校本作业56 直线和圆、圆圆的位置关系-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业56《直线和圆、圆与圆的位置关系》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 2．(青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是(　　) A．“m>1”是曲线C表示圆的充要条件 B．当m＝3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1 C．“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件 D．当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点 3．(广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为(　　) A. B．π C．2π D．3π 4．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是(　　) A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3) C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3) 5．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范围是(　　) A．(－∞，1－5)∪(1＋5，＋∞) B．(1－5，1＋5) C．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞) D．(1－，1＋) 6．对圆x2+y2=1上任意一点P(x,y),若|3x-4y+a|-|3x-4y-9|的值与x,y无关,则实数a的取值范围是 ( 　) A．a≤-5 B．-5≤a≤5 C．a≤-5或a≥5 D．a≥5 7．(邯郸模拟)已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为(　　) A． B． C．2 D． 8．若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为　　 A．27 B．16 C．10 D．25 10．（泉州二模）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ） A． B． C． D． 11．(多选)(海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　) A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ 12． (多选)(新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 二、填空题 13．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程为___________． 14．在平面直角坐标系xOy中,点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是　　　　.  15．已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，． 当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________． 16．设m∈R,过定点M的直线l1:x+my-3m-1=0与过定点N的直线l2:mx-y-3m+1=0相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB|=2.给出下列四个结论: ①l1一定垂直于l2; ②|PM|+|PN|的最大值为4; ③点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=1; ④|+|的最小值为4. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  三、解答题 17．（1）若圆D的半径是3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4外切，求圆D的方程． （2）已知圆与圆，求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程 18．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，点P是直线l：x＋2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求线段AB长度的最小值． 19．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)． (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程； (3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业56《直线和圆、圆与圆的位置关系》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 答案　C 解析　当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时， 设切线方程为y－4＝k(x－2)， 即kx－y＋4－2k＝0， 则＝1， 解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0. 综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0. 2．(青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是(　　) A．“m>1”是曲线C表示圆的充要条件 B．当m＝3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1 C．“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件 D．当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点 答案　C 解析　对于A，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0⇒(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1，曲线C要表示圆， 则m2－1>0⇒m<－1或m>1， 所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误； 对于B，m＝3时，直线l：x＋y＋1＝0， 曲线C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝26， 圆心到直线l的距离 d＝＝5， 所以弦长＝2＝2＝2，故B错误； 对于C，若直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离d＝＝⇒m＝±3， 所以“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确； 对于D，当m＝－2时，曲线C：(x＋2)2＋(y－2)2＝3，其圆心坐标为(－2,2)，r＝， 曲线C与圆x2＋y2＝1的圆心距为＝2>＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误． 3．(广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为(　　) A. B．π C．2π D．3π 答案　B 解析　直线x＋ay－a－1＝0可化为 (x－1)＋a(y－1)＝0， 则当x－1＝0且y－1＝0， 即x＝1且y＝1时，等式恒成立， 所以直线恒过定点M(1,1)， 设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2， 当MC⊥AB时，|AB|取得最小值， 且最小值为2＝2＝2， 此时弦长AB对的圆心角为， 所以劣弧AB的长为×2＝π. 4．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是(　　) A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3) C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3) 答案　A 解析　到原点的距离为的点的轨迹方程为 圆C1：x2＋y2＝2， 因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点， ∵两圆的圆心和半径分别为 C1(0,0)，r1＝，C(a，a)，r＝2， ∴r－r1<|C1C|<r1＋r， ∴<|a|<3， 解得实数a的取值范围是(－3，－1)∪(1,3)． 5．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范围是(　　) A．(－∞，1－5)∪(1＋5，＋∞) B．(1－5，1＋5) C．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞) D．(1－，1＋) 答案　D 解析　由C：(x－1)2＋(y－2)2＝9知圆心C(1,2)，半径为3， 若圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2， 则点C到直线l：x－y＋b＝0的距离d<1， ∴<1， ∴1－<b<1＋. 6．对圆x2+y2=1上任意一点P(x,y),若|3x-4y+a|-|3x-4y-9|的值与x,y无关,则实数a的取值范围是 (　) A．a≤-5 B．-5≤a≤5 C．a≤-5或a≥5 D．a≥5 答案.A　[解析] 设直线l1的方程为3x-4y+a=0,直线l2的方程为3x-4y-9=0,则点P到直线l1的距离d1=,点P到直线l2的距离d2=,因为|3x-4y+a|-|3x-4y-9|的值与x,y无关,所以d1-d2为常数,所以两条直线在圆的同一侧,且与圆不相交,因为直线l2在圆的下方,所以直线l1也在圆的下方,则有圆心(0,0)到直线l1的距离d=≥1,解得a≥5或a≤-5,因为直线l1也在圆的下方,所以a≤-5.