定义，算术平方根的定义求解各项，再从左往右依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：7． 10．已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 11．已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算．根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ． 故答案为：10． 12．规定：，若，则 ． 【答案】 【分析】根据定义，转化为一元一次方程解答即可． 本题考查了新定义，解方程，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：由得， ， ， 解得， 故答案为：． 13．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 【答案】 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积是 ， 故答案为： 14．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方，绝对值，立方根，算术平方根，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简乘方，绝对值，立方根，算术平方根，再运算加减，即可作答． （2）先分别运算同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先根据零指数幂，绝对值的性质，有理数的乘方分别计算出各值，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16．已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 17．已知． (1)求的值； (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化． （1）先求出，然后将化为，再代入求值即可； （2）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算． 【详解】（1）解：因为， ∴， ∴ ． （2）解：因为为的整数部分，为的小数部分，，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 18．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 19．物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 【答案】(1)需要到达地面； (2)不认同，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键． （1）将，代入关系式，计算出时间 （2）先将，代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系． 【详解】（1）解：把，代入得 （2）解：把，，代入： 因为， 所以不认同明明的想法． 20．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $