第7讲：直线方程的倾斜角和斜率【知识梳理+5个题型归纳】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线方程的倾斜角与斜率这一核心知识点，系统构建从定义理解到公式应用、再到综合题型解决的知识链条，前后衔接紧密，由基础概念（倾斜角范围、斜率计算）过渡到高考高频考点（平行垂直判定、斜率取值范围），最后延伸至动态几何问题（线段相交求斜率范围），形成完整的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与建模意识三大核心素养。例如通过“端点斜率法”解析直线与线段相交问题，引导学生从几何直观出发，用代数方法刻画临界位置，强化数形结合思维，提升解题条理性。课中可辅助教师精准讲解易错点，如斜率不存在时的特殊处理；课后学生可通过典型例题和分层训练查漏补缺，巩固正切函数单调性在倾斜角变化中的作用，实现从理解到迁移的进阶学习。

2025-2026年高二上数学常考题型归纳 【第7讲：直线方程的倾斜角和斜率】 【知识梳理】 一、基础核心公式（教材重点） 1.倾斜角定义与范围 定义：直线向上方向与x轴正方向的夹角（记为α） 范围公式：（或弧度） 教材例题延伸：水平直线倾斜角α=0°，竖直直线倾斜角α=90° 2.斜率定义与计算公式 定义式：（α≠90°，此时斜率不存在） 特殊值对应：时；时；时 两点式：已知直线过两点、（） 易错提示：时直线垂直x轴，斜率不存在（对应α=90°） 二、倾斜角与斜率的关系转化 倾斜角α 斜率k取值 转化公式 不存在 无（直线垂直x轴） 三、高考高频应用公式（结合真题） 1.两直线平行的斜率条件 设直线，（两直线均不垂直x轴） 高考真题示例（2023·新课标Ⅰ）：若直线与平行，则（直接应用公式） 2.两直线垂直的斜率条件 设直线，（两直线均不垂直x轴） 易错补充：若一条直线斜率为0（α=0°），另一条直线斜率不存在（α=90°），两直线也垂直 教材例题改编：直线与垂直，因 3.斜率的取值范围求法 已知倾斜角范围，求k的范围： 当时， 当时，（因正切函数在单调递增但值为负） 当时， 高考真题示例（2022·浙江）：直线倾斜角α满足，则斜率k的范围为 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：直线方程的倾斜角和斜率的理解】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）下列说法中，正确说法的个数是（    ） ①任何一条直线都有唯一的斜率； ②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； ③任何一条直线都有唯一的倾斜角． A．0 B．1 C．2 D．3 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【相似题2】【多选题】（24-25高二上·福建莆田·期中）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【解题策略】 一、核心概念的本质理解（解题的前提） 1.倾斜角：“方向的量化” 本质：用“角度”唯一标识直线的倾斜方向（与x轴正方向的向上夹角），解决“直线朝哪偏”的问题。 关键认知： 唯一性：任意直线必有唯一倾斜角（），包括水平（）和竖直（）直线。 几何意义：倾斜角越大（不含），直线越“陡”，但正负方向由角度区间决定（向上右，向上左）。 2.斜率：“倾斜程度的代数表达” 本质：用“数值”量化倾斜角的正切值，将几何角度转化为代数参数，方便计算与推理。 核心关联： 函数关系：是“角度→数值”的转化器，正切函数在的单调性是解题关键（递增，递增，处断开）。 易错本质：“斜率不存在”≠“直线不存在”，对应竖直直线（），解题时需优先考虑此特殊情况。 【题型二：求直线方程的倾斜角或斜率】 例题精选 【例题1】（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）设，则直线的倾斜角为 ． 相似练习 【相似题1】（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、已知直线上两点，求斜率或倾斜角 解题步骤 1.定坐标与验特殊：记两点为、，先判断与是否相等： 若：直线垂直x轴，斜率不存在，倾斜角； 若：斜率存在，进入下一步。 2.算斜率：代入两点式公式。 3.求倾斜角（若需）：结合，根据的正负锁定的区间（），用正切值对应角度： ：，； ：，（或用诱导公式）； ：。 核心要点 斜率与两点顺序无关：，避免因顺序出错。 示例：已知、，则，；已知、，斜率不存在，。 二、已知直线方程，求斜率或倾斜角 解题步骤（按方程形式分类） 1.斜截式（）： 直接读取：斜率为的系数； 求倾斜角：按“已知斜率求倾斜角”步骤计算。 示例：，，。 2.一般式（，A、B不同时为0）： 先判断是否为0： 若：直线为，垂直x轴，斜率不存在，； 若：斜率，再求倾斜角。 示例：，，，。 3.点斜式（）： 直接读取：斜率为；若方程为（特殊点斜式），则斜率不存在，。 【题型三：斜率与倾斜角的变化关系】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例题2】（24-25高一下·上海·期末）如图，直线的斜率的大小关系是    相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）求直线倾斜角的取值范围． 【相似题2】（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心关联公式（基础铺垫） 1.定义与范围公式 概念 公式/范围 备注 倾斜角α （或弧度） 任意直线唯一确定，无负角度 斜率k （） 时，k不存在 2.正切函数单调性（变化关系核心） 正切函数在定义域内的单调性直接决定k与α的变化关系： 单调递增区间1：，此时 单调递增区间2：，此时 断裂点：，无意义（k不存在） 二、动态变化规律（核心解题依据） 1.分区间变化关系 倾斜角α变化区间 斜率k的变化趋势 数学表达（递增/递减） （从水平到竖直向上陡增） 单调递增 （从竖直向下平缓趋近水平） 单调递增 跨越（如） 突然跳跃至，不连续 无单调性（断裂） 三、典型题型解题策略（公式+步骤） 题型1：由倾斜角变化范围求斜率范围 解题步骤： 1.定区间：判断α范围是否跨越，拆分不含的子区间； 2.用单调性：结合单调性求各子区间对应的k范围； 3.取并集：合并各子区间的k范围，得到最终结果。 示例：α∈，求k的范围 拆分区间：和 计算各区间k值： ： ： 并集结果： 题型2：由斜率变化范围求倾斜角范围 解题步骤： 1.定k的正负：区分k≥0、k≤0或跨正负，对应α的区间、或两者的并集； 2.反用正切函数：用（k≥0）或（k≤0）求对应角度； 3.写区间：结合单调性写出α的范围，注意排除。 示例：k∈，求α的范围 拆分k的范围：和 计算各区间α值： ： ： 并集结果： 题型3：直线旋转时的k与α变化问题 解题策略： 1.确定初始与终止α：明确直线旋转的起止角度（如从逆时针旋转到）； 2.分析旋转过程：判断是否经过，若经过则k会出现“”的跳跃； 3.结合单调性：分阶段描述k的变化趋势，或用公式表示范围。 【题型四：直线与线段的关系求斜率范围】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【相似题2】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心原理：端点斜率法（本质是“旋转临界思想”） 1.问题本质 已知直线过定点，且与线段（端点、）相交，求直线斜率的取值范围。 核心逻辑：直线绕定点旋转时，与线段相交的临界位置是直线过端点和端点，斜率范围由这两个“临界斜率”及旋转过程中是否跨越（斜率不存在）决定。 2.关键概念 临界斜率：直线的斜率和直线的斜率（若或垂直x轴，则对应斜率不存在）。 旋转轨迹：以为顶点，直线从旋转到（或反之），扫过的区域与线段相交，斜率变化对应正切函数的单调性或跳跃性。 二、标准解题步骤（四步闭环） 步骤1：定要素——标坐标、明定点 1.确定直线所过的定点（题目直接给出或隐含，如“直线过点”）； 2.明确线段的两个端点坐标、（务必确认坐标准确性，避免计算错误）。 步骤2：算临界——求端点斜率、 代入两点斜率公式计算： 步骤3：画轨迹——分析旋转过程与斜率变化 1.在坐标系中标记、、三点，连接线段； 2.画出直线和，观察： 直线从绕旋转到时，是否经过竖直位置（，即斜率不存在）； 结合正切函数单调性，判断斜率是“连续区间”还是“断裂区间”。 步骤4：定范围——结合临界值与旋转方向写结果 若旋转过程不经过：斜率范围为与之间的闭区间（从小到大或从大到小，看旋转方向）； 若旋转过程经过：斜率范围为两个区间的并集 若存在斜率不存在的临界位置：范围需包含“斜率不存在”的情况（文字说明或区间标注）。 三、典型示例（分情况解析） 示例1：不经过90°，斜率范围为连续区间 题目：直线过定点，与线段（、）相交，求的范围。 1.定要素：，，； 2.算临界斜率： 3.画轨迹分析：直线从（）绕顺时针旋转到（），始终在且不经过，斜率单调递增； 4.定范围：。 示例2：经过90°，斜率范围为断裂区间 题目：直线过定点，与线段（、）相交，求的范围。 1.定要素：，，； 2.算临界斜率： （思考：若直线从逆时针旋转到，会经过（竖直直线，不存在））； 3.画轨迹分析： 旋转路径1：（）逆时针→竖直直线（不存在）→（）； 正切函数在单调递增，故斜率从递增到（接近竖直左），再从递减到（接近竖直右）； 4.定范围：。 示例3：含斜率不存在的临界情况 题目：直线过定点，与线段（、）相交，求的范围。 1.定要素：，（），； 2.算临界斜率： ：，斜率不存在（对应直线）； ； 3.画轨迹分析：直线从（，不存在）顺时针旋转到（），斜率从不存在（）逐渐减小到（）； 4.定范围：（含斜率不存在的情况，可补充说明“直线也满足条件”）。 四、特殊情况处理（易错点突破） 特殊场景 解题关键 示例（） 线段垂直x轴 端点横坐标相同，计算、斜率，若直线过竖直段，需考虑不存在 、：，，范围 线段平行x轴 端点纵坐标相同，斜率范围由、斜率夹闭（不跨90°） 、：，，范围 定点在延长线上 需明确“相交”是否含延长线，不含则取线段内的旋转范围（排除延长线方向） 在延长线外：仅取与之间的区间 五、避坑三大要点 1.勿漏“斜率不存在”的验证：计算、时，先看端点与定点横坐标是否相等，若相等则斜率不存在，且该直线可能是临界位置； 2.旋转方向决定区间开闭：若线段端点在旋转轨迹上（即直线过端点时相交），则区间取闭区间（）；若仅与线段内部相交，取开区间（）； 3.结合图像而非纯计算：复杂情况（如跨90°）必须画图分析旋转轨迹，避免仅凭、的大小直接写区间（如示例2中，但范围并非）。 【题型五：直线的平行与垂直求参数】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【相似题2】（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【解题策略】 一、核心原理：平行与垂直的充要条件（含公式） 1.两直线平行（）的条件 设直线方程为： 斜截式：， 一般式：， 斜率存在性 充要条件公式 备注 均存在（有意义） 且（斜截式） （一般式，） 需排除“重合”，即截距/常数项不等 均不存在（垂直x轴） 直线方程为和，且 无斜率，直接看横坐标是否不等 2.两直线垂直（）的条件 斜率存在性 充要条件公式 备注 均存在（有意义） （斜截式） （一般式，万能公式） 乘积为-1，符号相反且互为倒数 一存在一不存在 一条为（，平行x轴），另一条为（斜率不存在，垂直x轴） 特殊垂直，无需计算乘积 二、标准解题步骤（三步核心法） 步骤1：定方程形式，判斜率存在性（关键前提） 1.若直线为斜截式/点斜式：直接读取斜率（的系数），若方程为，则斜率不存在； 2.若直线为一般式： 斜率存在：，则； 斜率不存在：，此时直线垂直x轴（方程为）。 步骤2：按位置关系列方程（分情况应用公式） 平行问题： ①若两者斜率均存在：列，同时列（或一般式的常数项比例不等）； ②若两者斜率均不存在：列（横坐标不等）； ③若一存在一不存在：直接判定不平行（排除）。 垂直问题： ①若两者斜率均存在：列（或一般式）； ②若一存在一不存在：列“斜率为0”且“另一条垂直x轴”（即且）； ③若两者均不存在：直接判定不垂直（排除）。 步骤3：解方程验结果（避免增根/漏解） 1.解参数方程，得到参数值； 2.代入原直线方程，验证是否满足“平行不重合”或“垂直”的完整条件（尤其注意排除重合情况）。 三、典型示例（分类型解析） 示例1：斜截式方程求平行参数 题目：直线与平行，求的值及的范围。 1.判斜率存在性：两直线均为斜截式，斜率均存在（，）； 2.列平行条件： 斜率相等：； 不重合：； 3.验结果：时，，且时不重合，故，且。 示例2：一般式方程求垂直参数 题目：直线与垂直，求的值。 1.判斜率存在性：需分（）和（）讨论，但一般式可用万能垂直公式，无需单独讨论； 2.列垂直条件：，即： 展开计算：； 3.验结果：时，斜率，斜率，乘积为，满足垂直。 示例3：含斜率不存在的特殊情况 题目：直线与平行，求的值。 1.判斜率存在性： ：若，则（斜率不存在，垂直x轴）；若，斜率； ：若（），则（斜率为0，平行x轴）；若，斜率； 2.列平行条件： 情况1：斜率不存在（），则需也垂直x轴，即且（不成立，排除）； 情况2：斜率存在（），斜率存在（），列且不重合： 判别式，无实根； 情况3：斜率为0（），则需也平行x轴，即不存在（矛盾，排除）； 3.结论：不存在实数使两直线平行。 四、特殊情况处理（易错点突破） 特殊场景 解题关键 示例（求参数） 一条直线斜率为0 平行：另一条也需斜率为0（）；垂直：另一条需斜率不存在（） ，平行：且 含参数的直线过定点 先求定点坐标，再代入平行/垂直条件（减少参数个数） （过定点），与垂直： 直线方程中参数含分母 先确定参数取值范围（分母≠0），再列条件，避免无意义解 与平行：且 五、避坑三大要点 1.