福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学校本作业51（空间距离及空间中的动态问题）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业51《空间距离及空间中的动态、最值问题》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是 ( 　) A． B． C． D． 2．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面BDM的距离是 (　 ) A．a B．a C．a D．a 3．如图K43-2,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱A1D1的中点,Q为棱A1B1上任意一点,E,F为棱CD上两个动点,且线段EF的长度为定值,则点Q到平面PEF的距离 ( 　) A．等于a B．和线段EF的长度有关 C．等于a D．和点Q的位置有关 4．(广州模拟)点P为棱长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为(　 　) A．π B．2π C．4π D．2π 5．正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则截面面积 的最小值是 （ ） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱外接球的表面积为，．若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为 （ ） A． B．2 C．4 D．不是定值 7．正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当·取得最小值时，点P到AD的距离为(　 　) A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，，a，且长为a的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为(　 　) A． 　　 B． C． D． 10．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是(　 　) A． B． C． D． 11．如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．(多选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN.给出的下列说法中正确的是(　　) A．点P可以是棱BB1的中点 B．线段MP的最大值为 C．点P的轨迹是正方形 D．点P的轨迹长度为2＋ 13．(多选)如图，矩形中，D，为边的中点，将沿直线翻转成 (平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法正确的是(　　) A．与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B．异面直线与所成角是定值 C．一定存在某个位置，使 D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 14．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α.下面说法正确的是(　　) A．直线AB与平面α所成角的正弦值的范围为 B．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知N为DD1中点，当AM＋MN的和最小时，M为CC1的中点 15．(多选)已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且 （），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ） A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面 B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面 C．若，当二面角等于60°时， D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为 二、填空题 16．如图K43-5,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　.  图K43-5 17．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AD的中点，点P在底面ABCD内(不包括边界)运动，若B1P∥平面A1BM，则C1P的长度的取值范围是____________． 18．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足＝3，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则||的取值范围是________． 19．如右图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为 面和线段上的动点，则周长的最小值为 ． 20．正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于__________ 三、解答题 21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点． (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值； (3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业51《空间距离及空间中的动态、最值问题》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是 ( 　) A． B． C． D． 答案B　[解析] 以B为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则=(0,2,0),=(0,1,2), 设∠ABE=θ,则cos θ===, 所以sin θ==,故点A到直线BE的距离d=||sin θ=2×=. 2．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面BDM的距离是 (　) A．a B．a C．a D．a 答案A　等体积法[解析] 以D为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,正方体棱长为a,则A1(a,0,a),M,B(a,a,0),D(0,0,0).设n=(x,y,z)为平面BMD的法向量,则n·=0,且n·=0,而=,=,所以所以令z=2,则n=(-1,1,2),又=(a,0,a),所以A1到平面BDM的距离d==a. 3．如图K43-2,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱A1D1的中点,Q为棱A1B1上任意一点,E,F为棱CD上两个动点,且线段EF的长度为定值,则点Q到平面PEF的距离 ( 　) 图K43-2 A．等于a B．和线段EF的长度有关 C．等于a D．和点Q的位置有关 答案.A　[解析] 如图,连接PD,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵P为棱A1D1的中点,∴点P到直线EF的距离为定值,即为PD=a.连接A1D,过P作PG⊥A1D,垂足为G,则PG为P到平面QEF的距离,即为a,又A1B1∥EF,∴Q到EF的距离为a.连接PQ,QE,QF,设点Q到平面PEF的距离为h,由题知VP-QEF=S△QEF·PG=×·EF·a·a=·EF,VQ-PEF=S△PEF·h=××a·EF·h=a·EF·h,∴·EF=a·EF·h,∴h=a,故选A. 4．(广州模拟)点P为棱长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为(　 　) A．π B．2π C．4π D．