故选A. 7．(邯郸模拟)已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为(　　) A． B． C．2 D． 答案　D 解析　设P(a，b)，则a＋b＝4， 以OP为直径的圆的方程是 2＋2＝(a2＋b2)， 与圆O的方程x2＋y2＝4相减， 得直线AB的方程为ax＋by＝4， 即ax＋by－4＝0， 因为a＋b＝4，所以b＝4－a， 代入直线AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0， 即a(x－y)＋4y－4＝0，当x＝y且4y－4＝0，即x＝1，y＝1时该方程恒成立， 所以直线AB过定点N(1,1)， 点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，|MN|＝， 所以点M(3,2)到直线AB距离的最大值为. 8．若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为． ， ， 由于，所以． 设是的中点，则， 设，则，即的轨迹为单位圆． 原点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离． 所以， 所以的最大值是． 故选：D 9．在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为　　 A．27 B．16 C．10 D．25 【解析】解：根据题意，建立如图的坐标系，则，，， 中点为，则， 设三点都在圆上，其半径为， 在中，由正弦定理可得，即， 即，，则， 则的坐标为， 故点在以点为圆心，10为半径的圆上， 当且仅当、、三点共线时，取得最大值，此时； 故选：． 10．（泉州二模）若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在△NAB中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为， 故选：D 11．(多选)(海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　) A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ 答案　ABD 解析　对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确； 对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确； 对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误； 对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确． 12． (多选)(新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 答案　ACD 解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋＝10，故A正确． 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确． 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确． 二、填空题 13．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程；______． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】解：圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，切点为坐标原点. 如图，公切线有三条，分别记为， 由图可知，切线斜率存在，故设切线方程为， 所以，整理得，即或， 所以，当时，，整理得，解得，即方程为； 当时，，解得，即方程为； 所以，所求切线方程为，， 故答案为：或或 14．在平面直角坐标系xOy中,点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是　　　　.  .[0,3]　[解析] 设点M(x,y),由|MA|=2|MO|,得=2,整理得x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,∴点M在圆心为D(0,1),半径为2的圆上.又点M在圆C上,∴圆C与圆D有公共点,∴两圆圆心距|CD|满足1≤|CD|≤3,∴1≤≤3,解得0≤a≤3,即实数a的取值范围是[0,3]. 15．已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，． 当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________． 16．设m∈R,过定点M的直线l1:x+my-3m-1=0与过定点N的直线l2:mx-y-3m+1=0相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB|=2.给出下列四个结论: ①l1一定垂直于l2; ②|PM|+|PN|的最大值为4; ③点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=1; ④|+|的最小值为4. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  答案.①②　[解析] 由1·m+m·(-1)=0,得直线l1:x+my-3m-1=0与l2:mx-y-3m+1=0垂直,∴①正确;l2过定点M(3,1),l1过定点N(1,3),连接MN,在△MNP中,设∠PMN=θ,则|PM|+|PN|=2cos θ+2sin θ=4sin≤4,∴②正确;由·=0,可得点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2(x≠3),∴③不正确;过C作CD⊥AB,垂足为D,则|CD|=,∴点D的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=2,连接PD,则|+|=2||,又||的最小值为,∴|+|的最小值为2,∴④不正确.故填①②. 三、解答题 17．（1）若圆D的半径是3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4外切，求圆D的方程． （2）已知圆与圆，求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程 解 (1)设圆心D(a，2－a)，则|CD|＝5， ＝5⇒a＝3或a＝－2. 所以，圆D的方程为：(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9. （2）设所求圆的方程为. 则圆心坐标为 ∵圆心在直线上 ∴将圆心坐标代入直线方程，得9分 解得. ∴所求圆的方程为. 17．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，点P是直线l：x＋2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求线段AB长度的最小值． 解　(1)由题可知，圆M的圆心M(0,2)，半径r＝1，设P(－2b，b)， 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°， 所以|MP|＝＝＝2，解得b＝0或b＝， 所以点P的坐标为(0,0)或. (2)设P(－2b，b)，因为∠MAP＝90°， 所以经过A，P，M三点的圆N以MP为直径， 其方程为(x＋b)2＋2＝， 即(2x－y＋2)b＋(x2＋y2－2y)＝0， 由解得或 所以圆N过定点(0,2)，. (3)因为圆N方程为 (x＋b)2＋2＝， 即x2＋y2＋2bx－(b＋2)y＋2b＝0，① 又圆M：x2＋y2－4y＋3＝0，② ①－②得圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为 2bx－(b－2)y＋2b－3＝0. 点M(0,2)到直线AB的距离d＝， 所以相交弦长|AB|＝2＝2 ＝2， 所以当b＝时，线段AB的长度有最小值. 19．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)． (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程； (3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围． 解　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5. (1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)． 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<2， 于是圆N的半径为y0， 从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1. 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2. 设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离d＝＝. 因为|BC|＝|OA|＝＝2， 而|MC|2＝d2＋2，所以25＝＋5， 解得m＝5或m＝－15. 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝， 所以　① 因为点Q在圆M上， 所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.　② 将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25. 于是点P(x1，y1)既在圆M上， 又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上， 从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点， 所以5－5≤ ≤5＋5， 解得2－2≤t≤2＋2. 因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]． 3 学科网（北京）股份有限公司 $