优先讨论“斜率不存在”：看到含参数的直线方程，先检查是否存在“”（一般式）或“”（垂直x轴）的情况，这是最易漏解的点； 2.平行必验“不重合”：仅满足或不够，必须验证截距（斜截式）或常数项比例（一般式）不等，否则会把“重合”当“平行”； 3.一般式用“万能公式”：垂直问题优先用，无需讨论斜率存在性，减少分类错误；平行问题用比例式时，需注明分母不为0的条件。 课后针对训练 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川达州·期末）直线倾斜角为，且过点，则（   ） A． B． C． D．3 5．（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 9．（21-22高二上·河南濮阳·阶段练习）过两点、的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 12．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 13．（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 15．（24-25高二上·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高二上数学常考题型归纳 【第7讲：直线方程的倾斜角和斜率】 【知识梳理】 一、基础核心公式（教材重点） 1.倾斜角定义与范围 定义：直线向上方向与x轴正方向的夹角（记为α） 范围公式：（或弧度） 教材例题延伸：水平直线倾斜角α=0°，竖直直线倾斜角α=90° 2.斜率定义与计算公式 定义式：（α≠90°，此时斜率不存在） 特殊值对应：时；时；时 两点式：已知直线过两点、（） 易错提示：时直线垂直x轴，斜率不存在（对应α=90°） 二、倾斜角与斜率的关系转化 倾斜角α 斜率k取值 转化公式 不存在 无（直线垂直x轴） 三、高考高频应用公式（结合真题） 1.两直线平行的斜率条件 设直线，（两直线均不垂直x轴） 高考真题示例（2023·新课标Ⅰ）：若直线与平行，则（直接应用公式） 2.两直线垂直的斜率条件 设直线，（两直线均不垂直x轴） 易错补充：若一条直线斜率为0（α=0°），另一条直线斜率不存在（α=90°），两直线也垂直 教材例题改编：直线与垂直，因 3.斜率的取值范围求法 已知倾斜角范围，求k的范围： 当时， 当时，（因正切函数在单调递增但值为负） 当时， 高考真题示例（2022·浙江）：直线倾斜角α满足，则斜率k的范围为 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：直线方程的倾斜角和斜率的理解】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错； B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错； C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对； D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错． 故选：C 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）下列说法中，正确说法的个数是（    ） ①任何一条直线都有唯一的斜率； ②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； ③任何一条直线都有唯一的倾斜角． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线斜率和倾斜角的关系判断，选出答案. 【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，所以①错误； 倾斜角时，，故“直线的倾斜角越大，它的斜率就越大”错误，②错误； 任何一条直线都有唯一的倾斜角，③正确． 故选：B． 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 【相似题2】【多选题】（24-25高二上·福建莆田·期中）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定即可． 