2π 答案　C 解析　根据题意知，该正方体的内切球半径为r＝，如图．取BB1 的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线， ∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， ∴O到过D，C，N的平面的距离为＝1， ∴截面圆的半径为2， ∴点P的轨迹的长度为2π×2＝4π. 5．正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则截面面积 的最小值是 （ A ） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱外接球的表面积为，．若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为 （ A ） A． B．2 C.4 D．不是定值 7．正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当·取得最小值时，点P到AD的距离为(　 　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体， 所以其体积为××1×1××＝. 设正四面体ABCD内切球的半径为r， 则4×××1×1××r＝，得r＝. 如图，取AD的中点E，则·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－. 显然，当PE的长度最小时，·取得最小值． 设正四面体内切球的球心为O， 可求得OA＝OD＝. 因为球心O到点E的距离d＝＝＝， 所以球O上的点P到点E的最小距离为 d－r＝－＝， 即当·取得最小值时，点P到AD的距离为. 8．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：过点作上底面的垂线，垂足为点，连接，因为，又因为三角形，是直角三角形，故得到，故点是确定的轨迹，是在以为圆心，1为半径的圆上动，故当最小时，即过点做的垂线，减1即可，最终得到，故答案为C . 9．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，，a，且长为a的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为(　　) A. 　　 B. C. D. 答案：A 解析：如图所示，三棱锥A­BCD中，AD＝a，BC＝，AB＝AC＝BD＝CD＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面ABC⊥平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h＝，△BCD是等腰直角三角形，则S△BCD＝，综上可得，三棱锥的体积的最大值为××＝，故选A. 10．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是(　 　) A． B． C． D． 答案　D 解析　如图，取A1B1的中点E，连接BE，C1E，则C1E⊥A1B1，由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1， ∴C1E⊥平面ABB1A1，取BE的中点F，连接AF，DF. ∵D为BC1的中点，∴DF∥C1E， ∴DF⊥平面ABB1A1， ∴∠DAF即为直线AD与侧面ABB1A1所成的角． 在Rt△AFD中，DF＝C1E＝a， AF＝＝， ∴tan∠DAF＝＝ ＝≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为. 11．如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且． ∵，∴平面． 作于，作于，连， 则由平面，可得，∴平面． 又平面，∴． ∵，，∴平面． 在中，作于，则平面． 又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离． 在中，， 设，则，∴． 由可得， ∴，当时等号成立，此时平面， 综上可得点到平面距离的最大值为．故选B． 12．(多选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN.给出的下列说法中正确的是(　　) A．点P可以是棱BB1的中点 B．线段MP的最大值为 C．点P的轨迹是正方形 D．点P的轨迹长度为2＋ 答案　BD 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的中点， ∴D1(0,0,1)，B(1,1,0)，M， N，C(0,1,0)， ∴＝， 设P(x，y，z)，则＝， ∵MP⊥CN， ∴＋z－＝0，即2x＋4z－3＝0， 当x＝1时，z＝，当x＝0时，z＝， 取E，F，G， H， 连接EF，FG，GH，HE， 则＝＝(0,1,0)， ＝＝， ∴四边形EFGH为矩形， 又·＝0，·＝0， 即EF⊥CN，EH⊥CN， 又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线， ∴CN⊥平面EFGH， 又＝，＝， ∴M为EG的中点，则M∈平面EFGH， 为使MP⊥CN，必有点P∈平面EFGH， 又点P在正方体表面上运动， ∴点P的轨迹为四边形EFGH， ∴点P不可能是棱BB1的中点，故选项A错误； 又EF＝GH＝1，EH＝FG＝， ∴EF≠EH，则点P的轨迹是矩形不是正方形，且矩形EFGH的周长为2＋2×＝2＋， 故选项C错误，选项D正确； ∵点P的轨迹为矩形EFGH， ∴当P点在矩形的四个端点时，MP取得最大值，且MP的最大值为，故B正确． 13．(多选)如图，矩形中，D，为边的中点，将沿直线翻转成 (平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法正确的是(　　) A．与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B．异面直线与所成角是定值 C．一定存在某个位置，使 D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 答案：C　解析：取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故A正确；取A1D的中点F，连接MF，EF，则四边形EFMB为平行四边形，则∠A1EF为异面直线BM与A1E所成角，故B正确；点A关于直线DE的对称点为N，则DE⊥平面AA1N，即过O与DE垂直的直线在平面AA1N上，故C错误；三棱锥A1­ADE外接球半径为AD，故D正确． 14．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α.下面说法正确的是(　　) A．直线AB与平面α所成角的正弦值的范围为 B．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知N为DD1中点，当AM＋MN的和最小时，M为CC1的中点 答案　AC 解析　对于A，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则点A(2,0,0)，B(2,2,0)，设点M(0,2，a)(0≤a≤2)，∵AM⊥平面α，则为平面α的一个法向量，且＝(－2,2，a)，＝(0,2,0)．|cos〈，〉|＝＝＝∈，∴直线AB与平面α所成角的正弦值的范围为，A正确；对于B，当M与C1重合时，连接A1D，BD，A1B，AC，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC，∵CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1，∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，同理可证AC1⊥A1D，∵A1D∩BD＝D，∴AC1⊥平面A1BD，易知△A1BD是边长为2的等边三角形，其面积为S△A1BD＝×2＝2，周长为2×3＝6.