2.1.1倾斜角与斜率学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕倾斜角与斜率展开，引导学生了解倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角的唯一性及斜率的存在性，掌握斜率公式的推导与应用。通过泰山十八盘的现实情境导入，衔接确定直线的方法等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架，逐步构建知识脉络。 这份资料以情境化导入激发兴趣，通过探究问题引导主动思考，体现“用数学眼光观察现实世界”。例题涵盖概念辨析、共线问题等，结合数形结合方法训练“数学思维”，即时练与跟踪训练分层递进，帮助学生深化理解，培养应用意识与推理能力，适合师生高效教学与自主学习。

2.1.1倾斜角与斜率 学习目标 1. 了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2. 理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性． 3. 了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 1、 新课导入 泰山为五岳之首，其十八盘更有名。"拔地五千丈，冲霄十八盘．"泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在攀登中．十八盘岩层陡立，坡角70°~80°，在不足1km的距离内升高400米．你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？ 2、 新知探究 探究一：直线的倾斜角 思考1在平面中，怎样才能确定一条直线？ 思考2在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点 P 的直线有什么区别？ ［知识梳理］ 1． 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们以______为基准， x轴正向与直线______的方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角． 2． 范围：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为____,因此，直线的倾斜角的取值范围为______ ［例1](1）已知直线 与 x 轴相交，其向上方向与 y 轴正向所成的角为(0°< a <90°)，则其倾斜角为( )． A. B .180°- C .180°- 或90°- D.90°- 或90°+ (2）已知直线 经过点（一1,0)，倾斜角为150°,若将直线2绕点（-1,0）逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的倾斜角为_____ ［训练1](1）已知直线 经过第二、四象限，则直线 的倾斜角的取值范围是 _____ (2） 如图，已知直线 的倾斜角为150°,，垂足为 B ,与 x 轴分别相交于点 C , A ,平分 ，则直线的倾斜角为_____. 探究二：直线的斜率 思考 日常生活中，常用坡度表示倾斜程度，例如，"进2前进量升3"与"进2升2"比较，前者更陡一些，因为坡度＞．在平面直角坐标系中，我们能否用"坡度"的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ ［知识梳理］ 1． 定义：把一条直线的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k 表示，即 k =___;倾斜角是______的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2． 公式：如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)，那么可得斜率公式 k =______ 3． 直线的方向向量：设P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2）是直线上的两点，则向量P1P2=(x2-x1,y2-y1）以及与它平行的非零向量都是直线的_______．若直线 的斜率为 k ，它的一个方向向量的坐标为（ x , y )( x ≠0),则 k =____ ［即时练］ 判断正误，正确的打"√"，错误的打" x ". 1.(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．（ ） (2）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．（ ） (3）若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一相等.( ) 2.已知 a =(-1,√3）是直线 的一个方向向量，则 的斜率为_____ 3.若经过 A ( m ,2), B (1,2m-1）两点的直线的倾斜角为135°，则 m =_____,该直线的一个方向向量为___ 探究三：倾斜角与斜率的应用 角度1三共线问题 ［例2］判断下列三点是否在同一条直线上： (1) A (-3,1), B (2,-4), C (3,0);(2) D (5,-1), E (-1,2), F (-5,4). 角度2求解范围问题 ［例3]已知过点 P (0，一2）的直线 与以点 A (3,1)和 B (-2√3,4）为端点的线段 AB 相交，求直线 的斜率的取值范围． ［跟踪训练2](1）若 A (-2,3), B (3,-2). C (1/2，m)三点在同一条直线上，则 m 的值为（ ） A .-2 B .2 C. D. (2)已知 M (1,3), N (2,1),ก的取值范若点 P ( x , y ）在线段 MN 上，则 的取值范围是____. 3、 课堂巩固 1． 已知点 A (2,5), B (4,11)，则直线 AB 的斜率为____ 2． （多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是( ) A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B ．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° D ．若一条直线的倾斜角为 a ，则该直线的斜率 tan a 3． 已知点 P (2,3), Q (5, t ）在直线 l 上，且直线 的一个方向向量是 v =(1,2)，则 t =_____ 4． 已知 A (3,1), B (2,4), C ( m ,2）三点． (1） 若直线 BC 的倾斜角为135°，求 m 的值；(2）是否存在 m ，使得 A , B , C 三点共线？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由． 4、 课堂小结 1． 已学习：直线的倾斜角、直线斜率的定义和斜率公式，直线斜率与方向向量的关系。 2． 须贯通：(1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率；(2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化；(3）在研究直线的倾斜角和斜率的过程中应用数形结合的思想方法。 3．应注意：忽视倾斜角的范围，对斜率和倾斜角的关系理解不到位，不能结合图形处理问题。 学科网（北京）股份有限公司 $