【详解】对于A：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率可表示为，但它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D正确． 故选：ABC． 【解题策略】 一、核心概念的本质理解（解题的前提） 1.倾斜角：“方向的量化” 本质：用“角度”唯一标识直线的倾斜方向（与x轴正方向的向上夹角），解决“直线朝哪偏”的问题。 关键认知： 唯一性：任意直线必有唯一倾斜角（），包括水平（）和竖直（）直线。 几何意义：倾斜角越大（不含），直线越“陡”，但正负方向由角度区间决定（向上右，向上左）。 2.斜率：“倾斜程度的代数表达” 本质：用“数值”量化倾斜角的正切值，将几何角度转化为代数参数，方便计算与推理。 核心关联： 函数关系：是“角度→数值”的转化器，正切函数在的单调性是解题关键（递增，递增，处断开）。 易错本质：“斜率不存在”≠“直线不存在”，对应竖直直线（），解题时需优先考虑此特殊情况。 【题型二：求直线方程的倾斜角或斜率】 例题精选 【例题1】（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 【答案】 【分析】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为： 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）设，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】先求直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求倾斜角. 【详解】因为，所以. 由，所以直线的斜率为：. 设的倾斜角为，则． 由于，则．故． 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，再利用正切二倍角求出. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则. 故选：D 【相似题2】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解. 【详解】由题，直线的斜率为，又， . 故选：B. 【解题策略】 一、已知直线上两点，求斜率或倾斜角 解题步骤 1.定坐标与验特殊：记两点为、，先判断与是否相等： 若：直线垂直x轴，斜率不存在，倾斜角； 若：斜率存在，进入下一步。 2.算斜率：代入两点式公式。 3.求倾斜角（若需）：结合，根据的正负锁定的区间（），用正切值对应角度： ：，； ：，（或用诱导公式）； ：。 核心要点 斜率与两点顺序无关：，避免因顺序出错。 示例：已知、，则，；已知、，斜率不存在，。 二、已知直线方程，求斜率或倾斜角 解题步骤（按方程形式分类） 1.斜截式（）： 直接读取：斜率为的系数； 求倾斜角：按“已知斜率求倾斜角”步骤计算。 示例：，，。 2.一般式（，A、B不同时为0）： 先判断是否为0： 若：直线为，垂直x轴，斜率不存在，； 若：斜率，再求倾斜角。 示例：，，，。 3.点斜式（）： 直接读取：斜率为；若方程为（特殊点斜式），则斜率不存在，。 【题型三：斜率与倾斜角的变化关系】 例题精选 【例题1】【多选题】（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 【例题2】（24-25高一下·上海·期末）如图，直线的斜率的大小关系是    【答案】 【分析】由图可得直线倾斜角大小关系，据此可得斜率关系. 【详解】设直线的倾斜角分别为，由图可得： ，则. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）求直线倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】先求斜率的取值范围，根据倾斜角和斜率的关系，分情况讨论即可. 【详解】由. 所以直线的斜率为：. 设倾斜角为，则（）. 所以当时，； 当时，. 综上，倾斜角的取值范围为：. 故答案为： 【相似题2】（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率与倾斜角的正切函数关系，结合斜率的范围可求倾斜角的范围. 【详解】由题意假设直线倾斜角为得：. 又因为，所以， 即.再由正切函数的性质与直线倾斜角的取值范围， 可得的取值范围是. 故选：A. 【解题策略】 一、核心关联公式（基础铺垫） 1.定义与范围公式 概念 公式/范围 备注 倾斜角α （或弧度） 任意直线唯一确定，无负角度 斜率k （） 时，k不存在 2.