专题01 二次函数的图像与系数关系 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

专题01 二次函数的图像与系数关系 本训练共30题，20道选择题，10道填空题，帮助学生们对二次函数图像与各系数之间的关系的理解和应用 一、单选题 1．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（　　）    A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图是二次函数的图像如图所示，图像过点（-3，0），对称轴在-1和-2之间，给出四个结论：①②③④．其中正确的结论是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 3．已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④当时，，⑤函数在与处的函数值相等，其中正确结论的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（    ） A． B．若实数，则 C． D．当时， 5．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 8．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 12．抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 15．已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（    ） ①当时，随的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 16．二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．抛物线的顶点坐标为（如图所示），则下列说法：；；③关于x的方程有两个不相等的实数根；．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 19．二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 20．二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 21．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 22．二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是 __________。 23．二次函数的大致图象如图所示．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有 __________。（只填写序号） 24．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①；②；③；④；其中错误的结论的序号是__________。    25．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论正确的是 __________。（填序号）    ①；②；③；④． 26．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为__________。（注：只填写正确结论的序号）    27．已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有__________。    28．如图，抛物线的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是，有下列四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确结论的个数是__________个．    29．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有__________。    30．如图，二次函数的图象，在下列说法中：① ；② ；③ 当时，y随x的增大而增大； ④ 方程的两根为，．正确的说法有__________。（请写出所有正确的说法序号）    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图像与系数关系 本训练共30题，20道选择题，10道填空题，帮助学生们对二次函数图像与各系数之间的关系的理解和应用 一、单选题 1．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（　　）    A．个 B．个 C．个 D．个 【解答】解：∵当时，， ∴， 即，， 故①不正确； 由图象可知：二次函数的系数，，对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由图象可知：二次函数的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； ∵由图象可知：二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一交点为， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∴正确的序号为②④， 故选． 2．如图是二次函数的图像如图所示，图像过点（-3，0），对称轴在-1和-2之间，给出四个结论：①②③④．其中正确的结论是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【解答】解：①由图像可知：该函数图像的开口向下， ， 图像过点（-3，0）， 该函数图像必与x轴有两个不同的交点， ，即，故①正确； ②对称轴在-1和-2之间， ，即 ， ，故②不正确； ③对称轴在-1和-2之间，图像与x轴的一个交点为（-3，0） 当x=-1时，，故③不正确； ④对称轴在-1和-2之间， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 3．已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④当时，，⑤函数在与处的函数值相等，其中正确结论的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，抛物线对称轴为直线x=1， ∴，，， ∴， ∴，故②错误； ∵当时，， ∴，故③正确； 由函数图象可知当时，，故④正确； ∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴函数在与处的函数值相等，故⑤正确； 故选B． 4．如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（    ） A． B．若实数，则 C． D．当时， 【解答】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1， ∴当x=-1时，， ∴当实数，则， ∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意； ∵当时，， ∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意； ∵， ∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧， ∴，故D说法正确，不符合题意； 故选C． 5．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 6．二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①，，， ，错误； ②由图象可知：对称轴为直线，且， ，正确； ③由图象可知：当时， ， 又当时，， ； 与相加得， ，正确； ④， ， 又， ，正确． 综上，正确结论的序号是②③④． 故选：D． 7．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【解答】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ，，故C选项正确； 二次函数图象与轴的交点在轴上方， ， ，故A选项错误； 当时，， ，即，故B选项错误； 二次函数图象与轴有个交点， ，故D选项错误； 故选：C ． 8．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 9．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 10．如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线，可知：当时，； 即； ∴，故①正确． ②由①得：． 代入原解析式得：； 由图知，当时，，即， ∴，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设，则， ∴两边加c得到， ∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 11．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 12．抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵抛物线开口向上，顶点为，， ∴，， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，，，， ∴函数图象大致如图所示： 由图象可知，， 所以， 故①正确； ②∵， ∴，， 故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 当时，， 由，得， ∴，即， ∴， 两个不等式相加，得， 由②，则， ∴， 解得， ∵， ∴，又， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③，一共3个． 故选：C． 13．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 14．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：由图象可知：， ∴，，故②正确； ∴，故①错误， 由图象可知：当时，，故③正确； 当时，， ∵， ∴，故④正确； 故正确的结论为②③④； 故选B． 15．已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（    ） ①当时，随的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【解答】解：二次函数为非零常数，， 当时，，，， 又当时，随的增大而增大， ，开口向下， 当时，随的增大而减小，故①正确； 又对称轴为直线，， ， 若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则，故③正确； 若图象上两点，，，对一切正数，总有，， 该函数与轴的两个交点为，， ， 解得，故④正确； 二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大， ， 若图象经过点，则，得， ，， ，故②错误； ①③④正确； 故选：D． 16．二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，即①正确； 根据图象，当时，， ∴将代入，得， 即②正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点横坐标为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 综上，正确的共有4个， 故选：D． 17．抛物线的顶点坐标为（如图所示），则下列说法：；；③关于x的方程有两个不相等的实数根；．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故②错误； 由图可知抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程，即有两个不相等的实数根， 故③正确； ∵为抛物线二次项系数， ∴， 故④错误． 故选：A． 18．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图象可知，当时，， ∴， ∴，故A错误，不合题意； ∵，， ∴，， ∴，，故B、C错误，不合题意； ∵二次函数的图象关于对称，且， ∴当时，， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 19．二次函数的图象如图，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确结论的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为，图象与y轴正半轴相交， ∴， ∴， 故①不正确； 由图象可知当时,， ∴， 故②正确； ∵对称轴为，与x轴的一个交点在和之间， ∴与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时,， ∴， 故③不正确； ∵对称轴为， ∴，即， 故④正确； ∵， ∴， 故⑤不正确． ∴正确的个数有2个， 故选：C． 20．二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． 二、填空题 21．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①不正确； ∵与对应的函数值都为1， ∴对称轴为直线， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故②正确； ∵时，， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵④，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为： ②③． 22．二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是 ． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 由图可知时，， 时，，②正确． ∵把分别代入， ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确 ∵对称轴为， 故时，与时所对应的函数值是相等的； ， ∵ ∴，故③正确． 故答案为：②③④． 23．二次函数的大致图象如图所示．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有 ．（只填写序号） 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴， ∴，即，②成立； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，①错误； ∵， ∴， ∴， 整理得：，③成立； ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵当时，， ∴，即，④正确． 综上可知正确的结论为②③④． 故答案为：②③④． 24．=如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①；②；③；④；其中错误的结论的序号是 ．    【解答】①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ∴，结论②错误； ③ ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：②． 25．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论正确的是 ．（填序号）    ①；②；③；④． 【解答】解：抛物线的开口向上，且与y轴的交点小于0， ，， 由图可得， ， ，故 ①错误； 由图象得：，即：，故②正确； 由图可得，抛物线的对称轴：， ， 当时，，即：，故③错误； 将点带入得：，即：， 又，则：，故④正确， 结论正确的是：②④， 故答案为：②④． 26．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为 ．（注：只填写正确结论的序号）    【解答】解：根据图象可知： ①抛物线开口向上，故；对称轴为直线，即，故；抛物线与轴的交点分别在原点两侧，则，故，则，故①错误； ②将代入抛物线解析式可得：，整理得：，故②正确； ③根据不等式的性质将其整理为，因为抛物线开口向上，故当时，抛物线有最小值，为，即抛物线上任意一点的纵坐标均，即，故③错误； ④对称轴为直线，即，当时，，即，故，故④正确； ⑤对称轴为直线，即，故，故⑤错误； 故答案为：②④． 27．已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有 ．    【解答】解：抛物线与轴有两个不同交点，因此，故（1）正确； 由开口方向可得，，对称轴在轴右侧，、异号，因此，与轴交点在负半轴，因此，所有，，因此（2）正确，（3）错误； 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，就是当时，对应抛物线上有两个不同的点，即，，，，由图象可知此时 因此（4）正确的， 综上所述，正确的有3个， 故答案为：3个． 28．如图，抛物线的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是，有下列四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确结论的个数是 个．    【解答】解：该函数图象开口方向向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 一次函数与轴的交点为， ， ，故①正确； 时，， ， ，故②正确； 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 把代入可得，， ，故③正确； 当时，， ， ，故④正确． ∴正确有①②③④共4个， 故答案为：4． 29．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，正确的结论有 ．    【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，所以①错误， ，所以③正确； 抛物线的对称轴为直线， 当和时，函数值相等，所以②正确； 抛物线与轴的一个交点坐标为， 而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 当时，，所以④正确． 故答案为：②③④． 30．如图，二次函数的图象，在下列说法中：① ；② ；③ 当时，y随x的增大而增大； ④ 方程的两根为，．正确的说法有 ．（请写出所有正确的说法序号）    【解答】解：①图象开口向上， ， 与轴的交点在负半轴， ， ，故①符合题意； ②当时，， ，故②不符合题意； ③抛物线与x轴的交点的横坐标是和3， 由二次函数的对称性可得：对称轴是， 时，y随x的增大而增大，故③符合题意； ④抛物线与x轴的交点的横坐标是和3， 方程的两根为，，故④符合题意． 故答案为：①③④． 学科网（北京）股份有限公司 $