设E，F，Q，N，G，H分别为棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中点， 连接EF，FQ，QN，NG，GH，HE，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面EFQNGH∥平面A1BD，正六边形EFQNGH的周长为6，面积为6××()2＝3，则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B错误；对于C，设平面α交棱A1D1于点E(b,0,2)，点M(0,2,1)，＝(－2,2,1)，∵AM⊥平面α，DE⊂平面α，∴AM⊥DE，即·＝－2b＋2＝0，得b＝1，∴E(1,0,2)，∴点E为棱A1D1的中点，同理可知，点F为棱A1B1的中点，则F(2，1,2)，＝(1,1,0)， 而＝(2,2,0)，∴＝，∴EF∥DB且EF≠DB．由空间中两点间的距离公式可得DE＝＝， BF＝ ＝， ∴DE＝BF，所以，四边形BDEF为等腰梯形，C正确； 对于D，将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D延展为一个平面，如下图所示： 若AM＋MN最短，则A，M，N三点共线，∵CC1∥DD1，∴＝＝＝2－，∵MC＝2－≠CC1，∴点M不是棱CC1的中点，D错误． 15．(多选)已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且 （），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ） A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面 B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面 C．若，当二面角等于60°时， D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为 答案：CD 解析： 对于，连接，，，显然平面平面， 若上存在使得，则，而与为相交直线，矛盾，故错误； 对于，设中点，中点，由等边三角形性质可知，， 若平面平面，则在底面上的射影为，于是， ∴，与矛盾，故错误； 对于，若，二面角等于，则， 设在底面上的射影为，则，， ∴，，∴，故正确； 对于，∵，∴，， ∴， 显然在翻折过程中，当平面平面时，四棱锥的体积最大，故，则， 令可得，当时，，当时，， ∴当时，取得最大值，故正确． 故选：． 二、填空题 16．如图K43-5,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　.  图K43-5 .　[解析] 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P',连接P'C,显然点P到直线CC1的距离的最小值为线段P'C的长度的最小值.连接DE,易知P'在DE上,当P'C⊥DE时,线段P'C的长度最小,此时P'C==. 17．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AD的中点，点P在底面ABCD内(不包括边界)运动，若B1P∥平面A1BM，则C1P的长度的取值范围是____________． 答案　 解析　如图，取BC的中点N，连接B1D，B1N，DN，过C作CO⊥DN于O，连接C1O，由正方体的性质知DN∥MB，A1M∥B1N，又DN∩B1N＝N，MB∩A1M＝M， ∴平面B1DN∥平面A1BM， ∴点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN(不含点N和点D)． 连接C1D，C1N，在△C1DN中， C1D＝， DN＝C1N＝＝， ∴＝××＝， ∵C1C⊥平面ABCD，CO⊥DN， ∴C1O⊥DN，则当P与O重合时，C1P的长度取得最小值， ∴C1P的长度的最小值为 C1O＝＝， 又C1P<， ∴C1P的长度的取值范围是. 18．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足＝3，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则||的取值范围是________． 答案　 解析　因为ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱， 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设M(x，0，z)，B(2,2,0)，D1(0,0,4)，E(2,1,0)， 因为＝3， 所以F是CC1四等分点(靠近C)， 所以F(0,2,1)， 所以＝(2,1，－4)，＝(0,2，－3)， 设平面D1EF的一个法向量为n＝(a，b，c)， 则 即 令c＝2，则a＝，b＝3， 故n＝， 又＝(2－x，2，－z)，MB∥平面D1EF， 所以⊥n，即·n＝0， 所以(2－x)＋6－2z＝0， 所以z＝－x， 故||＝＝ ＝， 因为0≤x≤2,0≤z≤4， 所以－x∈[0,4]， 故x∈， 令y＝41x2－220x＋184， 因为二次函数的对称轴为x＝＝>2， 所以函数在x∈上单调递减， 所以当x＝时，||取得最大值， 所以||的最大值为 ＝， 当x＝2时，||取得最小值， 所以||的最小值为＝， 所以||的取值范围是. 19．如右图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为 面和线段上的动点，则周长的最小值为 ． 20．如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于__________ 答案： 解析：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类： 一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上； 另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上． 在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为，， 则．同理，所以，故弧的长为， 而这样的弧共有三条． 在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为，半径为1，，所以弧的长为． 所以所求的曲线长为． 三、解答题 21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点． (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值； (3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明　因为四边形ABCD为正方形，则BC⊥AB，CD⊥AD， 因为PB⊥BC，BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB， 因为PA⊂平面PAB，所以PA⊥BC， 因为PD⊥CD，CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥CD， 因为BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD. (2)解　因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，不妨以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)， 设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)， 则＝(2,2,0)，＝(0,1,1)，＝(2,2，－2)， 由 取y＝1，可得m＝(－1,1，－1)， cos〈m，〉＝ ＝＝， 所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值为. (3)解　设点F(2，t，0)(0≤t≤2)，设平面PAF的法向量为n＝(a，b，c)， ＝(2，t，0)，＝(0,0,2)， 由 取a＝t，则n＝(t，－2,0)， 所以点E到平面PAF的距离为d＝＝＝，因为t>0，所以t＝1.因此，当点F为线段BC的中点时，点E到平面PAF的距离为. 5 学科网（北京）股份有限公司 $