正切函数单调性（变化关系核心） 正切函数在定义域内的单调性直接决定k与α的变化关系： 单调递增区间1：，此时 单调递增区间2：，此时 断裂点：，无意义（k不存在） 二、动态变化规律（核心解题依据） 1.分区间变化关系 倾斜角α变化区间 斜率k的变化趋势 数学表达（递增/递减） （从水平到竖直向上陡增） 单调递增 （从竖直向下平缓趋近水平） 单调递增 跨越（如） 突然跳跃至，不连续 无单调性（断裂） 三、典型题型解题策略（公式+步骤） 题型1：由倾斜角变化范围求斜率范围 解题步骤： 1.定区间：判断α范围是否跨越，拆分不含的子区间； 2.用单调性：结合单调性求各子区间对应的k范围； 3.取并集：合并各子区间的k范围，得到最终结果。 示例：α∈，求k的范围 拆分区间：和 计算各区间k值： ： ： 并集结果： 题型2：由斜率变化范围求倾斜角范围 解题步骤： 1.定k的正负：区分k≥0、k≤0或跨正负，对应α的区间、或两者的并集； 2.反用正切函数：用（k≥0）或（k≤0）求对应角度； 3.写区间：结合单调性写出α的范围，注意排除。 示例：k∈，求α的范围 拆分k的范围：和 计算各区间α值： ： ： 并集结果： 题型3：直线旋转时的k与α变化问题 解题策略： 1.确定初始与终止α：明确直线旋转的起止角度（如从逆时针旋转到）； 2.分析旋转过程：判断是否经过，若经过则k会出现“”的跳跃； 3.结合单调性：分阶段描述k的变化趋势，或用公式表示范围。 【题型四：直线与线段的关系求斜率范围】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】定理：已知点、及不过点的直线， 且直线与交于点，则. 设直线与线段相交于点（不含端点）， 由，得，解得或， 当直线过点时，，即；当直线过点时，，即， 所以实数的取值范围是. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围． 【答案】或． 【分析】法1，根据给定条件，利用斜率坐标公式，结合几何图形求出范围；法2，设出过点的直线方程，由及建立不等关系求解. 【详解】法1，如图1，由直线与线段有公共点，得的位于直线与直线形成的区域内． 当的倾斜角小于时，；当的倾斜角大于时，， 由点，得， 所以的取值范围是或. 法2，定理：已知点、及不过点的直线， 且直线与交于点，则. 设，由，得，则， 而，则，解得， 当点在线段（不含端点）时，； 当点在线段的延长线时，； 当点在线段的延长线时，； 若点与点重合，则；若点与点重合，则；若点趋于无穷远处，则． 依题意，设过点的直线方程为，而， 因此，即，解得或， 当直线过点时，，过点时，， 所以的取值范围是或. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 【相似题2】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 【解题策略】 一、核心原理：端点斜率法（本质是“旋转临界思想”） 1.问题本质 已知直线过定点，且与线段（端点、）相交，求直线斜率的取值范围。 核心逻辑：直线绕定点旋转时，与线段相交的临界位置是直线过端点和端点，斜率范围由这两个“临界斜率”及旋转过程中是否跨越（斜率不存在）决定。 2.关键概念 临界斜率：直线的斜率和直线的斜率（若或垂直x轴，则对应斜率不存在）。 旋转轨迹：以为顶点，直线从旋转到（或反之），扫过的区域与线段相交，斜率变化对应正切函数的单调性或跳跃性。 二、标准解题步骤（四步闭环） 步骤1：定要素——标坐标、明定点 1.确定直线所过的定点（题目直接给出或隐含，如“直线过点”）； 2.明确线段的两个端点坐标、（务必确认坐标准确性，避免计算错误）。 步骤2：算临界——求端点斜率、 代入两点斜率公式计算： 步骤3：画轨迹——分析旋转过程与斜率变化 1.在坐标系中标记、、三点，连接线段； 2.画出直线和，观察： 直线从绕旋转到时，是否经过竖直位置（，即斜率不存在）； 结合正切函数单调性，判断斜率是“连续区间”还是“断裂区间”。 步骤4：定范围——结合临界值与旋转方向写结果 若旋转过程不经过：斜率范围为与之间的闭区间（从小到大或从大到小，看旋转方向）； 若旋转过程经过：斜率范围为两个区间的并集 若存在斜率不存在的临界位置：范围需包含“斜率不存在”的情况（文字说明或区间标注）。 三、典型示例（分情况解析） 示例1：不经过90°，斜率范围为连续区间 题目：直线过定点，与线段（、）相交，求的范围。 1.定要素：，，； 2.算临界斜率： 3.画轨迹分析：直线从（）绕顺时针旋转到（），始终在且不经过，斜率单调递增； 4.定范围：。 示例2：经过90°，斜率范围为断裂区间 题目：直线过定点，与线段（、）相交，求的范围。 1.定要素：，，； 2.算临界斜率： （思考：若直线从逆时针旋转到，会经过（竖直直线，不存在））； 3.画轨迹分析： 旋转路径1：（）逆时针→竖直直线（不存在）→（）； 正切函数在单调递增，故斜率从递增到（接近竖直左），再从递减到（接近竖直右）； 4.定范围：。 示例3：含斜率不存在的临界情况 题目：直线过定点，与线段（、）相交，求的范围。 1.定要素：，（），； 2.算临界斜率： ：，斜率不存在（对应直线）； ； 3.画轨迹分析：直线从（，不存在）顺时针旋转到（），斜率从不存在（）逐渐减小到（）； 4.定范围：（含斜率不存在的情况，可补充说明“直线也满足条件”）。 四、特殊情况处理（易错点突破） 特殊场景 解题关键 示例（） 线段垂直x轴 端点横坐标相同，计算、斜率，若直线过竖直段，需考虑不存在 、：，，范围 线段平行x轴 端点纵坐标相同，斜率范围由、斜率夹闭（不跨90°） 、：，，范围 定点在延长线上 需明确“相交”是否含延长线，不含则取线段内的旋转范围（排除延长线方向） 在延长线外：仅取与之间的区间 五、避坑三大要点 1.勿漏“斜率不存在”的验证：计算、时，先看端点与定点横坐标是否相等，若相等则斜率不存在，且该直线可能是临界位置； 2.旋转方向决定区间开闭：若线段端点在旋转轨迹上（即直线过端点时相交），则区间取闭区间（）；若仅与线段内部相交，取开区间（）； 3.结合图像而非纯计算：复杂情况（如跨90°）必须画图分析旋转轨迹，避免仅凭、的大小直接写区间（如示例2中，但范围并非）。 【题型五：直线的平行与垂直求参数】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 【相似题2】（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 【解题策略】 一、核心原理：平行与垂直的充要条件（含公式） 1.两直线平行（）的条件 设直线方程为： 斜截式：， 一般式：， 斜率存在性 充要条件公式 备注 均存在（有意义） 且（斜截式） （一般式，） 需排除“重合”，即截距/常数项不等 均不存在（垂直x轴） 直线方程为和，且 无斜率，直接看横坐标是否不等 2.两直线垂直（）的条件 斜率存在性 充要条件公式 备注 均存在（有意义） （斜截式） （一般式，万能公式） 乘积为-1，符号相反且互为倒数 一存在一不存在 一条为（，平行x轴），另一条为（斜率不存在，垂直x轴） 特殊垂直，无需计算乘积 二、标准解题步骤（三步核心法） 步骤1：定方程形式，判斜率存在性（关键前提） 1.若直线为斜截式/点斜式：直接读取斜率（的系数），若方程为，则斜率不存在； 2.若直线为一般式： 斜率存在：，则； 斜率不存在：，此时直线垂直x轴（方程为）。 步骤2：按位置关系列方程（分情况应用公式） 平行问题： ①若两者斜率均存在：列，同时列（或一般式的常数项比例不等）； ②若两者斜率均不存在：列（横坐标不等）； ③若一存在一不存在：直接判定不平行（排除）。 垂直问题： ①若两者斜率均存在：列（或一般式）； ②若一存在一不存在：列“斜率为0”且“另一条垂直x轴”（即且）； ③若两者均不存在：直接判定不垂直（排除）。 步骤3：解方程验结果（避免增根/漏解） 1.解参数方程，得到参数值； 2.代入原直线方程，验证是否满足“平行不重合”或“垂直”的完整条件（尤其注意排除重合情况）。 三、典型示例（分类型解析） 示例1：斜截式方程求平行参数 题目：直线与平行，求的值及的范围。 1.判斜率存在性：两直线均为斜截式，斜率均存在（，）； 2.列平行条件： 斜率相等：； 不重合：； 3.验结果：时，，且时不重合，故，且。 示例2：一般式方程求垂直参数 题目：直线与垂直，求的值。 1.判斜率存在性：需分（）和（）讨论，但一般式可用万能垂直公式，无需单独讨论； 2.列垂直条件：，即： 展开计算：； 3.验结果：时，斜率，斜率，乘积为，满足垂直。 示例3：含斜率不存在的特殊情况 题目：直线与平行，求的值。 1.判斜率存在性： ：若，则（斜率不存在，垂直x轴）；若，斜率； ：若（），则（斜率为0，平行x轴）；若，斜率； 2.列平行条件： 情况1：斜率不存在（），则需也垂直x轴，即且（不成立，排除）； 情况2：斜率存在（），斜率存在（），列且不重合： 判别式，无实根； 情况3：斜率为0（），则需也平行x轴，即不存在（矛盾，排除）； 3.结论：不存在实数使两直线平行。 四、特殊情况处理（易错点突破） 特殊场景 解题关键 示例（求参数） 一条直线斜率为0 平行：另一条也需斜率为0（）；垂直：另一条需斜率不存在（） ，平行：且 含参数的直线过定点 先求定点坐标，再代入平行/垂直条件（减少参数个数） （过定点），与垂直： 直线方程中参数含分母 先确定参数取值范围（分母≠0），再列条件，避免无意义解 与平行：且 五、避坑三大要点 1.优先讨论“斜率不存在”：看到含参数的直线方程，先检查是否存在“”（一般式）或“”（垂直x轴）的情况，这是最易漏解的点； 2.平行必验“不重合”：仅满足或不够，必须验证截距（斜截式）或常数项比例（一般式）不等，否则会把“重合”当“平行”； 3.一般式用“万能公式”：垂直问题优先用，无需讨论斜率存在性，减少分类错误；平行问题用比例式时，需注明分母不为0的条件。 课后针对训练 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川达州·期末）直线倾斜角为，且过点，则（   ） A． B． C． D．3 5．（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 9．（21-22高二上·河南濮阳·阶段练习）过两点、的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 12．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 13．（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 15．（24-25高二上·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 13 14 答案 B C C A C D D C AD BCD 1．B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2．C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 3．C 【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 4．A 【分析】由倾斜角确定斜率，再由斜率公式列出等式即可求解； 【详解】由题意可知，则， 由直线过点P，则得， 故选：A 5．C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 6．D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 7．(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 8． 【分析】解法1：数形结合，根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求斜率的取值范围. 解法2：先求直线与线段有公共点时斜率的取值范围，再求其补集即可. 解法3：根据，在直线的两侧，列不等式求解. 【详解】解法1：直线过定点， 如图，因为直线与线段（或）的延长线相交，所以或．    因为， 所以或． 即. 解法2 ：当直线与线段相交时，或，即或； 当直线与线段平行时，． 所以当直线与线段（或）的延长线相交时，且． 即. 解法3：因为直线： 设 由于直线不与线段相交，故， 即，即，解得．且. 即. 9．D 【分析】根据斜率公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为斜率，所以，解得. 故选：D. 10．C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 11． 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 12． 【分析】运用一般式下的平行判定计算即可. 【详解】将直线化成一般式，， 根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得. 故答案为：. 13．AD 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【详解】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 14．BCD 【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示： 设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对. 故选：BCD. 15． 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $